Рассмотрим одномерную динамическую систему, поведение которой во времени $ t_{} $ подчиняется второму закону Ньютона $$ m\cdot a(t)= F(x(t), v(t), t)\ , $$ где, например, в случае описания поведения механического объекта, $ a_{} $ может означать его ускорение, а $ F_{} $ — действующую на него силу; последняя, в общем случае, может зависеть как от координаты $ x_{} $ объекта так и от его скорости $ v_{} $. Для простоты будем считать $ m_{} = 1_{} $. С точки зрения теории дифференциальных уравнений, поведение системы описывается дифференциальным уравнением второго порядка: $$ \frac{ d\,^2 x }{d\, t^2}=F \left(x(t), \frac{ d\, x(t) }{d\, t}, t \right) \ , $$ которому еще «придаются» либо начальные условия: $$ x(t_0)=x_0, v(t_0)=\frac{ d\, x(t) }{d\, t}\bigg|_{t=t_0}=v_0 $$ (известны положение тела и его скорость в момент времени $ t_0 $), либо граничные условия: $$ x(t_0)=x_0, x(t_1) = x_1 \quad npu \quad t_0 \ne t_1 \ . $$ Доказывается, что для подавляющего большинства встречающихся на практике функций $ F_{} $ (например, для полиномов ) дифференциальное уравнение имеет решение: существует бесконечное множество функций $ x(t) $, при подстановке каждой из которых в уравнение последнее обращается в тождество по $ t_{} $; в этом бесконечном множестве можно выбрать функции, удовлетворяющие либо заданным начальным условиям, либо заданным граничным условиям; наконец, гарантируется единственность выбранных решений, удовлетворяющих этим условиям.

Пример. Уравнение

$$ \frac{ d\,^2 x }{d\, t^2}=-\omega_0^2 x(t) $$ при постоянной вещественной величине $ \omega_0 \ne 0 $ описывает поведение большого количества механических систем¹⁾. Множество решений этого уравнения имеет вид $$ x(t)=A\cos (\omega_0 t)+ B \sin (\omega_0 t) $$ при произвольных постоянных $ \{A,B\} \subset \mathbb R $. При любом выборе начальных данных существует решение уравнения, оно будет периодическим по $ t_{} $ с периодом $ 2\pi/\omega_0 $. Например, $$ \begin{matrix} npu \ x(0)=1, d\, x / d\, t |_{t=0}=0: \quad & & x(t)= \cos (\omega_0 t) ; \\ npu \ x(0)=0, d\, x / d\, t |_{t=0}=1: \quad & & x(t)= 1/\omega_0 \sin (\omega_0 t) ; \\ npu \ x(0)=0, d\, x / d\, t |_{t=0}=0: \quad & & x(t)\equiv 0 . \end{matrix} $$ В случае механической системы, о получившихся решениях говорят как о свободных колебаниях — их амплитуда и частота остаются неизменными с течением времени²⁾. ♦

Теперь рассмотрим более сложный пример.

Пример. Уравнение

$$ \frac{ d\,^2 x }{d\, t^2}=-\omega_0^2 x(t) + \sin(\omega_1 t) $$ при постоянных $ \{\omega_0,\omega_1\} \in \mathbb R, \omega_0 \ne 0 $, описывает поведение объекта, на которого оказывается воздействие; это воздействие — периодическое и ограниченное по величине. Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям $ x(0)=1, d\, x / d\, t |_{t=0}=0 $, имеет вид: $$ x(t)=\frac{1}{\omega_0(\omega_0^2-\omega_1^2)}\left(\omega_0\sin(\omega_1\,t)-\omega_1\sin(\omega_0\,t) \right)+\cos(\omega_0\,t) \ . $$ При $ \omega_1\ne \pm \omega_0 $ это решение остается ограниченным по $ t_{} $, хотя периодичность его уже не гарантируется — ниже приведены графики решений для случая $ \omega_0 =1 $ и при выборе $ \omega_1 =\sqrt{2} $, а также $ \omega_1 = 2/5 $:

Колебания описываются уже двумя частотами — наряду с $ \omega_0 $ возникает еще и частота $ \omega_1 $ возбуждающей силы. Приведенная формула решения позволяет заметить, что, хотя амплитуда колебаний и остается ограниченной, но при при сближении этих двух частот $ \omega_0 $ и $ \omega_1 $, амплитуда становится все большей. Что происходит при совпадении частот? Формулу для решения приходится заменять на $$ x(t)=\frac{1}{2\omega_0^2}\left(\sin(\omega_0 t)- \omega_0\, t \cos (\omega_0\, t) \right) + \cos (\omega_0 \, t)\ . $$ И это решение перестает быть ограниченным по $ t_{} $:

