Основное
Вспомогательная страница к пункту РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ЛИНЕЙНОГО МНОГООБРАЗИЯ
Теорема. Ближайшая к точке $ X_{0} $ точка многообразия
$$ \mathbb M= \{ Y_0+\lambda_1 Y_1+\dots+\lambda_k Y_k \quad \mid \quad \{\lambda_1,\dots,\lambda_k\} \subset {\mathbb R} \} $$ при фиксированных линейно независимых столбцах $$ \{Y_0,Y_1,\dots,Y_k \}\subset {\mathbb R}^n$$ определяется по формуле $$ X_{\ast}=Y_0+ L(L^{\top}\cdot L_{})^{-1} L^{\top} (X_0-Y_0) \, . $$ Здесь $$ L=\left[ Y_1|\dots|Y_k \right]_{n\times k} \, , $$ а $ |_{} $ означает конкатенацию.
Доказательство. На основании теоремы 2 расстояние $ d_{} $ от точки $ X_{0} $ до многообразия $ \mathbb M_{} $ вычисляется по формуле $$ d=\sqrt{\frac{\det(\tilde L^{\top}\cdot \tilde L)}{\det( L^{\top}\cdot L)}} \ . $$ где $$ \tilde L = \left[ Y_1|\dots|Y_k| X_0-Y_0 \right]_{n\times (k+1)} \, . $$ Докажем, что $ (X_{\ast}-Y_0)^{\top}(X_{\ast}-Y_0)=d^2 $. Имеем: $$ d^2=\frac{\det(\tilde L^{\top}\cdot \tilde L)}{\det( L^{\top}\cdot L)}= $$ $$ =\frac{1}{\det( L^{\top}\cdot L)} \left| \begin{array}{ccccc} Y_1^{\top}Y_1 & Y_1^{\top}Y_2 & \dots & Y_1^{\top}Y_k & Y_1^{\top}(X_0-Y_0) \\ Y_2^{\top}Y_1 & Y_2^{\top}Y_2 & \dots & Y_2^{\top}Y_k & Y_2^{\top}(X_0-Y_0) \\ \dots & & & & \dots \\ Y_k^{\top}Y_1 & Y_k^{\top}Y_2 & \dots & Y_k^{\top}Y_k & Y_k^{\top}(X_0-Y_0) \\ (X_0-Y_0)^{\top}Y_1 & (X_0-Y_0)^{\top}Y_2 & \dots & (X_0-Y_0)^{\top}Y_k & (X_0-Y_0)^{\top}(X_0-Y_0) \\ \end{array} \right|= $$ применяем формулу вычисления окаймленного определителя: $$ =(X_0-Y_0)^{\top}(X_0-Y_0)- $$ $$ -\left((X_0-Y_0)^{\top}Y_1 , (X_0-Y_0)^{\top}Y_2 , \dots , (X_0-Y_0)^{\top}Y_k \right) \left( L^{\top}\cdot L \right)^{-1} \left( \begin{array}{c} Y_1^{\top}(X_0-Y_0) \\ Y_2^{\top}(X_0-Y_0) \\ \dots \\ Y_k^{\top}(X_0-Y_0) \end{array} \right)= $$ $$ =(X_0-Y_0)^{\top}(X_0-Y_0)-(X_0-Y_0)^{\top}L\left( L^{\top}\cdot L \right)^{-1}L^{\top}(X_0-Y_0) = $$ $$ =(X_0-Y_0)^{\top}(E-L \left(L^{\top}\cdot L\right)^{-1}L^{\top} ) (X_0-Y_0)= $$ $$ =(X_0-Y_0)^{\top}\left(E-L \left(L^{\top}\cdot L\right)^{-1}L^{\top} \right)^2(X_0-Y_0)= (X_{\ast}-Y_0)^{\top}(X_{\ast}-Y_0) \, . $$ Принадлежность точки $ X_{\ast} $ многообразию $ \mathbb M_{} $ устанавливается по аналогии с доказательством теоремы, приведенной ☞ ЗДЕСЬ. ♦