Раздел содержит материал теоретического значения, не очень существенный¹⁾ для остальных разделов.

Для $ m\times n_{} $-матрицы $ A_{} $ рассмотрим ее всевозможные миноры порядка $ k_{} $: $$ A\left( \begin{array}{lll} \alpha_1 & \dots & \alpha_k \\ \beta_1 & \dots & \beta_k \end{array} \right) = \left| \begin{array}{lll} a_{\alpha_1 \beta_1} & \dots & a_{\alpha_1 \beta_k} \\ \dots & & \dots \\ a_{\alpha_k \beta_1} & \dots & a_{\alpha_k \beta_k} \end{array} \right|. $$ Составим из этих миноров матрицу, упорядочив их так, чтобы определяющие их индексы $ (\alpha_1, \dots , \alpha_k) $ располагались в лексикографическом порядке по строкам, а индексы $ (\beta_1, \dots , \beta_k) $ — по столбцам. Такая матрица имеет порядок $ C_m^k \times C_n^k $, обозначается $ A^{(k)} $ и называется $ \mathbf k $-й ассоциированной матрицей для матрицы $ A_{} $. Очевидно, $ A^{(1)}=A $.

Пример. Для матрицы $$ A= \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array} \right) $$ имеем:

$$ A^{(2)}= \left( \begin{array}{cccccc} \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|, & \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{array} \right|, & \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{14} \\ a_{21} & a_{24} \end{array} \right|, & \left| \begin{array}{cc} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{array} \right|, & \left| \begin{array}{cc} a_{12} & a_{14} \\ a_{22} & a_{24} \end{array} \right|, & \left| \begin{array}{cc} a_{13} & a_{14} \\ a_{23} & a_{24} \end{array} \right| \\ &&&&& \\ \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right|, & \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right|, & \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{14} \\ a_{31} & a_{34} \end{array} \right|, & \left| \begin{array}{cc} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right|, & \left| \begin{array}{cc} a_{12} & a_{14} \\ a_{32} & a_{34} \end{array} \right|, & \left| \begin{array}{cc} a_{13} & a_{14} \\ a_{33} & a_{34} \end{array} \right| \\ &&&&& \\ \left| \begin{array}{cc} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right|, & \left| \begin{array}{cc} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right|, & \left| \begin{array}{cc} a_{21} & a_{24} \\ a_{31} & a_{34} \end{array} \right|, & \left| \begin{array}{cc} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right|, & \left| \begin{array}{cc} a_{22} & a_{24} \\ a_{32} & a_{34} \end{array} \right|, & \left| \begin{array}{cc} a_{23} & a_{24} \\ a_{33} & a_{34} \end{array} \right| \end{array} \right) $$ $$ A^{(3)}= \left( \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|,\ \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \end{array} \right|,\ \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \end{array} \right|,\ \left| \begin{array}{ccc} a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array} \right| \right) \ .$$

Теорема [Коши, Сильвестр]. Для квадратной матрицы $ A_{} $ порядка $ n_{} $ все матрицы $ A^{(k)} $ будут квадратными и $$ \det A^{(k)} = (\det A)^{C_{n-1}^{k-1}} \ .$$

Следующая теорема является естественным обобщением теоремы Бине-Коши.

Теорема. Пусть матрица $ A_{} $ имеет порядок $ m \times n_{} $, а матрица $ B_{} $ — порядок $ n \times p $. Тогда для любого $ k \in \{ 1,\dots, \min (m,n,p) \} $ будет выполнено: $$ (A\cdot B)^{(k)} = A^{(k)} \cdot B^{(k)} \ . $$

Теорема. Если квадратная матрица $ A_{} $ порядка $ n_{} $ имеет собственные числа $ \{ \lambda_1,\dots,\lambda_n \} $, то матрица $ A^{(k)} $ имеет собственные числа равные произведениям $ \lambda_{j_1} \times \dots \times \lambda_{j_k} $ при всевозможных сочетаниях из $ n_{} $ индексов $ \{ 1,\dots,n_{} \} $ по $ k_{} $.

Пример. Для $$ A= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1& -5 &1 \end{array} \right) $$ имеем: $$ A^{(2)}= \left( \begin{array}{rrr} -3 & 4 & 6 \\ -8 & 3 & -7 \\ -13& 2 &3 \end{array} \right) \ . $$ Характеристические полиномы этих матриц: $$ - (\lambda^3-5\, \lambda^2 + 3\,\lambda -23) \quad u \quad -(\lambda^3-3\, \lambda^2 + 115\,\lambda -529) $$ соответственно. На основании формул Виета, имеем для первого полинома: $$ \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=5,\ \lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3 +\lambda_2\lambda_3 = 3, \ \lambda_1\lambda_2 \lambda_3=23 \ . $$ Это соответствует формулам Виета для второго полинома: $$ (\lambda_1\lambda_2 \lambda_3)^2 = 529 ,\ \lambda_1^2\lambda_2\lambda_3 +\lambda_1\lambda_2^2\lambda_3 + \lambda_1\lambda_2\lambda_3^2 = 5\times 23 \ . $$

Теорема. Если квадратная матрица $ A_{} $ ортогональна, то и матрица $ A^{(k)} $ ортогональна.

[1]. Turnbull H.W. The Theory of Determinants, Matrices and Invariants. Blackie & Sons Ltd. 1929

[2]. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. М.Мир. 1983

[3]. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. М.Наука. 1965.