Аналогичное поведение будет наблюдаться даже в случае, когда изначально система находилась в покое — при $ x(0)=0, d\, x / d\, t |_{t=0}=0 $ решение имеет вид: $$ x(t)= \frac{1}{2\omega_0^2}\left(\sin(\omega_0\, t)-\omega_0 t \cos(\omega_0\,t)\right) \ ; $$ характер поведения его графика идентичен предыдущему. ♦

Это явление — возникновение в системе колебаний неограниченной амплитуды при воздействии на нее силы ограниченной по величине — называется резонансом. Практическая значимость этого явления очевидна: подвергая изначально неподвижное тело, закрепленное на пружине, периодическим воздействиям — определенной частоты $ \omega_1 $ хотя и сколь угодно малой фиксированной амплитуды — мы вынудим колебаться тело с такой амплитудой, которая разорвет пружину³⁾.

В случаях более сложных систем — с несколькими степенями свободы — уравнения движения записываются c помощью систем уравнений второго порядка, например в виде $$ \left\{ \begin{array}{ccc} d\,^2 x_1 / d\, t^2 &=& a_{11}x_1+a_{12}x_2 \ , \\ d\,^2 x_2 / d\, t^2 &=& a_{21}x_1+a_{22}x_2 \ ; \end{array} \right. $$ или же, в общем случае, в матричной форме записи: $$ \frac{ d^2\, X}{ d\, t^2}=A\, X $$ при заданной матрице $$ A= \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right) $$ и столбце переменных $$ X= \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \ . $$ При матрице $ A_{} $ — симметричной и отрицательно определенной любое решение системы будет ограниченным; оно может быть представлено в виде линейной комбинации синусов и косинусов от $ \Omega_1 t,\dots, \Omega_n t $, где $ \Omega_j $ означает квадратный корень из собственного числа матрицы $ A_{} $, взятого с противоположным знаком. Эти величины $ \{ \Omega_j \}_{j=1}^n $ называются собственными частотами колебаний системы и мы предполагаем их различными и несоизмеримыми.

Если в какое-то из уравнений системы ввести дополнительное слагаемое, представляющее собой периодическую возбуждающую силу, то резонансных частот для этой силы будет уже несколько — как раз $ \{ \Omega_j \}_{j=1}^n $.

или резонатор Гельмгольца⁴⁾ — сосуд сферической формы с открытой горловиной. Служит для выделения или подавления определенных частот в звуковых сигналах. Воздух в горловине является колеблющейся массой, а объем воздуха в сосуде играет роль упругого элемента. При смещении этой массы, например, в сторону сферического объема воздух в этом объеме слегка сжимается и возникающие силы избыточного давления выполняют роль возвращающей силы.

Оригинал фотографии ☞ ЗДЕСЬ

Упрощенная модель резонатора учитывает колебания воздуха только в горловине, поскольку эти резонаторы имеют применения только в слышимом диапазоне частот⁵⁾. В этом предположении собственная частота колебаний воздуха в горловине (или частота резонатора Гельмгольца) равна $$ \omega_0= c \sqrt{\frac{S}{V\ell}} \ , $$ где $ c_{} $ — скорость звука, $ S_{} $ — площадь поперечного сечения горловины, $ \ell_{} $ — ее длина, $ V_{} $ — объем колбы резонатора.

Пример. При $ V=10^{-3} $ м$ ^3 $, $ S=1 $ см$ ^2 $, $ \ell = 1 $ см, $ c = 334 $ м/c получаем частоту $$ F= \frac{\omega_0}{2\pi} \approx 168 \ \mbox{ Гц } \ . $$

Если имеется источник (генератор) периодических звуковых колебаний, то при частоте этих колебаний близких к собственной частоте резонатора происходит либо резкое усиление звука, либо его практически полное исчезновение.

[1]. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Колебания и волны. Лекции. Изд-во физического факультета МГУ. 2001. Текст ☞ ЗДЕСЬ

[2]. Шихатов А.И. Акустические резонаторы. Ж-л. «Мастер 12 Вольт». 2004. Текст ☞ ЗДЕСЬ