Рассмотрим некоторые вспомогательные геометрические понятия.

$|z|$ — расстояние от точки $z$ до начала координат;

$|z-z_0|$ — расстояние между точками $z$ и $z_0$;

$\{z: |z-z_0|=R\}$ — окружность с центром в точке $z_0$ и радиусом $R$;

$\{z: r<|z-z_0|<R\}$ — кольцо;

$\mbox{Arg }z$ — угол, образованный радиус-вектором точки $z$ с положительным направлением оси $Ox$.

$\varepsilon$–окрестностью точки $z_0$ комплексной плоскости $z$ называется внутренность открытого круга радиуса $\varepsilon$ с центром в точке $z_0$. Любая точка окрестности удовлетворяет неравенству $|z-z_0|<\varepsilon$. Иногда записывают $z\in Q_{z_0}^{\varepsilon}$.

Пусть дано некоторое множество $D$ точек на плоскости $(z)$. Точка $z_0\in D$ называется внутренней для множества $D$, если вместе с точкой $z_0$ множество $D$ содержит некоторую $\varepsilon$–окрестность точки $z_0$: $Q_{z_0}^{\varepsilon}\in D$.

Точку $z_1$ будем называть внешней точкой множества $D$, если существует $\varepsilon$–окрестность точки $z_1$ не пересекающаяся с $D$.

Точку $z$ будем называть граничной точкой множества $D$, если в любой ее окрестности содержится как точки, принадлежащие множеству $D$, так и не принадлежащие $D$.

Совокупность всех граничных точек $D$ называется границей множества $D$ или контуром.

Множество $D$ точек плоскости называется открытым, если все его точки являются внутренними.

Область вместе с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью и обозначается $\bar{D}$.

Область называется ограниченной, если существует круг радиуса $R$ с центром в начале координат, целиком включающий в себя эту область: $D\in Q_{0}^{R}$.

В дальнейшем будем предполагать, что граница области может состоять из

• некоторого числа отдельных линий,
• криволинейных отрезков,
• изолированных точек.

Точка $z_0\in D$ называется изолированной точкой множества $D$, если существует такое число $\delta>0$, что $D\bigcap K_{0}^{\delta}(z_0)=\emptyset$, где $K_{0}^{\delta}(z_0): 0<|z-z_0|<\delta$ — круг радиуса $\delta$ с выколотым центром $z_0$.

Число $n$ непрерывных. непересекающихся участков границы области называется порядком связности, а сама область называется $n$-связной.

Рассмотрим примеры областей различного порядка связности.

1. Пусть плоскость разделена на две области окружностью $|z|<R$. Множества $D_1: |z|<1$ (внутренность окружности) и $D_2:|z|>1$ (внешность окружности) представляют собой односвязные области, так как имеют по одной границе.

2. Круговое концентрическое кольцо $D: r<|z-z_0|<R$ представляет собой двусвязную область. Граница области состоит из двух частей — окружностей $|z|=r$, $|z|=R$.

3. Круг с выколотым центром $0<|z-z_0|<R$ также является двусвязной областью, граница которой состоит из окружности $|z|=R$ и точки $z_0$.

4. Множество точек, удовлетворяющих условию $\mathfrak{Re} (z)\cdot \mathfrak{Ιm} (z)>0$, не является областью. Множество содержит точки, заполняющие I и III четверти. Множество является открытом, но нарушено свойство связности, так как точки из I и III четвертей нельзя соединить непрерывной линией, целиком состоящей из точек множества.

5. Кольцо $1<|z|\leqslant2$ также не является областью, так как не выполнено свойство открытости.

6. Множество $\left\{z: 0<|z|<1, \mbox{arg}\,z\in(-\pi;\pi)\right\}$ — односвязная область. Граница — окружность с разрезом по отрезку от $-1$ до $0$ по вещественной оси.

7. Вся плоскость $z$ является односвязной областью, границей которой служит бесконечно удаленная точка $z=\infty$.

Расширенная плоскость является единственным примером области, в принципе не имеющей границы.

8. Рассмотрим четырехсвязную область. Граница состоит из частей:
1 — $\ell_0$ и отходящие от нее разрезы $\gamma_1$, $\gamma_2$;
2 — $\ell_1$;
3 — $\ell_2$;
4 — точка $\alpha$.

