1. Вычислить ранг матрицы $$ \left(\begin{array}{cccccc} 430 & 150 & 28 & 14 & 6 & 1\\ 645 & 200 & 30 & 15 & 4 & 0\\ -15 & 10 & 6 & 3 & 2 & 0\\ 1150 & 370 & 60 & 30 & 10 & 1\\ 135& 50 & 10 & 5 & 2 & 0\\ 70 & 40 & 12 & 6 & 4 & 1 \end{array} \right) $$

2. Вычислить ранг обратно симметричной матрицы $$ \left[w_{j}/w_{k} \right]_{j,k=1}^n \ .$$

3. Доказать, что если $ \operatorname{rank} (A_{n\times n})=n-1 $, то матрица взаимная матрице $ A_{} $ имеет ранг $ 1_{} $.

4. Пусть $ N $-компонентные столбцы $ A^{[1]},\dots, A^{[N]} $ линейно выражаются через столбцы $ B^{[1]},\dots,B^{[k]} $ при $ k<N $. Доказать, что $$ \det \left(\left[A^{[1]}|\dots | A^{[N]}\right] \right)=0 $$ на основании теоремы Бине-Коши.

5. Найти условие, при котором произведение двух матриц ранга $ 1_{} $ будет нулевой матрицей.

6. Доказать, что ненулевая матрица $ A $ имеет ранг равный $ 1 $ тогда и только тогда, когда $$ \det \left(A\cdot A^{\top} - \operatorname{Sp} (A\cdot A^{\top})E\right)=0 \, . $$

7. Доказать, что системы векторов $$\{ (1,0,-5), (143,150,35) \} \qquad \mbox{ и } \qquad \{ (4,5,5), (1,1,0) \} $$ эквивалентны.

8. Доказать справедливость равенств $$ {\mathbf a)} \det \left(E_n+ \left[\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{array} \right] \cdot [u_1,u_2,\dots,u_n ] \right) = 1+ u_1v_1+u_2v_2+\dots+u_nv_n \ ; $$ $$ {\mathbf b)} \det \left( A_{n\times n} + \left[\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{array} \right] \cdot [u_1,u_2,\dots,u_n ] \right)= \det (A) + [u_1,u_2,\dots,u_n ] \operatorname{adj} (A) \left[\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{array} \right] \ , $$ где $ \operatorname{adj} (A) $ — матрица взаимная матрице $ A $.

Подсказка ☞ ЗДЕСЬ.