Задача. Подобрать величины весов $ \{m_j\}_{j=1}^K $ так, чтобы минимум функции $ \displaystyle f(P)=\sum_{j=1}^K m_j |PP_j| $ находился в наперед заданной точке $ P_{\ast} \not\in \{P_j\}_{j=1}^K $.

Теорема [3]. Пусть вершины треугольника $ P_{1}P_2P_3 $ пронумерованы против часовой стрелки. Тогда для значений

$$ m_1^{\ast} = |P_{\ast}P_1| \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_{\ast} & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_2 & y_3 \end{array} \right|, \ m_2^{\ast} = |P_{\ast}P_2| \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_{\ast} & x_3 \\ y_1 & y_{\ast} & y_3 \end{array} \right|,\ m_3^{\ast} = |P_{\ast}P_3| \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_{\ast} \\ y_1 & y_2 & y_{\ast} \end{array} \right| $$ функция $$ F(x,y) = \sum_{j=1}^3 m_{j}^{\ast} \sqrt{(x-x_j)^2+(y-y_j)^2} $$ имеет стационарную точкой точку $ P_{\ast}=(x_{\ast},y_{\ast}) $. Если последняя выбирается внутри треугольника $ P_{1}P_2P_3 $, то величины $ m_1^{\ast},m_2^{\ast},m_3^{\ast} $ все положительны и $$ F(x_{\ast},y_{\ast})=\min_{(x,y)\in \mathbb R^2} F(x,y)= \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\ x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\ x_{\ast}^2+y_{\ast}^2 & x_1^2+y_1^2 & x_2^2+y_2^2 & x_3^2+y_3^2 \end{array} \right| \ . $$

Доказательство. Подставим выражения для весов в уравнения для частных производных функции $ F_{} $: $$ \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} &= \displaystyle \frac{m_1^{\ast}(x_{\ast}-x_1)}{\sqrt{(x_{\ast}-x_1)^{2}+(y_{\ast}-y_1)^2}}+\frac{m_2^{\ast}(x_{\ast}-x_2)}{\sqrt{(x_{\ast}-x_1)^{2}+(y_{\ast}-y_1)^2}}+ \frac{m_3^{\ast}(x_{\ast}-x_3)}{\sqrt{(x_{\ast}-x_3)^2+(y_{\ast}-y_3)^2}}, \\ \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} &= \displaystyle \frac{m_1^{\ast}(y_{\ast}-y_1)}{\sqrt{(x_{\ast}-x_1)^{2}+(y_{\ast}-y_1)^2}}+\frac{m_2^{\ast}(y_{\ast}-y_2)}{\sqrt{(x_{\ast}-x_1)^{2}+(y_{\ast}-y_1)^2}}+ \frac{m_3^{\ast}(y_{\ast}-y_3)}{\sqrt{(x_{\ast}-x_3)^2+(y_{\ast}-y_3)^2}}. \end{array} \right. $$ Получаем $$ (x_{\ast}-x_1)\left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_{\ast} & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_2 & y_3 \end{array} \right|+ (x_{\ast}-x_2) \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_{\ast} & x_3 \\ y_1 & y_{\ast} & y_3 \end{array} \right|+ (x_{\ast}-x_3) \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_{\ast} \\ y_1 & y_2 & y_{\ast} \end{array} \right| \ , $$ $$ (y_{\ast}-y_1)\left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_{\ast} & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_2 & y_3 \end{array} \right|+ (y_{\ast}-y_2) \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_{\ast} & x_3 \\ y_1 & y_{\ast} & y_3 \end{array} \right|+ (y_{\ast}-y_3) \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_{\ast} \\ y_1 & y_2 & y_{\ast} \end{array} \right| \ . $$ Нужно показать, что оба выражения равны $ 0_{} $. Воспользуемся для доказательства некоторыми свойствами определителя. Представим первую сумму в виде определителя $ 4 $-го порядка: $$ \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\ x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\ 0 & x_{\ast}-x_1 & x_{\ast}-x_2 & x_{\ast}-x_3 \end{array} \right| $$ (см. ☞ разложение определителя по последней строке). Теперь прибавим к последней строке вторую: $$ \left| \begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1\\ x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\ x_{\ast} & x_{\ast} & x_{\ast} & x_{\ast} \end{array} \right| \ ; $$ величина определителя не изменится (свойство 6 ☞ ЗДЕСЬ). У получившегося определителя две строки пропорциональны, следовательно (свойства 3 и 4 ☞ ЗДЕСЬ) он равен $ 0_{} $. Для второй суммы доказательство аналогично.