Положительным направлением обхода границы области условимся считать такое направление, при котором область остается все время слева. При этом некоторые точки границы будут проходится лишь один раз ($A\in\ell_0$, $B\in\ell_1$, $D\in\ell_2$ и точка $\alpha$), другие — несколько раз. Точки $A$, $B$, $D$, $\alpha$ называются простыми, $E$, $F$ — двукратными, $C$ — трехкратной точкой.

Возьмем два экземпляра расширенной плоскости комплексных чисел: плоскость $z=x+iy$ и плоскость $w=u+iv$. Пусть на первой из них задано произвольное множество точек $D$ (оно может содержать и точку $z=\infty$), а на второй — множество точек $E$. Введем понятие функции от комплексного переменного.

Говорят, что на множестве $D$ задана функция $w=f(z)$, если каждой точке $z\in D$ поставлена в соответствие одна или несколько точек плоскости $w\in G$ (в первом случае функцию называют однозначной, во втором — многозначной).

Множество $D$ называют областью определения функции $f(z)$. Если каждая точка множества $E$ является значением функции~$f(z)$, то говорят, что $E$ — область значений этой функции или образ множества $D$ при помощи функции $f(z)$ $\big(G=f(D)\big)$. В этом случае говорят еще, что функция $f(z)$ отображает $D$ на $E$.

Положив $z=x+\mathbf i y$, $w=u+\mathbf i v$, получим \begin{equation} w=u+iv=f(x+iy) = u(x,y) + \mathbf i v(x,y), \end{equation} где $u(x,y)=\mathfrak{Re} f(z)$, $v(x,y)=\mathfrak{Im} f(z)$ - вещественные функции от переменных $x$, $y$, $(x,y)\in D$. Таким образом, задание функции $f(z)$ равносильно заданию двух функций двух действительных переменных $u(x,y)$, $v(x,y)$.

$$w=z^2, \,\, z=x+iy, \,\, w= u+iv,$$ $$w=(x+iy)^2=x^2-y^2+i2xy \,\, \Rightarrow$$ $$u(x,y)=x^2-y^2, \,\, v(x,y)=2xy.$$

Если функция $f(z)$ однозначна на множестве $D$ и при этом двум различным точкам $D$ всегда соответствуют различные точки $E$, то такое отображение называется взаимно однозначным или однолистным в $D$. В этом случае существует обратная функция $z=g(w)$, отображающая множество $E$ на $D$. При этом $g(f(z))=z$.

В дальнейшем будем рассматривать только функции, заданные в областях, и пока только однолистные. Рассмотренная в примере функция не является взаимно однозначной (однолистной), так как

\begin{equation*} \begin{split} &z_1=-1 \,\, \rightarrow \,\, w_1=1,\\ &z_2=1 \,\, \rightarrow \,\, w_2=1\\ \end{split} \end{equation*} Двум различным точкам $z_1\neq z_2$ соответствует одна точка $w=w_1=w_2=1$.

Перечислим некоторые функции комплексного переменного.

$$ e^z=e^{x+\mathbf i y}=e^x(\cos y+\mathbf i\sin y). $$

$$ \begin{array}{ll} \mbox{cos } z=\dfrac12\left(e^{\mathbf i z}+e^{-\mathbf i z}\right),&\mbox{sin } z=\dfrac1{2\mathbf i} \left(e^{\mathbf i z}-e^{-\mathbf i z}\right),\\ \mbox{tg } z=\dfrac{\mbox{sin }z}{\mbox{cos }z},&\mbox{ctg} z=\dfrac{\mbox{cos }z}{\mbox{sin }z}.\\ \end{array} $$

$$ \begin{array}{ll} \mbox{ch }z=\dfrac12\left(e^{z}+e^{-z}\right),&\mbox{sh }z=\dfrac1{2} \left(e^{z}-e^{-z}\right), \\ \mbox{th }z=\dfrac{\mbox{sh }z}{\mbox{ch }z},&\mbox{cth }z=\dfrac{\mbox{ch }z}{\mbox{sh }z}.\\ \end{array} $$

$$ \mbox{Ln } z=\ln|z|+\mathbf i(\mbox{arg }z+2\pi k),\quad k\in Z. $$

Логарифмическая функция является многозначной. Значение логарифма при $k=0$ называется главным значением логарифма и обозначается $$\ln z=\ln|z|+\mathbf i\mbox{arg} z.$$ Тогда $$ \mbox{Ln } z=\ln z+2\pi k\mathbf i. $$

$$ \alpha^\beta=e^{\beta \mbox{ Ln }\alpha}=e^{\beta (\ln\alpha+2\pi k\mathbf i)},\quad \alpha\in \mathbb C_{}, \alpha\neq0, \beta\in \mathbb C_{}, k\in Z. $$

