Для экономии места используется обозначение стандартного базисного вектора:

$$ {\mathfrak e}_j = \big[\underbrace{0,\dots,0,1}_{j},0,\dots,0\big]^{\top} . $$

Пример 1. Для матрицы

$${\mathbf A}=\left( \begin{array}{rrrrrr} -1 & 0 & -9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right) $$ построить ЖНФ и матрицу $ C $, к ней приводящую.

Решение. 1. Вычисляем характеристический полином $ \det ({\mathbf A}- \lambda\, E)=(\lambda-2)^6 $. Он имеет единственный корень $ \lambda_1=2 $ кратности $ {\mathfrak m}_1=6 $.

2. Ищем $ \mathbb Q_1 $, т.е. подпространство корневых векторов высоты $ 1_{} $, принадлежащих $ \lambda_1 $. Для этого составляем матрицу $${\mathbf B}={\mathbf A}- 2\, E= \left( \begin{array}{rrrrrr} -3 & 0 & -9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ и ищем фундаментальную систему решений (ФСР) для системы $ {\mathbf B}X=\mathbb O $. Результатом прямого хода метода Гаусса является система $$\left\{ \begin{array}{rrrrrrr} x_1& & +3x_3 & & & &=0 \\ &x_2 & & & & &=0 \\ & & & x_4 & &-x_6& =0 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \qquad \mbox{ ФСР: } \quad \begin{array}{ccc|ccc} x_1 & x_2 & x_4 & x_3 & x_5 & x_6 \\ \hline -3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} $$ (справа от вертикальной черты — значения основных переменных) и $ \mathbb Q_1=\mathcal L ({\mathfrak e}_5, {\mathfrak e}_4+{\mathfrak e}_6,-3{\mathfrak e}_1+{\mathfrak e}_3) $.

Вывод. Собственному числу $ \lambda_1=2 $ в ЖНФ соответствуют $ k_1=3 $ клетки Жордана. Матрица $ {\mathbf A} $ недиагонализуема.

3. Ищем $ \mathbb Q_2 $, т.е. подпространство корневых векторов высоты $ \le 2 $, принадлежащих $ \lambda_{1} $. Для этого вычисляем матрицу $${\mathbf B}^2= \left( \begin{array}{rrrrrr} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & -2 \end{array} \right) $$ и ищем ФСР для системы $ {\mathbf B}^2X=\mathbb O $. Эта система вырождается в единственное уравнение $$x_2+x_4-x_6=0 \ ,$$ для которого ФСР можно строить произвольным образом. Мы, однако же, построим ее дополнением ФСР, полученной на шаге 2 : $$ \begin{array}{c|ccccc} x_4 & x_3 & x_5 & x_6 & x_1 & x_2 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} $$ (переменные $ x_{1} $ и $ x_{2} $, которые были зависимыми на шаге 2 , переведены в разряд основных). Таким образом, $ k_2=2 $ добавленных на этом шаге вектора составляют относительный базис $ \mathbb Q_2 $ над $ \mathbb Q_1 $.

4. Ищем $ \mathbb Q_3 $, т.е. подпространство корневых векторов высоты $ \le 3 $, принадлежащих $ \lambda_{1} $. Матрица $ {\mathbf B}^3 $ оказывается нулевой, следовательно $ \mathbb Q_3=\mathbb R^6 $. Базис $ \mathbb Q_3 $ построим дополнением базиса $ \mathbb Q_2 $: $$\qquad \qquad \qquad \mathbb Q_3=\mathcal L ({\mathfrak e}_5, {\mathfrak e}_4+{\mathfrak e}_6,-3{\mathfrak e}_1+{\mathfrak e}_3, {\mathfrak e}_2-{\mathfrak e}_4,{\mathfrak e}_1,{\mathfrak e}_4) \ . $$ Таким образом, $ k_3=1 $.

