Задача. Найти стационарные точки функции $$ F(P)= \sum_{j=1}^K \frac{m_j}{\left|PP_j \right|} \ . $$ Здесь $ \{P,P_1,\dots,P_K\} \subset \mathbb R^3 , \{ m_{j} \}_{j=1}^K \subset \mathbb R $.

Пусть в пространстве задана конфигурация $$ \left\{ \begin{array}{c|c|c} P_1 & \dots & P_K \\ m_1 & \dots & m_K \end{array} \right\} $$ из $ K_{} $ фиксированных (неподвижных) точечных заряженных частиц, которые воздействуют на пробный точечный единичный заряд, помещенный в точку $ P_{} $; при этом сила воздействия $ j_{} $-го заряда прямо пропорциональна величине заряда $ m_{j} $ и обратно пропорциональна расстоянию от этого заряда до пробного. Требуется найти точку $ P_{\ast} \in \mathbb R^{3}_{} $, при помещении в которую пробного заряда, последний будет неподвижен (находиться в положении равновесия).

Для случая плоскости и $ K=3 $ зарядов картинки с эквипотенциальными кривыми можно найти у Д.Х.Джинса [3].

Гипотеза [Максвелл] [2]. Число стационарных точек кулоновского поля любой конфигурации $ K_{} $ стационарных зарядов в $ \mathbb R^{3} $ не превосходит $ (K-1)^2 $.

Не доказана¹⁾.

Система уравнений для определения координат стационарных точек функции $ F(P) $ получается приравниванием градиента этой функции нулевому вектору: $$ \frac{D\, F}{D\, P} = \mathbb O \ . $$ Эта система явным образом содержит радикалы и, для того чтобы преобразовать ее к алгебраической, придется несколько раз возводить уравнения в квадрат. Даже для простейших случаев такое квадрирование приводит к уравнениям очень больших степеней.

Пример. Пусть $ P_1=(1,1), P_2=(5,1) , P_3=(2,6) $. Проанализировать поведение множества стационарных точек функции

$$ F(x,y)=\frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}+ \frac{m_2}{\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}}+\frac{m_3}{\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}} $$ в зависимости от значений параметров $ m_2, m_3 $.

Решение. Градиентная система уравнений $$ \begin{array}{rrr} \displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}^3}& \displaystyle +\frac{m_2(x-5)}{\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}^3}& \displaystyle +\frac{m_3(x-2)}{\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}^3}=0\, , \\ \displaystyle \frac{y-1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}^3}& \displaystyle +\frac{m_2(y-1)}{\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}^3}& \displaystyle +\frac{m_3(y-6)}{\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}^3}=0 \, \end{array} $$ может быть преобразована в алгебраическую в ходе следующей процедуры. Обозначим $ A_1, A_2 $ и $ A_3 $ слагаемые в любом из этих уравнений. Последовательное возведение в степень по схеме $$ A_1+A_2+A_3=0 \quad \Rightarrow \quad (A_1+A_2)^2=A_3^2 \quad \Rightarrow \quad (2\, A_1A_2)^2 = (A_3^2-A_1^2 - A_2^2)^2 $$ и последующее за этим приведение каждого уравнения к общему знаменателю, позволяет свести исходную систему к алгебраической $$ F_1(x,y,m_2,m_3)=0,\ F_2(x,y,m_2,m_3)=0 \ . $$ Здесь $ F_{1} $ и $ F_{2} $ — полиномы степени $ 28 $ по переменным $ x_{} $ и $ y_{} $ с коэффициентами порядков до $ 10^{19} $. Нахождение всех решений этой системы — даже для конкретных (фиксированных) значений параметров $ m_2 $ и $ m_3 $ — становится вычислительно сложной задачей. А ведь требуется решить еще более сложную задачу: проследить динамику этого множества при изменении параметров! ♦

Попробуем получить альтернативную систему алгебраических уравнений. Рассмотрим в качестве стартовой градиентную систему уравнений для трехточечного кулоновского потенциала на плоскости: $$ \left\{ \begin{array}{ccc} m_1\frac{(x-x_1)}{|PP_1|^3}+m_2\frac{(x-x_2)}{|PP_2|^3}+m_3\frac{(x-x_3)}{|PP_3|^3}&=&0, \\ \\ m_1\frac{(y-y_1)}{|PP_1|^3}+m_2\frac{(y-y_2)}{|PP_2|^3}+m_3\frac{(y-y_3)}{|PP_3|^3}&=&0. \\ \end{array} \right. $$ Эта система является линейной относительно величин $ m_1,m_2,m_3 $. Разрешим ее, например, по формулам Крамера.