Когда $\beta$ — целое вещественное число, то степень $\alpha^\beta$ имеет одно значение, так как $e^{2\pi k\mathbf i\beta}=1$. Если же $\beta$ — несократимая рациональная дробь $p/q$, ($q>1$), то степень $\alpha^\beta$ имеет ровно $q$ различных значений. Во всех других случаях степень имеет бесконечное множество значений.

$$ \begin{array}{ll} \mbox{Arccos }z, &\mbox{Arcsin }z, \\ \mbox{Arctg }z ,&\mbox{Arcctg }z.\\ \end{array} $$

Обратные тригонометрические функции также являются многозначными функциями. $$ \begin{array}{ll} \mbox{Arccos }z=-\mathbf i \mbox{Ln}(z+\sqrt{z^2-1}), &\mbox{Arcsin }z= -\mathbf i \mbox{Ln}(\mathbf i z+\sqrt{1-z^2}), \\ \mbox{Arctg }z=-\frac{\mathbf i}{2} \mbox{Ln}\displaystyle\frac{1+\mathbf i z}{1-\mathbf i z},&\mbox{Arcctg }z=-\frac{\mathbf i}{2} \mbox{Ln}\displaystyle\frac{z+\mathbf i}{z-\mathbf i}.\\ \end{array} $$ При вычислении арккосинуса и арксинуса приходится извлекать квадратный корень из комплексного числа, то есть записывать два значения, для каждого из которых вычисляется логарифм. Для главного значения обратной тригонометрической функции выбирается то значение квадратного корня из комплексного числа, главное значение аргумента которого $\mbox{arg }\xi\in[0,\pi]$. Тогда все остальные значения будут получатся из главного по формуле: $$ \begin{array}{ll} \mbox{Arccos }z=\pm\mbox{arccos }z+2\pi k, k\in Z & \\ \mbox{Arcsin }z= \pm\mbox{arcsin }z+2\pi k, k\in Z &.\\ \end{array} $$

В дальнейшем мы будем рассматривать (если не будет специальной оговорки) однозначные функции. Если $w=g(z)$ - многозначная функция, то мы берем однозначную ветвь этой многозначной функции. Например, для $w=\mbox{Ln}\,z=\mbox{ln}\,|z| + \mathbf i \mbox{arg}\,z+\mathbf i 2\pi k$ выбираем однозначные ветви: $$ w_0=\mbox{ln}\,|z| + \mathbf i \mbox{arg}\,z, \,\, w_1=\mbox{ln}\,|z| + \mathbf i \mbox{arg}\,z ++\mathbf i 2\pi, \dots $$

Понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного вводятся аналогично, как это делается для функции вещественного переменного, необходимо лишь всюду вместо абсолютной величины писать модуль комплексного числа.

Пусть функция $w=f(z)$ определена и однозначна в некоторой окрестности $z_0$, исключая, может быть, саму точку $z_0$.

Конечная точка $A=a+\mathbf i b$ называется пределом функции $w=f(z)=u(x,y)+\mathbf i v(x,y)$ при $z\to z_0=x_0+\mathbf i y_0$, если действительные функции $u(x,y)$, $v(x,y)$ двух переменных $x$, $y$ стремятся соответственно к пределам $a$ и $b$ при $x\to x_0$, $y\to y_0$ $$ \lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y) = a, \quad \lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y) = b. $$ В этом случае пишут $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A=a+\mathbf i b$.

Предел функции не должен зависеть от способа стремления $z$ к $z_0$.