Оценим теперь $ F(x_{\ast},y_{\ast}) $: $$ F(x_{\ast},y_{\ast}) = $$ $$ = \left[(x_{\ast}-x_1)^2+(y_{\ast}-y_1)^2 \right] \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_{\ast} & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_2 & y_3 \end{array} \right| + \left[(x_{\ast}-x_2)^2+(y_{\ast}-y_2)^2 \right] \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_{\ast} & x_3 \\ y_1 & y_{\ast} & y_3 \end{array} \right|+ $$ $$ + \left[(x_{\ast}-x_3)^2+(y_{\ast}-y_3)^2 \right] \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_{\ast} \\ y_1 & y_2 & y_{\ast} \end{array} \right| \ . $$ Для того, чтобы показать эквивалентность этого выражения определителю четвертого порядка из теоремы, разобьем его на $ x_{} $- и $ y_{} $-части. Оставим сначала только члены, содержащие букву $ x_{} $ в квадратных скобках предыдущей формулы: $$ (x_{\ast}-x_1)^2 \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_{\ast} & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_2 & y_3 \end{array} \right| + (x_{\ast}-x_2)^2 \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_{\ast} & x_3 \\ y_1 & y_{\ast} & y_3 \end{array} \right| + (x_{\ast}-x_3)^2 \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_{\ast} \\ y_1 & y_2 & y_{\ast} \end{array} \right| \ . $$ По аналогии с доказательством первой части теоремы, представим эту линейную комбинацию в виде определителя четвертого порядка: $$ \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\ x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\ 0 & (x_{\ast}-x_1)^2 & (x_{\ast}-x_2)^2 & (x_{\ast}-x_3)^2 \end{array} \right| \ . $$ Прибавим к последней строке первую строку, умноженную на $ (-x_{\ast}^2) $ и вторую, умноженную на $ 2\, x_{\ast} $: $$ \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\ x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\ x_{\ast}^2 & x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right| \ . $$ Аналогично доказывается равенство $$ (y_{\ast}-y_1)^2 \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_{\ast} & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_2 & y_3 \end{array} \right| + (y_{\ast}-y_2)^2 \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_{\ast} & x_3 \\ y_1 & y_{\ast} & y_3 \end{array} \right| +(y_{\ast}-y_3)^2 \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_{\ast} \\ y_1 & y_2 & y_{\ast} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\ x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\ y_{\ast}^2 & y_1^2 & y_2^2 & y_3^2 \end{array} \right| \ . $$ Линейное свойство определителя доказывает справедливость выражения для $ F(x_{\ast},y_{\ast}) $ из теоремы. ♦

Величина $$ \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_{\ast} & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_2 & y_3 \end{array} \right| $$ равна удвоенной площади треугольника $ P_{\ast} P_2P_3 $.