5. Поскольку число векторов в базисе $ \mathbb Q_3 $ совпало с кратностью $ {\mathfrak m}_1=6 $ собственного числа $ \lambda_1=2 $, то на этом процесс вычисления корневых векторов останавливается. Информация о структуре клеток Жордана, соответствующих $ \lambda_{1} $ берем из алгоритма построения базиса корневого подпространства:

• $ \mathfrak h_1=3,k_3=1 $, следовательно имеется одна клетка порядка $ 3_{} $;
• в относительном базисе

$ \mathbb Q_2 $ над $ \mathbb Q_1 $ содержатся $ k_2=2 $ вектора и $ k_2-k_3=1 $, т.е. имеется одна клетка порядка $ 2_{} $;

• в базисе $ \mathbb Q_1 $ содержатся $ k_1= 3 $ вектора и $ k_1-k_2=1 $, т.е. имеется одна клетка порядка $ 1_{} $.

$$ {\mathbf A}_{\mathfrak J}=\left( \begin{array}{rrr|rr|r} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right) \ . $$

Теперь начинаем построение соответствующей матрицы $ C_{} $. Прежде всего, представляем алгоритм нахождения базисных векторов подпространств $ \mathbb Q_1, \mathbb Q_2, \mathbb Q_3 $ в виде схемы 1, в ней каждый этаж показывает число корневых векторов, добавляемых на каждом шаге. Стоящие друг над другом квадраты образуют башни, высоты которых дают размерности клеток Жордана.

6. Для построения канонического базиса обратимся к схеме 1, и будем заполнять ее квадраты, начиная с самого верхнего. Согласно алгоритму, для построения базиса циклического подпространства размерности $ 3_{} $ мы должны взять произвольный вектор из относительного базиса $ \mathbb Q_3 $ над $ \mathbb Q_2 $. Этот вектор единствен: $ {\mathfrak e}_4 $. Далее, домножаем его на матрицы $ {\mathbf B} $ и $ {\mathbf B}^2 $. Три полученных вектора $ {\mathfrak e}_4, {\mathfrak e}_2-{\mathfrak e}_4, 2({\mathfrak e}_4+{\mathfrak e}_6) $ — это первые векторы канонического базиса (схема 2). Они соответствуют клетке Жордана порядка $ 3_{} $.

7. Больше циклических подпространств размерности $ 3_{} $ не имеется, и мы начинаем искать базис циклических подпространств размерности $ 2_{} $. Согласно алгоритму, мы должны взять произвольный вектор из относительного базиса $ \mathbb Q_2 $ над $ \mathbb Q_ 1 $, линейно независимый с тем, что получен на шаге 6 , т.е. с $ ({\mathfrak e}_2-{\mathfrak e}_4) $. Такой вектор единствен: $ {\mathfrak e}_1 $. Домножим его на матрицу $ {\mathbf B} $. Два вектора: $ {\mathfrak e}_1, -3{\mathfrak e}_1+{\mathfrak e}_3 $ являются следующими векторами канонического базиса и соответствуют клетке Жордана порядка $ 2_{} $ (схема 3).

8. Осталось одномерное циклическое подпространство. Его базис выбирается из $ \mathbb Q_1 $. Из базисных векторов $ \mathbb Q_1 $ можно взять только $ {\mathfrak e}_5 $ (т.к. векторы $ -3{\mathfrak e}_1+{\mathfrak e}_3 $ и $ {\mathfrak e}_4+{\mathfrak e}_6 $ уже задействованы на предыдущих этапах и содержатся среди канонических). Итак, канонический базис пространства $ \mathbb R^6 $ задается $$\left\{{\mathfrak e}_4, {\mathfrak e}_2-{\mathfrak e}_4, 2({\mathfrak e}_4+{\mathfrak e}_6), {\mathfrak e}_1, -3{\mathfrak e}_1+{\mathfrak e}_3, {\mathfrak e}_5 \right\} $$ т.е. матрица $$ C= \left( \begin{array}{rrrrrr} 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ приводит матрицу $ {\mathbf A} $ к ЖНФ: $ C^{-1}{\mathbf A}C={\mathbf A}_{\mathfrak J} $.

9. Матрица $ C_{} $, приводящая к ЖНФ, определяется не единственным образом — алгоритм ее построения допускает неоднозначности. Последним шагом решения может быть проверка равенства $ {\mathbf A}C=C{\mathbf A}_{\mathfrak J} $. Хотя это условие является только необходимым, но очень часто позволяет отловить ошибки.