Для комплексных функций имеют место свойства, аналогичные соответствующим свойствам для пределов вещественных функций. Если для двух функций $w_1(z)$ и $w_2(z)$ существуют пределы $B_1=\lim\limits_{z\to z_0}w_1(z)\neq\infty$, $B_2=\lim\limits_{z\to z_0}w_2(z)\neq0, \neq\infty$, то существуют пределы: \begin{equation*} \begin{split} &\lim\limits_{z\to z_0}(w_1(z)\pm w_2(z))=B_1\pm B_2,\\ &\lim\limits_{z\to z_0}(w_1(z)\cdot w_2(z))=B_1\cdot B_2,\\ &\lim\limits_{z\to z_0}\frac{w_1(z)}{w_2(z)}=\frac{B_1}{B_2}.\\ \end{split} \end{equation*}

Определение предела можно сформулировать также с помощью понятия окрестности (по Коши):

Если функция $w=f(z)$ определена в некоторой окрестности точки $z_0$ (но не обязательно в самой точке $z_0$) и если для любого $\varepsilon>0$ можно указать такое $\delta(\varepsilon)>0$, что как только точка $z$ попадет в $\delta$–окрестность точки $z_0$: $|z-z_0|<\delta$, $z\neq z_0$, так точка $w$ попадет в $\varepsilon$–окрестность точки $A$: $|w-A|<\varepsilon$, $A\neq\infty$, то говорят, что $\lim\limits_{z\to z_0}w=\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A$.

Аналогично действительному случаю определяется непрерывность функции комплексного переменного в точке $z_0$.

Функция $w=f(z)$ называется непрерывной в точке $z_0$, если для нее выполняется свойство \begin{equation}\label{eq g2 p1 3} \lim\limits_{z\to z_0}f(z) = f(z_0). \end{equation}

Следовательно, непрерывность функции $f(z)$ в точке $z_0$ эквивалентна непрерывности функций $u(x,y)$ и $v(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$.

Функция $w=f(z)$ называется непрерывной в области $D$, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Определения производной и дифференциала функции комплексного переменного совпадают с соответствующими определениями для действительной функции одного действительного переменного.

Пусть однозначная функция $w=f(z)$ определена в некоторой окрестности конечной точки $z_0=x_0+iy_0$. Выберем в этой окрестности точку $z_0+\Delta z$ и пусть $\Delta w$ является приращением функции $f(z)$ при переходе от точки $z_0$ к точке $z_0+\Delta z$, т.е. $\Delta w=f(z_0+\Delta z)-f(z_0)$.

Если существует конечный предел \begin{equation}\label{eq g2 p2 1} \lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}= \lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}, \end{equation} то он называется производной от функции $f(z)$ в точке $z_0$ и обозначается ${f}'(z_0)$.

Функцию комплексного переменного $z$ называют дифференцируемой в точке $z_0$, если ее приращение $\Delta f(z_0) $ в этой точке может быть представлено в виде $$\Delta f(z_0) = A\Delta z + o(\Delta z),$$ где $A$ — комплексное число, не зависящее от $\Delta z$, но может зависеть от $z_0$, $o(\Delta z)$ — величина бесконечно малая по сравнению с $\Delta z$ при $\Delta z \to 0$.

Как и в случае действительной функции дифференцируемость $f(z)$ в точке $z_0$ можно отождествить с существованием у нее в этой точке (конечной) производной.

Если $f'(z_0)\neq0$, то произведение $f'(z_0)\Delta z$ являетсяглавной частью приращения функции, обозначается $$f'(z_0)\Delta z = d\,f(z_0)$$ и называется дифференциалом функции $f(z)$.

Напомним, что существование конечного предела функции комплексного переменного $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ при стремлении $\Delta z=\Delta x+i\Delta y\to 0$ эквивалентно существованию соответствующих конечных пределов для двух вещественных функций $u(x,y)$ и $v(x,y)$ при одновременном стремлении $\Delta x\to 0$ и $\Delta y\to 0$.

Выясним теперь, при каких условиях функция будет дифференцируемой в данной точке.

Теорема. Пусть функция $f(z)=u(x,y)+\mathbf i v(x,y)$ определена в некоторой окрестности точки $z_0=(x_0,y_0)\in D$, причем в этой точке функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ непрерывно дифференцируемы по $x$ и $y$. Тогда для дифференцируемости функции комплексного переменного $f(z)$ необходимо, а при существовании полных дифференциалов $d u(x,y)$, $d v(x,y)$ и достаточно, чтобы в этой точке $z_0=(x_0,y_0)\in D$ имели место условия Коши-Римана (иногда их называют условиями Эйлера-Даламбера): \begin{equation}\label{eq g2 p2 2} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}. \end{equation}

Доказательство (необходимость).