Теорема 1 [?].Обозначим

$$ S_1(x,y)= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x & x_2 & x_3 \\ y & y_2 & y_3 \end{array} \right|,\ S_2(x,y)= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x & x_3 \\ y_1 & y & y_3 \end{array} \right|,\ S_3(x,y)= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x \\ y_1 & y_2 & y \end{array} \right| \, . $$ Любое решение системы $$ \partial F / \partial x = 0, \partial F / \partial y = 0 \ , $$ отличное от $ \{ P_j \} $, удовлетворяет соотношению $$ m_1:m_2:m_3=|PP_1|^{3} S_1(x,y):|PP_2|^{3} S_2(x,y):|PP_3|^{3} S_3(x,y) \ . $$

Стационарные точки функции

$$ F(P) =\frac{m_1}{|PP_1|}+\frac{m_2}{|PP_2|}+\frac{m_3}{|PP_3|} $$ удовлетворяют системе алгебраических уравнений

$$ \left\{ \begin{array}{lll} \widetilde F_1(x,y,m_1,m_2,m_3)&=m_2^2S_1^2(x,y) |PP_1|^{6} - m_1^2S_2^2(x,y) |PP_2|^{6} & =0, \\ \widetilde F_2(x,y,m_1,m_2,m_3)&=m_2^2S_3^2(x,y) |PP_3|^{6} - m_3^2S_2^2(x,y) |PP_2|^{6} & =0. \end{array} \right. $$

Здесь $ \deg_{[x,y]} F_j(x,y,m_1,m_2,m_3)=8 $, что является существенным улучшением в сравнении с изначальным подходом, основанном на последовательном квадрировании.

Метод очевидным образом обобщается на случай $ 4 $-х зарядов в $ \mathbb R^{3} $, да и вообще на случай $ K=n+1 $ зарядов в $ \mathbb R^{n} $. Случай когда число зарядов $ K_{} $ превышает размерность пространства больше чем на $ 1_{} $ рассматривается в той же идеологии, но с меньшим выигрышем относительно степени конечных алгебраических уравнений.

Вооружившись новым методом сведения градиентной системы к алгебраической, вернемся к решению примера из предыдущего пункта.

Пример. Проанализировать поведение множества стационарных точек кулоновского потенциала

$$ F(x,y)=\frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}+ \frac{m_2}{\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}}+\frac{m_3}{\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}} $$ в зависимости от значений $ m_2, m_3 $, рассматриваемых в качестве параметров.

Решение. Cистема алгебраических уравнений из предыдущего пункта для нашего примера имеет вид $$ \widetilde F_1(x,y,m_2,m_3)=0,\ \widetilde F_2(x,y,m_2,m_3)=0 $$ при $$ \begin{array}{c} \widetilde F_1(x,y,m_2,m_3)= \\ =m_2^2\,(5\,x+3\,y-28)^2(x^2+y^2-2\,x-2\,y+2)^3 -(5\,x-y-4)^2(x^2+y^2-10\,x-2\,y+26)^3 , \\ \widetilde F_2(x,y,m_2,m_3)= \\ =m_2^2\,(4\,y-4)^2(x^2+y^2-4\,x-12\,y+40)^3 -m_3^2\,(5\,x-y-4)^2(x^2+y^2-10\,x-2\,y+26)^3. \end{array} $$ Допустим, мы хотим исследовать динамику множества вещественных решений этой системы при различных фиксированных значениях $ m_2 $ и для произвольных значений $ m_3 $. Для получения неявного задания кривой $$ \mathrm{H} (x,y,m_2) = 0 \ , $$ которая будет состоять из решений системы при всевозможных значениях $ m_3 $, мы должны исключить этот параметр из системы. Но он, фактически, уже исключен: первое уравнение от него не зависит! Иными словами, утверждается, что уравнение $$ m_2^2\,(5\,x+3\,y-28)^2(x^2+y^2-2\,x-2\,y+2)^3 -(5\,x-y-4)^2(x^2+y^2-10\,x-2\,y+26)^3=0 $$ при каждом фиксированном значении $ m_{2}=m_{2\ast} $ определяет на плоскости $ (x,y) $ кривую, целиком состоящую из стационарных точек семейства кулоновских потенциалов $$ \left\{ \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}+ \frac{m_{2\ast}}{\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}}+\frac{m_3}{\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}} \right\}_{m_3 \in \mathbb R} \ . $$ Изобразим несколько таких кривых на рисунке (числа на кривых обозначают величины $ m_2 $; ветви одинакового цвета соответствуют одинаковым значениям этого заряда).

