Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ


Задачи

1. Определить по методу наименьших квадратов полином третьей степени, приближенно принимающий таблицу значений $$ \begin{array}{l|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 16 & 1 & 0 & 1 & 16 \end{array} $$

2. Определить главную квадратичную тенденцию (тренд) изменения курса сукугунского динара по отношению к рублю по временному ряду среднемесячных курсов

Месяц ноябрь декабрь январь февраль март
руб. за динар $ 26.7 $ $ 26.4 $ $ 26.4 $ $ 26.3 $ $ 26.4 $

и спрогнозировать его курс на апрель1).

3 . Определить по методу наименьших квадратов полином второй степени, приближенно принимающий таблицу значений $$ \begin{array}{l|cccccccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline y & 6.2 & 2.5 & 1.4 & 3.8 & -0.1 & 2.4 & 3.1 & 0.5 & 1.7 & 4.6 \end{array} $$

4. Найти псевдорешение системы линейных уравнений $$ \left\{ \begin{array}{rcc} 27\, x_1 - 55\, x_2 &=&1,\\ -13\, x_1 +27\, x_2 &=&1,\\ -14\, x_1 +28\, x_2 &=&1.\\ \end{array} \right. $$

5. Найти псевдорешение системы линейных уравнений $$ \left\{ \begin{array}{rcc} x_1 + x_2+x_3+x_4 &=&2,\\ x_1 + x_2+x_3+x_4 &=&3,\\ x_1 + x_2+x_3+x_4 &=&4. \end{array}\ \right. $$

6. Найти псевдорешение системы линейных уравнений, которая состоит из $ m_{} $ подсистем вида $$ \left\{ \begin{array}{rcc} a_1x_1 + a_2x_2+ \dots + a_nx_n &=&b_{j},\\ \dots & & \dots \\ a_1x_1 + a_2x_2+ \dots + a_nx_n &=&b_{j}. \end{array}\ \right. $$ Подсистема состоит из $ k_{j} $ уравнений.

7. Доказать, что для полинома $ f(x) $ произвольной степени, построенного по МНК, выполняется равенство $$ \sum_{j=1}^m f(x_j)(y_j-f(x_j))=0 \, . $$

8 . Для интерполяционной таблицы, заданной функцией Рунге $$ \left(x_{k+1}=-1+\frac{2k}{10} , y_{k+1}=F(x_{k+1}) \right) \ \mbox{ при } \ F(x)=\frac{1}{26\,x^2+1}, \ k \in \{0,\dots,10 \} \ , $$ определить по методу наименьших квадратов полином шестой степени $ g_6(x) $ и найти величину максимального отклонения $$ \max_{x\in [-1,1]} |F(x) -g_6(x)| \ . $$

1)
Подсказка. Вычисления упрощаются при грамотной пронумеровке месяцев: см. решение предыдущего упражнения.
interpolation/mnk/problems.txt · Последние изменения: 2021/09/19 17:35 — au