Возьмем функцию $w=f(z)$, дифференцируемую в точке $z_0$ области $D$, тогда для нее будет верно равенство \begin{equation}\label{eq g2 p2 3} \Delta w=f'(z_0)\Delta z+o(\Delta z), \end{equation} где $$ \begin{array}{ll} f'(z_0)=a+\mathbf i b,\\ \Delta z\,=z-z_0=(x-x_0)+\mathbf i (y-y_0)=\Delta x+\mathbf i \Delta y, \\ \Delta w=f(z)-f(z_0)=\big(u(x,y)-u(x_0,y_0)\big)+\hfill \\ \hfill+\,\,\mathbf i \big(v(x,y)-v(x_0,y_0)\big)=\Delta u+\mathbf i \Delta v,\\ o(\Delta z)=\varepsilon_1(|\Delta z|)+\mathbf i \varepsilon_2(|\Delta z|),\\ \end{array} $$ причем $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ являются бесконечно малыми при $\Delta x\to 0$ и $\Delta y\to 0$ более высокого порядка, чем $\Delta x$ и $\Delta y$. В уравнениях выше аргументом $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ записан $|\Delta z|$, так как одновременное стремление к нулю $\Delta x$ и $\Delta y$ равносильно $|\Delta z| \to 0$

Перепишем равенства в виде $$ \Delta u+\mathbf i \Delta v=(a+\mathbf i b)(\Delta x+\mathbf i \Delta y)+(\varepsilon_1 +\mathbf i \varepsilon_2). $$ Отделяя после умножения в правой части вещественную и мнимую части, получим \begin{equation}\label{eq g2 p2 5} \begin{array}{l} \Delta u=a\Delta x-b\Delta y+\varepsilon_1, \\ \Delta v=b\Delta x+a\Delta y+\varepsilon_2.\\ \end{array} \end{equation}

Отсюда в силу того, что $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ стремятся к нулю, когда $\Delta x\to 0$, $\Delta y\to 0$ одновременно, следует, что функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ вещественных переменных $x$ и $y$ дифференцируемы в точке $(x_0,y_0)$, то есть имеют частные производные. Причем полное приращение каждой функции переходит в соответствующий полный дифференциал \begin{equation}\label{eq g2 p2 6} du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy, \quad dv=\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy. \end{equation}

Сравнивая первые два слагаемые в равенствах с приращениями и с полными дифференциалами, получим для частных производных: $$ %\begin{equation}\label{eq g2 p2 7} \frac{\partial u}{\partial x}=a,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-b,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=b,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=a. $$

Тогда $$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}. $$

Это и есть условия Коши-Римана.

Доказательство (достаточность).

Пусть выполнены условия Коши-Римана: $$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}. $$

Докажем, что функция $f(z)$ имеет производную и найдем ее вид.

Так как функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ дифференцируемы в точке $(x_0,y_0)$, (ибо имеют частные производные в записи условий Коши-Римана), то, как известно из вещественного анализа, полное приращение отличается от полного дифференциала на бесконечно малую величину порядка выше, чем расстояние $$ \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=|\Delta x+\mathbf i \Delta y|=|\Delta z|. $$

Запишем $$ \Delta u=u(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-u(x_0,y_0)=\frac{\partial u} {\partial x}\Delta x+\frac{\partial u}{\partial y}\Delta y+\alpha (|\Delta z|), $$ $$ \Delta v=v(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-v(x_0,y_0)=\frac{\partial v} {\partial x}\Delta x+\frac{\partial v}{\partial y}\Delta y+\beta (|\Delta z|). $$ Здесь $\alpha$ и $\beta$ — бесконечно малые более высокого порядка чем $|\Delta z|$ при $\Delta x\to0$, $\Delta y\to0$. Обозначим равенства в условиях Коши-Римана \begin{equation}\label{eq g2 p2 8} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=a,\quad -\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}=b \end{equation}

Составим приращение функции $$ \Delta w=\Delta u+\mathbf i \Delta v=a(\Delta x+\mathbf i \Delta y)+b\mathbf i (\Delta x+ \mathbf i \Delta y)+(\alpha+\beta \mathbf i )= $$ $$ =(a+b\mathbf i )\Delta z+(\alpha+\beta \mathbf i ). $$ Тогда $$ f'(z_0)=\lim\limits_{\Delta z\to0}\frac{\Delta w}{\Delta z}= \lim\limits_{\Delta z\to0}\left(a+b\mathbf i +(\alpha+\beta \mathbf i )\right) $$ и так как $\alpha+\beta \mathbf i $ стремится к нулю при $\Delta z\to0$, то $$ f'(z_0)=a+b\mathbf i $$

Итак, функция $f(z)$ дифференцируема в точке $z_0$ и ее производная равна $a+b\mathbf i $. Теорема доказана.