Продолжим наше исследование с целью ответа на вопрос: сколько стационарных точек имеет рассматриваемый потенциал в зависимости от значений зарядов?

Вычислим результант полиномов по переменной $ x_{} $ $$ \mathcal Y(y,m_2,m_3)=\mathcal R_{x}(\tilde F_1,\tilde F_2) \ . $$ Он факторизуется следующим образом: $$ \mathcal Y(y,m_2,m_3)\equiv 2^{56}\cdot 5^4 \cdot 13^6 \cdot 17^6\, (y-1)^8(y-6)^4 m_2^{16} \mathcal Y_{34}(y,m_2,m_3), \ \deg_y \mathcal Y_{34} =34 \ . $$ Выражение для полинома $ \mathcal Y_{34}(y,m_2,m_3) $ приведено²⁾ ☞ ЗДЕСЬ, и именно он отвечает за ординаты стационарных точек рассматриваемого потенциала. Для любого набора значений параметров $ m_2 $ и $ m_3 $ возможно определить точное число вещественных корней этого полинома и локализовать их в идеологии символьных (аналитических) вычислений (см. раздел ☞ ЛОКАЛИЗАЦИЯ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА). Заметим, что нас интересуют только корни в интервале $ ]1,6[ $. Каждому из этих корней ставится в пару соответствующее значение абсциссы стационарной точки. Это соответствие можно оформить в виде явной функциональной зависимости $ x=r(y) $ при функции $ r_{} $ — рациональной. Метод нахождения такого представления изложен в пункте ☞ "Исключение переменных в системе полиномиальных уравнений".

Так, к примеру, выбору $ m_2=2, m_3=2 $ соответствует случай ровно двух стационарных точек соответствующего потенциала: $$ \mathfrak S_1 \approx (2.666216,\, 1.234430),\ \mathfrak S_2 \approx (2.744834,\, 3.244859) ; $$ выбору же $ m_2=2, m_3=4 $ — случай четырех стационарных точек: $$ \mathfrak S_1 \approx (1.941246,\, 2.552370) , \mathfrak S_2 \approx (2.655622,\, 1.638871) ,\ \mathfrak S_3 \approx (3.330794,\ 2.826444), $$ и $$ \mathfrak N \approx (2.552939,\, 2.271691) \ . $$

Случай наличия ровно трех стационарных точек у кулоновского потенциала является исключительным, практически невероятным при случайном выборе параметров. Соотношение, гарантирующее такой исключительный случай, представляет интерес как граница на плоскости параметров $ (m_2,m_3) $ между множеством значений, которые соответствуют случаю двух стационарных точек и тем множеством значений, что соответствуют случаю наличия четырех стационарных точек. Для получения этой границы — т.е. бифуркационных значений для параметров — следует выяснить условия когда у полинома $ \mathcal Y_{34}(y,m_2,m_3) $, рассматриваемого относительно переменной $ y_{} $, меняется число вещественных корней. Для этой цели мы должны вычислить дискриминант этого полинома по переменной $ y_{} $: $$ \mathcal D_y( \mathcal Y_{34}(y,m_2,m_3)) \ . $$ Это выражение является полиномом от параметров $ m_2,m_3 $, который факторизуется следующим образом: $$ \Xi^2(m_2,m_3) \Psi(m_2,m_3) \quad npu \quad \deg \Xi=444, \deg \Psi =48 \ . $$ Обращение его в нуль возможно в результате двух принципиально различных сценариев. Условие $ \Xi(m_2,m_3)=0 $ соответствует ситуации, когда две различные стационарные точки функции $ F_{}(x,y) $ имеют одинаковую ординату. Уравнение же $$ \Psi(m_2,m_3)=0 $$ соответствует случаю, когда две различные стационарные точки сливаются в одну вырожденную (т.е. обе их координаты становятся одинаковыми). Таким образом, уравнение неявным образом задает на плоскости $ (m_2,m_3) $ дискриминантную кривую, точки которой соответствуют потенциалам с ровно тремя стационарными точками.

