На содержание $ 45 $ человек издержано в $ 56 $ дней $ 2040 $ руб.; сколько нужно издержать на $ 75 $ человек в $ 70 $ дней?

Ответ. $ 4250 $.

Показать, что разность между каким-нибудь числом и числом, состоящим из тех же цифр, как первое, но написанных в обратном порядке, делится без остатка на $ 9_{} $.

Решение. Проиллюстрируем идею на примере четырехзначного числа $ \underline{{\mathfrak a}_1{\mathfrak a}_2 {\mathfrak a}_3 {\mathfrak a}_{4}} $. Имеем: $$ \underline{{\mathfrak a}_1{\mathfrak a}_2 {\mathfrak a}_3 {\mathfrak a}_{4}} - \underline{{\mathfrak a}_4{\mathfrak a}_3 {\mathfrak a}_2 {\mathfrak a}_{1}}= {\mathfrak a}_1\cdot 10^3+{\mathfrak a}_2\cdot 10^2+{\mathfrak a}_3\cdot 10+{\mathfrak a}_4 -{\mathfrak a}_4\cdot 10^3-{\mathfrak a}_3\cdot 10^2-{\mathfrak a}_2\cdot 10+{\mathfrak a}_1= $$ $$ = {\mathfrak a}_1\cdot 999+{\mathfrak a}_2\cdot 90 -{\mathfrak a}_3\cdot 90-{\mathfrak a}_4\cdot 999 $$ Каждое слагаемое делится на $ 9_{} $.

Найти сумму остатков от деления $ 7263 $ на $ 5_{} $ , $ 85461_{} $ на $ 9_{} $, $ 13025 $ на $ 25_{} $, $ 1237 $ на $ 10_{} $, $ 28003_{} $ на $ 100_{} $, не производя деления чисел.

Ответ. $ 19 $.

Сколько можно провести замкнутых ломаных линий через $ n_{} $ точек на плоскости, если эти точки расположены так, что между ними нет трех точек, лежащих на одной прямой.

Решение. Число треугольных замкнтутых ломаных линий равно $ C_n^3 $, четырехугольных $ C_n^4 $ и т.д. Итого, общее число будет $$ C_n^3+C_n^4+\dots+C_n^n \ . $$ Используя тот факт, что $ \displaystyle \sum_{j=0}^n C_n^j=2^n $, получаем

Ответ. $ 2^n - 1/2(n^2+n+2) $.

Чему равна сумма всех чисел, которые можно получить, делая всевозможные перестановки из цифр $ 0,1,3,5,7 $.

Доказать, что если сложить числителей и знаменателей двух разных дробей, то полученная дробь будет заключаться между данными дробями.

В какой системе счисления число $ 157 $ изображается $ 111 $.

Решение. Обозначим искомое основание системы счисления через $ N_{} $, тогда $$ 1+1\cdot N+1\cdot N^2=157 \quad \Rightarrow \quad N=12 \ . $$

Дано $ 487=964 $; по каким системам счисления могут быть написаны эти числа.

Решение. Обозначим искомые основания систем счисления через $ M_{} $ и $ N_{} $ соответственно, тогда $$ 7+8\cdot M+4\cdot M^2=4+6\cdot N+9\cdot N^2 \quad \iff \quad 4(M+1)^2=(3N+1)^2 \quad \iff \quad (3N-2M-1)(3N+2M+3)=0 \ . $$ Нас интересуют только положительные решения, поэтому остается уравнение $ 3N-2M=1 $, решением которого является $ N=1+2t,\ M=1+3t $ при $ t\in \mathbb Z, t>0 $. По смыслу задачи, $ N>9, M>8 $, поэтому $ t \ge 5 $. Таким образом, решениями задачи являются пары $$ (11,16),\ (13,19),\ (15,22), \dots $$

Какие числа при делении на $ 3,7,11,13 $ дают остатки $ 1,6,10,12 $ ?

Решение. Общий алгоритм решения подобных задач ☞ ЗДЕСЬ.

Ответ. $ 1000+3003\, t $ при $ t\in \mathbb Z $.

Из скольких цифр состоит $ 6^{5^4} $, $ 4^{5^6} $, $ 5^{4^6} $, $ 6^{4^5} $ ?

Ответ. $ 487 $, $ 9408 $, $ 2863 $, $ 797 $.

Доказать, что $ x^5+y^5-x^4y-xy^4\ge 0 $ при $ x>0 $ и $ y>0 $.

Решение. Левая часть неравенства может быть разложена на множители $ (x+y)(x^2+y^2)(x-y)^2 $.

Решить систему уравнений $ x^2+xy+y^2=37,\ x^2+xz+z^2=28,\ y^2+yz+z^2=19 $.

Ответ. $ (\pm 4,\pm 3, \pm 2) ; (\pm 10/\sqrt{3}, \pm 1/\sqrt{3}, \mp 8/\sqrt{3}) $.

Из уравнений $ x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=d^{-1} $ и $ ax^3=by^3=cz^3 $ определить $ ax^2+by^2+cz^2 $.

Ответ. $ d^2\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} \right) $.

$ n_{} $ прямых линий пересекаются в одной точке, образуя между собой углы $ =\alpha $. Из какой-нибудь точки одной линии опускают перпендикуляр на соседнюю линию; из конца этого перпендикуляра опускают перпендикуляр на следующую линию и т.д. Определить длину образующейся бесконечной ломаной линии, если длина первого перпендикуляра $ =a $.

Ответ. $ \displaystyle \frac{a}{1- \cos \alpha} $.

Определить $ x+3\,x^2+x^3+3\,x^4+x^5+3\,x^6+\dots $ при $ |x|<1 $.

Найти коэффициент при $ x^{n-1} $ в уравнении, каждый корень которого на $ 1_{} $ меньше корня уравнения $ x^n+x+1 =0 $.

Подсказка. См. пункт ☞ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОРНЕЙ

Ответ. $ n_{} $ при $ n>2 $, $ 3_{} $ при $ n_{}=2 $.

Найти сумму чисел $$ 1+11+111+1111+\dots+\overbrace{111\dots 11}^n \ . $$

Ответ. $ \displaystyle \frac{\overbrace{111\dots 11}^n0 }{9}-\frac{n}{9} $.

Суммировать ряд $$ \left(x+\frac{1}{x} \right)^2+\left(x^2+\frac{1}{x^2} \right)^2+\dots+ \left(x^n+\frac{1}{x^n} \right)^2 \ . $$

Ответ. $ \displaystyle S=\frac{(x^{2n}-1)(x^{2n+2}+1)}{(x^2-1)x^{2n}}+2n $.

Дан ряд, составленный по такому закону, что $$ u_{n+1}=u_n+u_{n-1} \quad \mbox{ причем } \quad u_1=1,u_2=2 . $$ Доказать, что $ \left(u_n\right)^2=u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^n $.

Комментарий. Числа $ \{u_n\} $, сформированные по такому закону, известны как числа Фибоначчи. Указанное соотношение является следствием более общего результата, принадлежащего Эйлеру.

В круг вписан квадрат; в него вписан круг; в новый круг вписан опять квадрат и т.д. до бесконечности; определить предел суммы площадей сегментов.

Ответ. $ S=2\,R^2(\pi-2) $.