Заметим, что $f'(z_0)$ может быть представлена одной из следующих форм: \begin{equation}\label{eq g2 p2 9} f'(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathbf i \frac{\partial v}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y}-\mathbf i \frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial u}{\partial x}-\mathbf i \frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial v}{\partial y}+\mathbf i \frac{\partial v}{\partial x}. \end{equation}

Если же дана зависимость $w=f(z)$, то после проверки выполнения условий производную можно найти непосредственным дифференцированием: $$ w'=\frac{df(z)}{dz}. $$ Правила дифференцирования и таблица производных имеет такой же вид, что и для функций вещественного аргумента.

Найти производную функции $$ f(z)=(x^3-3xy^2)+\mathbf i (3x^2y-y^3). $$

Р е ш е н и е.

Проверим выполнение условий Коши-Римана для данной функции. $$ \frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-6xy=-\frac{\partial v}{\partial x}. $$ Видим, что условия выполняются для всех $x, y \in \mathbb R_{} $. Функция дифференцируема на всей комплексной плоскости $z\in\mathbb C_{} $. Таким образом используя, например, первую форму для производной ¹⁾, определяем, что $u_x =3x^2-3y^2$, $v_x =6xy$, и, следовательно, сама $$ f'(z)=3x^2-3y^2+6\mathbf i xy=3(x^2+2\mathbf i xy-y^2)=3(x+\mathbf i y)^2=3z^2. $$

О т в е т: $f'(z)=3z^2.$

Функция $f(z)$ называется аналитической (или голоморфной, или регулярной) в конечной точке $z_0$, если она дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки~$z_0$.

Функция $f(z)$ однозначная и дифференцируемая в каждой точке области $D$ называется аналитической (иначе регулярной или голоморфной) в этой области.

Точки плоскости $z$, в которых однозначная функция $f(z)$ аналитична, называются правильными точками $f(z)$. Точки, в которых функция $f(z)$ не является аналитической, называются особыми точками этой функции.

Из определений видно, что понятие аналитичности и дифференцируемости в области совпадают,
в то время как условие аналитичности в точке является более жестким, чем условие дифференцируемости в точке.

Пример 1. Аналитической функцией является полином $$ P_n(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\ldots+a_{n-1}z+a_n,\quad a_0,a_1,\dots,a_n \in \mathbb C_{}, $$ так как он имеет производные во всех точках комплексной плоскости $z$.

Пример 2. Рациональная функция $$ R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}, \quad P(z) \mbox{ и } Q(z) \mbox{ - полиномы},$$ имеет производную в каждой точке, где $Q(z)\ne 0$. Поэтому $R(z)$ аналитична в области, полученной из плоскости $z$ удалением (выкалыванием) конечного числа точек, в которых $Q(z)=0$.

Пример 3. Функция $f(z)=z\cdot\bar{z}$ не является аналитической ни в одной точке комплексной области. Условия Коши-Римана выполняются только в точке $z=0$, следовательно функция является дифференцируемой только в одной точке и не дифференцируема в окрестности этой точки.

Функция аналитическая во всей комплексной плоскости $ \mathbb C_{} $ называется целой функцией. Например, целыми являются функции $w=e^z$, $w=\mbox{sin}\,z$, $w=\mbox{cos}\,z$, $w=\mbox{sh}\,z$, $w=\mbox{ch}\,z$, $w=z^n$, $w=P_n(z)$.

Пусть дана функция $f(z)=u(x,y) + \mathbf i v(x,y)$, аналитическая в некоторой области $D$. Тогда во всех точках области $D$ функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ удовлетворяют условиям Коши-Римана.

Выясним, любая ли функция двух переменных $x$ и $y$ может служить вещественной или мнимой частями некоторой аналитической функции.

Дифференцируем первое из условий Коши-Римана $ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ по $x$, а второе $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ по $y$ и после сложения получим \begin{equation*} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =0. \end{equation*}

Дифференцируя снова первое из условий по $y$, а второе по~$x$, после вычитания из первого второго получим \begin{equation*} \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2} =0. \end{equation*}

Видим, что функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ должны удовлетворять одному и тому же дифференциальному уравнению с частными производными второго порядка, называемому уравнением Лапласа.

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями.