Выражение для полинома $ \Psi(m_2,m_3) $ крайне громоздко: его полное разложение см. ☞ ЗДЕСЬ; оно содержит $ 325 $ мономов (полином является четным по обеим переменным). Укажем здесь только старшие и младшие члены его разложения: $$ \Psi(m_2,m_3)= $$ $$ =3^{36}(169\,m_2^2+192\,m_2m_3+64\,m_3^2)^5(169\,m_2^2 -192\,m_2m_3+64\,m_3^2)^5(28561\,m_2^4+19968\,m_2^2m_3^2+4096\,m_3^4)^7 $$ $$ + \dots + $$ $$ + 2^2\cdot 3^{31} \cdot 17^{40} (5545037166327\, m_2^4-161882110764644\,m_2^2m_3^2+1656772227072\,m_3^4) $$ $$ + 2^3\cdot 3^{36}\cdot 17^{44} (51827\,m_2^2+28112\,m_3^2)+ 3^{36}\cdot 17^{48} \ . $$ Удивительной кажется сама возможность получения этого выражения, но еще более удивителен тот факт, что удается определить геометрию кривой $ \Psi(m_2,m_3)=0 $.

На плоскости параметров кривая $ \Psi(m_2,m_3)=0 $ выделяет четыре области вида «наконечник копья». Условие $$ \Psi(m_2,m_3)<0 $$ задает точки плоскости параметров, лежащие внутри «наконечников». Это условие является необходимым для наличия $ 4_{} $ стационарных точек у кулоновского потенциала; оно, тем не менее, не является достаточным. Только одна из четырех полученных областей соответствует случаю наличия $ 4_{} $ стационарных точек — она расположена внутри ветви кривой, изображенной на нижнем рисунке:

Для контроля укажу одну из точек на этой ветви: $ m_2 \approx 1.842860, m_3 \approx 4.157140 $. Такому набору зарядов соответствует потенциал $ F_{}(x,y) $, имеющий следующие стационарные точки: $$ \mathfrak{S}_{\mathfrak N}=(2.691693, 1.930238),\ \mathfrak S_2=(1.821563, 2.558877), \mathfrak S_3=(3.374990, 2.739157) \ ; $$ при этом $ \mathfrak{S}_{\mathfrak N} $ является вырожденной стационарной точкой типа седло-узел.

Для обозначения стационарных точек выше использовались разные буквы — $ \mathfrak S $ и $ \mathfrak N $. Эти обозначения соответствуют различным топологическим типам этих точек — седлового и узлового соответственно. В последнем случае стационарная точка определяет минимум кулоновского потенциала. Таким образом, последняя кривая (зеленая) определяет границу области устойчивости в плоскости параметров, т.е. область любая точка которой задает потенциал $ 1/|PP_1|+m_2/|PP_2|+m_3/|PP_3| $, имеющий одну устойчивую стационарную точку. Эту область будем обозначать $ {\color{DarkGreen}{\mathbb P} } $. Она может быть задана системой алгебраических неравенств. Одно из них уже получено выше — это неравенство $ \Psi(m_2,m_3)<0 $. Остальные неравенства системы можно выбрать линейными: их роль заключается в выделении конкретной ветви кривой $ \Psi(m_2,m_3)=0 $. Например, можно взять их задающими внутренность треугольника $ M_1M_2M_3 $, где точки $$ M_1 \approx (1.812918 , 2.575996), M_2 \approx (2.886962 , 5.667175), M_3 \approx (1.236728, 3.556856) $$ — угловые точки для последней ветви. ♦