Пример 2. Для матрицы

$${\mathbf A}=\left( \begin{array}{rrrrrr} 3 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & -3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & -3 \end{array} \right) $$ построить ЖНФ и матрицу $ C_{} $, к ней приводящую.

Решение. 1. Вычисляем характеристический полином $ \det ({\mathbf A}- \lambda\, E)=\lambda^6 $. Он имеет единственный корень $ \lambda_1=0 $ кратности $ {\mathfrak m}_1=6 $.

2. Ищем $ \mathbb Q_1 $, т.е. подпространство корневых векторов высоты $ 1_{} $, принадлежащих $ \lambda_1=0 $. Для нашего примера матрица $ {\mathbf B}={\mathbf A}- \lambda_1\, E $ совпадает с матрицей $ \mathbf A_{} $. Строим ФСР для системы $ {\mathbf A}X=\mathbb O $: $$\left\{ \begin{array}{rrrrrrr} 3\,x_1& &-x_3 & +x_4 & & &=0, \\ & 12\, x_2 &-8\,x_3 & -x_4 & &+3\,x_6 & =0,\\ & & & -2\,x_4 &+x_5 & & =0, \\ & & & &3\,x_5& -2\,x_6 & = 0 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \qquad \mbox{ ФСР: } \quad \begin{array}{rrrr|cc} x_1 & x_2 & x_4 & x_5 & x_3 & x_6 \\ \hline -1 & -2 & 3 & 6 & 0 & 9 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 3 & 0 \end{array} $$ и $$ \mathbb Q_1=\mathcal L ([1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top}) \ . $$

Вывод. Собственному числу $ \lambda_1=0 $ в ЖНФ соответствуют $ k_{1}=2 $ клетки Жордана. Матрица $ {\mathbf A} $ недиагонализуема.

3. Ищем $ \mathbb Q_2 $, т.е. подпространство корневых векторов высоты $ \le 2 $, принадлежащих $ \lambda_{1} $. Для этого вычисляем матрицу $${\mathbf B}^2={\mathbf A}^2= \left( \begin{array}{rrrrrr} 8 & -4 & 0 & 6 & 0 & -2 \\ 16 & -8 & 0 & 12 & 0 & -4 \\ 24 & -12 & 0 & 2 & 8 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 8 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 16 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 24 & -12 & 0 \end{array} \right) $$ и ищем ФСР для системы $ {\mathbf B}^2X=\mathbb O $. Эта система сводится к двум уравнениям $$\left\{ \begin{array}{rrrrrrr} 4\,x_1&-2\,x_2 & & +3x_4 & & -x_6 &=0 \\ & & & 2\,x_4 &-x_5 & & =0 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \qquad \mbox{ ФСР: } \quad \begin{array}{cc|cccc} x_2 & x_5 & x_1 & x_3 & x_4 & x_6 \\ \hline 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ -2 & 6 & -1 & 0 & 3 & 9 \end{array} $$ Следуя общему алгоритму, ФСР строим дополнением системы, полученной на шаге 2 : $$ \mathbb Q_2=\mathcal L ([1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top},\ [1,2,0,0,0,0]^{\top},\ [0,3,0,2,4,0]^{\top}) \ . $$

4. Ищем $ \mathbb Q_3 $, т.е. подпространство корневых векторов высоты $ \le 3 $, принадлежащих $ \lambda_{1} $. Для этого вычисляем матрицу $${\mathbf B}^3={\mathbf A}^3= \left( \begin{array}{rrrrrr} 0 & 0 & 0 & 24 & -12 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 48 & -24 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 72 & -36 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ и ищем ФСР для системы $ {\mathbf B}^3X=\mathbb O $. Эта система вырождается в единственное уравнение $$ 2\,x_4-x_5=0 \ , $$ для которого ФСР строим дополнением ФСР, полученной на шаге 3 : $$ \begin{array}{c|ccccc} x_5 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_6 \\ \hline 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 3 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & -1 & -2 & 0 & 3 & 9 \end{array} $$ и $$ \mathbb Q_3=\mathcal L ([1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top},\ [1,2,0,0,0,0]^{\top},\ [0,3,0,2,4,0]^{\top}, \ {\mathfrak e}_2) . $$