Функции $\varphi_1(x,y)$, $\varphi_2(x,y)$ удовлетворяющие уравнению Лапласа и условиям Коши-Римана называются взаимно сопряженными.

Итак, вещественная и мнимая часть аналитической функции являются сопряженными гармоническими функциями.

Гармонические функции встречаются во многих задачах физики и механики. Так, например, температура однородной пластинки, находящейся в тепловом равновесии, электрический потенциал плоского проводника, потенциал скоростей плоского установившегося потока однородной, несжимаемой жидкости и т.д. являются гармоническими функциями декартовых координат $x$ и $y$, т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа, в соответствующих областях.

При решении многих задач механики и физики вместо того, чтобы искать гармонические функции и оперировать с ними, ищут аналитические функции, вещественными или мнимыми частями которых являются эти гармонические функции.

Мы всегда можем построить аналитическую функцию (с точностью до постоянного множителя), для которой данная гармоническая функция является или действительной, или мнимой частью. Другую часть (мнимую или действительную) можно восстановить из условий Коши-Римана. Рассмотрим пример восстановления аналитической функции по ее заданной вещественной части, а потом запишем решение подобной задачи в общем виде.

Рассмотрим задачу: Восстановить аналитическую функцию $w=f(z)$, для которой данная функция $u=x^2-y^2+2x$ является вещественной частью.

1. Прежде всего надо помнить, что вещественная $u(x,y)$ и мнимая $v(x,y)$ части аналитической функции должны быть гармоническими, т.е. удовлетворять уравнению Лапласа.

\begin{equation*} \begin{split} &\frac{\partial u}{\partial x} =2x+2,\quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=2,\\ &\frac{\partial u}{\partial y} =-2y,\quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-2. \end{split} \end{equation*} Как видно, функций $u(x,y)$ является гармонической, значит, существует аналитическая функция $w=u+\mathbf iv$.

2. Теперь найдем $v(x,y)$, используя условия Коши-Римана. $$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \,\, \Rightarrow $$ $$ v=\int\frac{\partial u}{\partial x} dy = 2xy+2y+C(x). $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \,\, \Rightarrow $$ $$ -2y=-(2y+C'(x)) \,\, \Rightarrow C(x)=C_1\in \mathbb R_{}. $$ $$ v=2xy+2y+C_1. $$ $$ f(z)=u+\mathbf i y = x^2-y^2+2x +\mathbf i (2xy+2y+C_1)=z^2+2z+\mathbf i C_1. $$

Запишем решение задачи восстановления аналитической функции в общем виде.

Пусть дана гармоническая функция $u(x,y)$. Требуется найти $v(x,y)$, $f(z)=u+\mathbf i v$. Запишем условия Коши-Римана: $$ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}=P(x,y),\quad \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=Q(x,y). $$ Составим полный дифференциал функции $v$: $$ dv=\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. $$ Он является полным, если $P'_y=Q'_x$, то есть $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$, что выполнено, так как данная функция $u(x,y)$ является гармонической. Тогда $$ v=\int\limits_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} P(x,y)dx+Q(x,y)dy+C, $$

$$ (x_0,y_0)\in D, \quad (x,y)\in D, $$ $$ f(z)=u(x,y)+\mathbf i v(x,y). $$ Так как дифференциал $dv$ - полный, то интеграл $\int\limits_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} Pdx+dy$ не зависит от пути интегрирования, если $D$ - односвязная область. При вычислении такого криволинейного интеграла удобно идти параллельно координатным осям. Например, сначала от точки $(x_0,y_0)$ вдоль оси $x$ до точки $(x,y_0)$, потом вдоль оси $y$ до точки $(x,y)$: $$ v(x,y)=\int\limits_{x_0}^x P(x,y_0)dx+\int\limits_{y_0}^y Q(x,y)dy +C= $$ $$ =-\int\limits_{x_0}^x\frac{\partial u}{\partial y}dx+\int\limits_{y_0}^y \frac{\partial u}{\partial x}dy +C. $$

Если дана гармоническая функция $v(x,y)$ и требуется найти аналитическую функцию $f(z)=u+\mathbf i v$, аналогично придем к криволинейному интегралу: $$ u(x,y)=\int\limits_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}\frac{\partial v}{\partial y}dx-\frac{\partial v}{\partial x}dy +C. $$

Риман предложил рассматривать многозначные функции комплексного переменного как однозначные функции на некоторых многолистных поверхностях.