Теорема 2. Если существует точка минимума кулоновского потенциала

$$ F(P)=\frac{m_1}{|PP_1|}+\frac{m_2}{|PP_2|} + \frac{m_3}{|PP_3|} \, , $$ то она находится в области $ {\color{Red}{ \mathbb S} } \subset \mathbb R^2 $ треугольника $ P_1P_2P_3 $, определяемой неравенством $$ \Phi(x,y) > \frac{2}{9} S^2 \ . $$ Здесь $$ S=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{array} \right| , $$ а $$ \Phi(x,y) = \frac{S_1(x,y)S_2(x,y)S_3(x,y)}{|PP_1|^2 |PP_2|^2 |PP_3|^2} \sum_{j=1}^3 S_j(x,y) |PP_j|^2 \equiv $$ $$ \equiv \frac{S_1(x,y)S_2(x,y)S_3(x,y)}{|PP_1|^2 |PP_2|^2 |PP_3|^2} \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\ x& x_1 & x_2 & x_3 \\ y& y_1 & y_2 & y_3 \\ x^2+y^2 & x_1^2+y_1^2 & x_2^2+y_2^2 & x_3^2+y_3^2 \end{array} \right| \ , $$ $$ S_1(x,y)= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x & x_2 & x_3 \\ y & y_2 & y_3 \end{array} \right|,\ S_2(x,y)= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x & x_3 \\ y_1 & y & y_3 \end{array} \right|,\ S_3(x,y)= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x \\ y_1 & y_2 & y \end{array} \right| \, . $$ Обратно, любая точка $ P_{\ast}=(x_{\ast},y_{\ast}) $, лежащая в $ {\color{Red}{\mathbb S} } $, является точкой минимума для кулоновского потенциала $$ F_{\ast}(P)= \sum_{j=1}^3 \frac{m_j^{\ast}}{|PP_j|} \quad npu \quad \{m_j^{\ast}= S_j(x_{\ast},y_{\ast}) |P_{\ast}P_j|^3 \}_{j=1}^3 \, . $$

Пример. Найти область $ {\color{Red}{\mathbb S} } $ из теоремы $ 2 $ для треугольника $ P_1P_2P_3 $ при $ P_1=(1,1), P_2=(5,1) , P_3=(2,6) $.

Решение. Здесь $ S=20 $ и $$ \Phi(x,y)=\frac{16(28-5\,x-3\,y)(5\,x-y-4)(y-1)(-52+30\,x+32\,y-5\,x^2-5\,y^2)}{((x-1)^2+(y-1)^2)((x-5)^2+(y-1)^2)((x-2)^2+(y-6)^2)} \ . $$ Область $ {\color{Red}{\mathbb S} } $ располагается внутри овала алгебраической кривой $ 6_{} $-го порядка, изображенного на рисунке (полная картина кривой, со всеми овалами, ☞ ЗДЕСЬ)

Можно ожидать, что точка на самой этой кривой будет соответствовать таким значениям зарядов $ m_1,m_2 $ и $ m_3 $, которые гарантируют ее вырожденность. Так оно и оказывается: при фиксированном значении $ m_1=1 $, существует взаимно-однозначное соответствие между точками этой кривой и кривой $ \Psi(m_2,m_3)=0 $ из предыдущего пункта. Например, точке $ (2.691693, 1.930238) $, отмеченной на последнем рисунке, соответствуют значения параметров $ m_1=1, m_2 \approx 1.842860, m_3 \approx 4.157140 $, которые определяют точку на дискриминантной кривой в пространстве параметров (она отмечена на зеленом «наконечнике копья» в предыдущем пункте). ♦

Исследование качественной картины траекторий динамической системы обыкновенных дифференциальнызх уравнений (ОДУ) $$ d\, X / d\, t = \mathbf F (X; \mathbf A), \ X=(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb R^n \, , $$ включая анализ зависимости этой картнины от вектора параметров $ \mathbf A $, входящего в состав правой части этой системы — известная задача теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории оптимального управления. В рассмотренных выше пунктах эта проблема рассматривалась для частного случая существования и расположения на плоскости асимптотически устойчивого положения равновесия.

Обобщая, поставленная задача для системы ОДУ формулируется следующим образом: нас интересует максимально возможное множество $ {\color{DarkGreen}{\mathbb P} } $ в параметрическом пространстве $ \mathbb R^m $ такое, что при любой специализации вектора $ \mathbf A $ в этом множестве существует хотя бы одно асимптотически устойчивое положение равновесия системы. С другой стороны, нас интересует допустимое местоположение этого положения равновесия — в смысле нахождения такого множества $ {\color{Red}{\mathbb S} } $ в координатном пространстве (пространстве состояний) $ \mathbb R^n $, любая точка которого может быть сделана асимптотически устойчивым положением равновесия системы ОДУ при подходящей специализации $ \mathbf A \in {\color{DarkGreen}{\mathbb P} } $. Оба этих множества $ {\color{DarkGreen}{\mathbb P} } $ и $ {\color{Red}{\mathbb S} } $ будем называть областямми устойчивости в соответствующих пространствах.