5. Ищем $ \mathbb Q_4 $, т.е. подпространство корневых векторов высоты $ \le 4 $, принадлежащих $ \lambda_{1} $. Матрица $ {\mathbf B}^4= {\mathbf A}^4 $ оказывается нулевой, т.е. $ \mathbb Q_4 = \mathbb R^6 $. Базис $ \mathbb Q_4 $ построим дополнением базиса $ \mathbb Q_3 $: $$ \mathbb Q_4= \mathcal L ([1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top},\ [1,2,0,0,0,0]^{\top},\ [0,3,0,2,4,0]^{\top}, \ {\mathfrak e}_2,\ {\mathfrak e}_5) \ . $$

6. Поскольку число корневых векторов в базисе $ \mathbb Q_4 $ совпало с кратностью собственного числа $ \lambda_1=0 $, то на этом процесс вычисления корневых векторов останавливается. Применение первой части алгоритма дает информацию о структуре клеток Жордана, соответствующих $ \lambda_{1} $. $$ {\mathbf A}_{\mathfrak J}=\left( \begin{array}{rrrr|rr} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \ . $$

7. Для построения канонического базиса обратимся к схеме 1, и будем заполнять ее квадраты, начиная с самого верхнего. Согласно алгоритму, для построения базиса циклического подпространства размерности $ 4_{} $ мы должны взять произвольный вектор из относительного базиса $ \mathbb Q_4 $ над $ \mathbb Q_3 $. Этот вектор единствен: $ {\mathfrak e}_5 $. Далее, домножаем его на матрицы $ {\mathbf B},{\mathbf B}^2 $ и $ {\mathbf B}^3 $. Четыре полученных вектора $$ {\mathfrak e}_5,\ [0,1,0,4,0,0]^{\top},\ [0,0,8,-4,-8,-12]^{\top} , \ [-12,-24,-36,0,0,0]^{\top} $$ — это первые векторы канонического базиса (схема 2). Они соответствуют клетке Жордана порядка $ 4_{} $.

Больше циклических подпространств размерностей $ 4_{} $ и $ 3_{} $ не имеется, и мы начинаем искать базис циклических подпространств размерности $ 2_{} $. Согласно алгоритму, мы должны взять такой вектор из относительного базиса $ \mathbb Q_2 $ над $ \mathbb Q_1 $, чтобы он — вместе с полученным ранее вектором $ [0,0,8,-4,-8,-12]^{\top} $ — образовал бы систему векторов, линейно независимую относительно $ \mathbb Q_1 $. Какой из векторов взять — $$ [1,2,0,0,0,0]^{\top} \qquad \mbox{ или } \qquad [0,3,0,2,4,0]^{\top} $$ — на первый взгляд, не очевидно. Приходится выполнять проверку на линейную независимость двух систем векторов: $$ \{ [1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top},\ [0,0,8,-4,-8,-12]^{\top}, \ [1,2,0,0,0,0]^{\top} \} $$ и $$ \{ [1,2,3,0,0,0]^{\top}, \ [-1,-2,0,3,6,9]^{\top},\ [0,0,8,-4,-8,-12]^{\top},\ [0,3,0,2,4,0]^{\top} \} \ . $$ Выясняется, что первая система линейно зависима, а вторая — нет. Итак, в качестве первого базисного вектора циклического подпространства размерности $ 2_{} $ следует взять $ [0,3,0,2,4,0]^{\top} $. Второй базисный вектор получается его домножением на матрицу $ {\mathbf B} $: $$ \left[2,4,12,6,12,18\right]^{\top} \ . $$ Окончательно, матрица $$ C= \left( \begin{array}{rrrrrr} 0 & 0 & 0 & -12 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -24 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 8 & -36 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & -4 & 0 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & -8 & 0 & 4 & 12 \\ 0 & 4 & -12 & 0 & 0 & 18 \end{array} \right) $$ приводит матрицу $ {\mathbf A} $ к ЖНФ: $ C^{-1}{\mathbf A}C={\mathbf A}_{\mathfrak J} $.