Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу ОПЕРАТОР


Задачи

1. Оператор $ \mathcal A $ в $ \mathbb R^{3} $ действует следующим образом:

a) $ \mathcal A(1,2,3)=(-2,1,1),\ \mathcal A(1,1,1)=(0,1,1),\ \mathcal A(1,1,0)=(4,0,2) $, определить $ \mathcal A(-1,1,-2) $;

б) $ \mathcal A(1,2,1)=(-1,0,1),\ \mathcal A(2,1,2)=(1,1,1),\ \mathcal A(1,1,1)=(1,1,0) $, определить $ \mathcal A(3,2,1) $;

в) $ \mathcal A(1,2,1)=(-1,0,1),\ \mathcal A(-2,-3,-2)=(1,1,1),\ \mathcal A(1,1,1)=(0,-1,-2) $, определить $ \mathcal A(0,-2,0) $;

г) $ \mathcal A(1,2,1)=(-1,0,1),\ \mathcal A(-2,-3,-2)=(1,1,1),\ \mathcal A(0,1,0)=(-1,1,3) $, определить $ \mathcal A(0,0,1) $.

2. В пространстве $ \mathbb P_3 $ полиномов степеней $ \le 3_{} $ с вещественными коэффициентами оператор задан следующим образом:

a) $ \mathcal A (p(x))= $ частное от деления $ p_{}(x) $ на $ x^{2}+1 $ , найти $ \mathcal{K}er (\mathcal A) $ и $ \mathcal{I}m(\mathcal A) $;

б) $ \mathcal A (p(x))=3\,x^2p^{\prime \prime}(x)-2 p^{\prime}(x) $, найти его матрицу в базисе $ \{ 1, x, 1/2(3\,x^2-1),\ 1/2(5x^3-3\,x) \} $;

в) $ \ \mathcal A (f(x)) = f(x) (x^2-2) \pmod{x^4-x^3-x^2+x} $, (т.е. полином $ f_{}(x) $ отображается в остаток от деления произведения $ f(x) (x^2-2) $ на $ x^4-x^3-x^2+x $); найти $ \mathcal A_{}^{-1} $.

3. В пространстве квадратных матриц $ 2_{} $-го порядка выбран базис: $$ E_1=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right),\ E_2=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right),\ E_3=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right),\ E_4=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \ . $$ Построить в этом базисе матрицу отображения Ляпунова $$ \mathcal V (X) = A^{\top}X+XA \ . $$ Здесь матрица $ A_{} $ — некоторая фиксированная квадратная матрица $ 2_{} $-го порядка. Сравнить ответ с вот этим объектом.

4. Найти все значения параметра $ \alpha_{} $, при которых матрица

а) $$ \quad \left( \begin{array}{rcr} 3-\alpha &\alpha -5 & \alpha \\ -\alpha &\alpha - 2 & \alpha \\ 5 & -5 & -2 \end{array} \right) \ ; $$ б) $$ \left( \begin{array}{ccc} 1-5\, \alpha & 4\, \alpha & 3\, \alpha \\ 5\, \alpha & 1-4\, \alpha & -3\, \alpha \\ -15\, \alpha & 12\, \alpha & 1+9 \, \alpha \end{array} \right) $$ диагонализуема.

5. Доказать, что любые $ n_{}+1 $ степеней произвольного оператора, заданного в пространстве размерности $ n_{} $, будут линейно зависимыми.

6. При каком условии оператор $ \mathcal A $ будет иметь неподвижную точку: $$ X \in \mathbb V, X \ne \mathbb O,\ \mathcal A (X)=X \ ? $$

7 [1]. Рассмотрим пространство полиномов $ \mathbb P $ всевозможных степеней от переменной $ x_{} $. Пусть $$ \mathcal A (a_0+a_1x+\dots+a_nx^n)= a_1+a_2x+\dots+a_nx^{n-1},\quad \mathcal B (f(x))= xf(x) \ . $$ Доказать, что $$ \mathcal A \mathcal B = \mathcal E , \quad \mathcal B \mathcal A \ne \mathcal E \ . $$

8. Существует ли оператор в $ \mathbb R^{2} $, отображающий треугольник $ P_{1}P_2P_3 $ в треугольник $ Q_1Q_2Q_3 $ если

a) $ P_1=(1,1),P_2=(3,1),P_3=(2,3) $, а $ Q_1=(1,1),Q_2=(2,1),Q_3=(1,4) $;

б) $ P_1=(0,0),P_2=(3,1),P_3=(2,3) $, а $ Q_1=(0,0),Q_2=(2,1),Q_3=(1,4) $;

в) $ P_1=(2,1),P_2=(3,3),P_3=(4,2) $, а $ Q_1=(1,1),Q_2=(2,2),Q_3=(3,1) $ ?

Если да, то укажите количество таких операторов. Во что при этом отображается центроид треугольника?

9. Доказать, что для любых двух различных векторов $ \{X,Y\}\subset \mathbb R^n $ одинаковой длины существует оператор зеркального отражения, переводящий один вектор в другой.

10. Найти спектр оператора зеркального отражения.

11. В ненулевом пространстве случайным образом выбирается действующий в нем оператор. Какова вероятность того, что он вырожден?

12. В пространстве $ \mathbb P_2 $ полиномов по $ x_{} $ степени $ \le 2 $ линейный оператор действует по правилу: $$ \mathcal A(x^2+x+1)=2\,x+1,\ \mathcal A(x^2-x-1)=x-3,\ \mathcal A(1)=x \ . $$ Можно ли обобщить свойство линейности таким вот образом: $ \mathcal A(x)=x \mathcal A(1) $?

13. При какой матрице перехода от старого базиса к новому матрица оператора не изменится?

Источники

[1]. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М.Наука.1969

mapping/operator/problems.txt · Последние изменения: 2020/11/09 17:22 — au