Для частного случая когда вектор-функция $ \mathbf F $ является градиентом некоторой функции $ F $, зависящей от параметров, задача эквивалентна поиску условий существований и определения местоположений точек минимума функции. Для кулоновского потенциала $ F(P) = 1/|PP_1|+m_2/|PP_2|+m_3/|PP_3|, P:=(x,y) $ при фиксированных $ \{P_j\} $ и параметров $ m_2, m_3 $ получили области устойчивости на соответствующих плоскостях

Границами этих областей оказались кривые $ \Psi(m_2,m_3)=0 $ и $ \Phi(x,y) - 2/9 S^2=0 $. Первая из них (изображена на левом рисунке) задает значения параметров $ m_2, m_3 $, при прохождении которых принципиально меняется качественная картина семейства линий уровня потенциала $ F(x,y)=const $ (происходит слияние стационарных точек друг с другом с последующим их исчезновением — если мы двигаемся изнутри области $ {\color{DarkGreen}{\mathbb P} } $ наружу). Такие значения параметров называются бифуркационными.

В нашем примере эти значения оказались лежащими на овале алгебраической кривой. В случае же общей системы ОДУ (даже с полиномиальными правыми частями) алгебраичности границ не следует ожидать. Тем не менее, при дополнительном предположении о невырожденности положений равновесия (за исключением, возможно, множества меры нуль в пространстве параметров) подход допускает обобщение. Подробнее см. [7].

Теорема 3 [Ирншоу]. Всякая равновесная конфигурация точечных зарядов в $ \mathbb R^{3} $ неустойчива, если на них кроме кулоновских сил ничто не действует.

Задача. Найти стационарные точки функции $$ F(P)= \sum_{j=1}^K m_j\left|PP_j \right|^L \ . $$ Здесь $ \{P,P_1,\dots,P_K\} \subset \mathbb R^n , \{ m_{j} \}_{j=1}^K \subset \mathbb R $, и $ L \ne 0 $ — произвольное вещественное число.

Рассмотрим сначала случай $ K=n+1 $. Координаты искомых стационарных точек удовлетворяют градиентной системе $$ \frac{D\, F}{D\, P} = \mathbb O \quad \iff \quad \partial F / \partial x_1=0, \dots, \partial F / \partial x_n=0 \, . $$ Эта система линейная и однородная относительно $ \{m_j\}_{j=1}^{n+1} $. Тогда можно определить ее фундаментальную систему решений.

Теорема 4 [4,6]. Пусть точки $ \{P_j=(x_{j1},\dots,x_{jn})\}_{j=1}^{n+1} $ таковы, что выполнено неравенство

$$ V= \left| \begin{array}{llll} 1 & 1 & \dots & 1\\ x_{11} & x_{21} & \dots & x_{n+1,1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1n} & x_{2n} & \dots & x_{n+1,n} \end{array} \right| > 0 \, . $$ Обозначим $ V_j $ определитель, получаемый заменой $ j $го столбца определителя $ V $ столбцом $ \left[1,x_{ 1},\dots,x_{n} \right]^{\top} $. Тогда любое решение градиентной системы будет решением системы $$ m_1 : m_2 : \dots : m_{n+1}= |PP_1|^{2-L} V_1 : |PP_2|^{2-L} V_2 : \dots : |PP_{n+1}|^{2-L} V_{n+1} \, . $$

Для случая плоскости ( $ n=2 $) получаем следующий вариант этого соотношения: $$ m_1 : m_2 : m_3= |PP_1|^{2-L} S_1 : |PP_2|^{2-L} S_2 : |PP_3|^{2-L} S_3 \, . $$ Здесь $$ S_1(x,y):= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x & x_2 & x_3 \\ y & y_2 & y_3 \end{array} \right|,\ S_2(x,y):= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x & x_3 \\ y_1 & y & y_3 \end{array} \right|,\ S_3(x,y):= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x \\ y_1 & y_2 & y \end{array} \right| \, . $$ и, очевидно $$ S_1(x,y)+S_2(x,y)+S_3(x,y) \equiv S:=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{array} \right| \, . $$ Его можно использовать и для анализа поведения множества стационарных точек функции в зависимости от изменения показателя $ L $.

Теорема 5 [6]. Для произвольной фиксированной конфигурации

$$ \left\{ \begin{array}{c|c|c} P_1 & P_2 & P_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{array} \right\} $$ (точки $ P_1,P_2,P_3 $ неколлинеарны и пронумерованы против часовой стрелки, т.е. $ S>0 $) стационарные точки функции $ F(P)=\sum_{j=1}^3 m_j\left|PP_j \right|^L $ лежат на кривой $$ \left(\log \left|PP_2 \right| - \log \left|PP_3 \right| \right) \log \frac{S_1}{m_1}+ \left(\log \left|PP_3 \right| - \log \left|PP_1 \right| \right) \log \frac{S_2}{m_2} + $$ $$ + \left(\log \left|PP_1 \right| - \log \left|PP_2 \right| \right) \log \frac{S_3}{m_3} =0 $$ Здесь логарифм берется по произвольному основанию.

Доказательство. Результат получается исключением $ L $ из системы $$ \left\{ \begin{array}{lc} \log S_2/m_2- \log S_1/ m_1-(2-L) \left(\log \left|PP_1 \right| - \log \left|PP_2 \right| \right)&=0, \\ \log S_2/ m_3- \log S_1/m_1-(2-L) \left(\log \left|PP_1 \right| - \log \left|PP_3 \right| \right)&=0. \end{array} \right. $$ ♦

Пример. Для $ P_1=(1,1),P_2=(5,1), P_3=(2,6) $ стационарные точки потенциала

$$|PP_1|^L+|PP_2|^L + |PP_3|^L $$ при различных значениях показателя $ L $ лежит на кривой

Кривая проходит через практически все значимые точки треугольника $ P_1P_2P_3 $, а именно: вершины ( $ L \to 1 $), середины сторон ( $ L \to - \infty $), центроид ($ L=2 $), центр описанной окружности ($ L \to \pm \infty $), и точку Ферма-Торричелли ($ L=1 $). Точки кривой $$ \left( \frac{8}{3} \pm \frac{\sqrt{-6 + \sqrt{61}}}{3}, \frac{8}{3} \mp \frac{\sqrt{6 + \sqrt{61}}}{3} \right) \approx \left\{ (3.1151, \ 1.4279); (2.2181, 3.9054) \right\}, $$ соответствующие предельным положениям стационарных точек при $ L\to 0 $, являются стационарными точками для логарифмического потенциала $ \log |PP_1| + \log |PP_2| + \log |PP_3| $ (или, что то же для потенциала $ |PP_1| \cdot |PP_2| \cdot |PP_3| $).

Бифуркационные значения для показателя $ L $ получаются из условия существования кратного решения системы $$ \left\{ \begin{array}{lc} \log S_2/m_2- \log S_1/ m_1-(2-L) \left(\log \left|PP_1 \right| - \log \left|PP_2 \right| \right)&=0, \\ \log S_2/ m_3- \log S_1/m_1-(2-L) \left(\log \left|PP_1 \right| - \log \left|PP_3 \right| \right)&=0, \end{array} \right. $$ относительно неизвестных $ x $ и $ y $. Это условие эквивалентно обращению в нуль якобиана левых частей уравнений. Этот якобиан оказывается равным $$ \frac{(L-2)^2 }{S_1S_2S_3}\left[\Phi(x,y) - \frac{1-L}{(L-2)^2}S^2 \right] \, , $$ где функция $ \Phi(x,y) $ определена в теореме $ 2 $ (и выражение, стоящее в $ \left[ \cdot \right] $, обнаружится в следующей теореме). Разрешив полученную (неалгебраическую!) систему, получим два бифуркационных значений для $ L $, именно $ L_1 \approx -13.5023 $ и $ L_2 \approx 0.7948 $ (изображены на верхнем рисунке). Еще одним бифуркационным значением является $ L=1 $. Когда $ L $ стремится к этому значению слева три стационарные точки из четырех стремятся к вершинам $ P_1,P_2 $ и $ P_3 $ (четвертная — к точке Ферма-Торричелли). Указанные три бифуркационных значения для $ L $ делят вещественную ось значений этого показателя на области с различными количествами стационарных точек рассматриваемого потенциала. Потенциал имеет четыре стационарные точки при $ L<L_1 $ и при $ L_2 < L < 1 $, две — при $ L_1< L < L_2 $, и единственную — при $ L \ge 1 $. ♦

Обобщением теоремы 2 является следующий результат.

Теорема 6. Пусть точки $ P_1,P_2,P_3 $ неколлинеарны и пронумерованы против часовой стрелки, т.е. $ S>0 $. Если $ L \ge 1 $ то область устойчивости $ {\color{Red}{ \mathbb S} }_L $ в координатной плоскости совпадает со внутренностью треугольника $ P_1P_2P_3 $, т.е. любая точка $ P_{\ast}=(x_{\ast},y_{\ast}) $ внутри треугольника является точкой минимума функции

$$ F_{\ast}(P)= \sum_{j=1}^3 m_j^{\ast} \left|PP_j \right|^L \ npu \ \{m_j^{\ast}:=|P_{\ast} P_j|^{2-L} S_j(x_{\ast},y_{\ast}) \}_{j=1}^3 \, . $$ Если $ L<1, L \ne 0 $ то граница области устойчивости $ {\color{Red}{ \mathbb S} }_L $ задается уравнением $$ \Phi(x,y) = \frac{1-L}{(L-2)^2} S^2 $$ где $ \Phi(x,y) $ определяется так же, как и в теореме $ 2 $: $$ \Phi(x,y) :=\frac{S_1(x,y)S_2(x,y)S_3(x,y)}{|PP_1|^2 |PP_2|^2 |PP_3|^2}\sum_{j=1}^3 S_j(x,y) |PP_j|^2 \, . $$

Пример. Для $ P_1=(1,1),P_2=(5,1), P_3=(2,6) $ границы областей устойчивости $ {\color{Red}{ \mathbb S }}_L $ при различных значениях $ L $ изображены на рисунке

Мы ограничились здесь случаем $ L \in [0,1] $ поскольку кривые, соответствующие отрицательным значениям $ L $ совпадают с кривыми, соответствующими положительным значениям $ 1+1/(L-1) \in [0,1] $. Таким образом, область устойчивости $ {\color{Red}{ \mathbb S} }_{(-1)} $ для случая кулоновского потенциала совпадает с областью устойчивости $ {\color{Red}{ \mathbb S} }_{(1/2)} $. При $ L\to +0 $ кривые стягиваются к точке $$ \mathfrak J = \left( \frac{\sqrt{34}+5\, \sqrt{26}+8}{\sqrt{34}+\sqrt{26}+4},\ \frac{\sqrt{34}+\sqrt{26}+24}{\sqrt{34}+\sqrt{26}+4} \right) \approx (2.634034,\, 2.339587) \ . $$ которая является стационарной точкой для функции $ \Phi $.

Гипотеза. При фиксированных $ P_1,P_2,P_3 $ существует общая точка областей устойчивости $ {\color{Red}{ \mathbb S} }_L $ всех потенциалов $ m_1|PP_1|^L+m_2|PP_2|^L +m_3|PP_3|^L $. Эта точка $ \mathfrak J $ имеет координаты $$ x_{_{\mathfrak J}} =\frac{x_1 |P_2P_3|+x_2 |P_1P_3| + x_3 |P_1P_2| }{|P_2P_3|+|P_1P_3| +|P_1P_2| },\ y_{_{\mathfrak J}} =\frac{y_1 |P_2P_3|+y_2 |P_1P_3| + y_3 |P_1P_2| }{|P_2P_3|+|P_1P_3| +|P_1P_2| } $$ и является стационарной точкой функции $ \Phi $. Она совпадает с центром вписанной в треугольник $ P_1P_2P_3 $ окружности.

[1]. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.Наука. 1989

[2]. Gabrielov A., Novikov D., Shapiro B. Mystery of Point Charges. Proc. London Math. Soc. Ser. 3. V. 95, pp. 443-472, 2007.

[3]. Jeans J.H. The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism. Cambridge. Cambridge University Press. 1908

[4]. Uteshev A.Yu., Yashina M.V. Stationary Points for the Family of Fermat-Torricelli-Coulomb-like potential functions. Proc. 15th Workshop CASC (Computer Algebra in Scientific Computing), Berlin 2013. Springer. Lecture Notes in Computer Science. V.8136 , 2013, P. 412-426.

[5]. Uteshev A.Yu., Yashina M.V. On Maxwell’s Conjecture for Coulomb Potential Generated by Point Charges. Transactions on Computational Sciences XXVII. LNCS 9570, 2016, pp. 68-80. Текст ☞ ЗДЕСЬ (pdf).

[6]. Uteshev A., Goncharova M. On Stationary Points of Distance Depending Potentials. LNCS, 2020, V.11974, pp. 503-510. Текст ☞ ut_gon2019_numta_r.pdf

[7]. Uteshev A.Yu. Algebraic and radical potential fields. Stability domains in coordinate and parametric space. .International Scientific Conference on Mechanics: 8th Polyakhov's Reading. 2018, St.Petersburg, Russia. AIP Conference Proceedings. V. 1959, 2018, No 080021. Текст ☞ uteshev_pc18r.pdf