Равенства $$ (x_{\ast}-x_1)\left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_{\ast} & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_2 & y_3 \end{array} \right|+ (x_{\ast}-x_2) \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_{\ast} & x_3 \\ y_1 & y_{\ast} & y_3 \end{array} \right|+ (x_{\ast}-x_3) \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_{\ast} \\ y_1 & y_2 & y_{\ast} \end{array} \right|=0 \ , $$ $$ (y_{\ast}-y_1)\left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_{\ast} & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_2 & y_3 \end{array} \right|+ (y_{\ast}-y_2) \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_{\ast} & x_3 \\ y_1 & y_{\ast} & y_3 \end{array} \right|+ (y_{\ast}-y_3) \left| \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_{\ast} \\ y_1 & y_2 & y_{\ast} \end{array} \right|=0 \ , $$ появившиеся в доказательстве теоремы, эквивалентны известному геометрическому свойству [1]: $$ \overrightarrow{P_{\ast}P_1} \cdot S_{_{\triangle P_{\ast}P_2P_3}}+\overrightarrow{P_{\ast}P_2} \cdot S_{_{\triangle P_{\ast}P_3P_1}}+\overrightarrow{P_{\ast}P_3} \cdot S_{_{\triangle P_{\ast}P_1P_2}}=\overrightarrow{\mathbb O} \ . $$ Геометрический смысл определителя $$ \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\ x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\ x_{\ast}^2+y_{\ast}^2 & x_1^2+y_1^2 & x_2^2+y_2^2 & x_3^2+y_3^2 \end{array} \right| $$ связан с величиной $$ h=-\frac{1}{S} \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\ x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\ y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\ x_{\ast}^2+y_{\ast}^2 & x_1^2+y_1^2 & x_2^2+y_2^2 & x_3^2+y_3^2 \end{array} \right| \quad npu \quad S= \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1\\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{array} \right| , $$ известной как степень точки $ P_{\ast} $ относительно окружности, проходящей через точки $ P_1, P_2 $ и $ P_3 $ (описанной окружности треугольника) [2]. Если обозначить через $ C_{} $ центр этой окружности, то $$ h=|CP_{\ast}|^2-|CP_j|^2 \quad npu \ j \in \{1,2,3\} \ , $$ и если $ P_{\ast} $ лежит внутри треугольника, то эта величина отрицательна.

Как аналитика, так и иллюстрирующие ее геометрические соображения позволяют немедленно обобщить полученные результаты для случая $ \mathbb R^3 $ и $ K=4 $ точек. Пусть точки $ \{P_j=(x_{j},y_j,z_j) \}_{j=1}^4 $ некомпланарны и пронумерованы таким образом, чтобы выполнялось условие: $$ V=\left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\ z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \end{array} \right| > 0 \ . $$

Теорема [3]. Положим

$$ m_1^{\ast}= |P_{\ast}P_1|\cdot \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_{\ast} & x_2 & x_3 & x_4 \\ y_{\ast} & y_2 & y_3 & y_4 \\ z_{\ast} & z_2 & z_3 & z_4 \end{array} \right|,\ m_2^{\ast}= |P_{\ast}P_2|\cdot \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_{\ast} & x_3 & x_4 \\ y_1 & y_{\ast} & y_3 & y_4 \\ z_1 & z_{\ast} & z_3 & z_4 \end{array} \right|,\ \dots ; $$ т.е. $ m_j^{\ast}=|P_{\ast}P_j| V_j $, где значение $ V_j $ равно определителю, полученному из определителя $ V_{} $ заменой $ j $-го столбца на¹⁾ $ \left[1,x_{\ast},y_{\ast},z_{\ast} \right]^{\top} $. При таких значениях весов функция $$ F(x,y,z) = \sum_{j=1}^4 m_{j}^{\ast}\sqrt{(x-x_j)^2+(y-y_j)^2+(z-z_j)^2} $$ имеет своей стационарной точкой $ P_{\ast}=(x_{\ast},y_{\ast},z_{\ast}) $. Если $ P_{\ast} $ лежит внутри тетраэдра $ P_1P_2P_3P_4 $ то значения $ \{m_{j}^{\ast} \} $ все положительны и $$ F(x_{\ast},y_{\ast},z_{\ast})=\min_{(x,y,z)\in \mathbb R^3} F(x,y,z) $$ $$ =-\ \left| \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\ z_{\ast} & z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \\ x_{\ast}^2+y_{\ast}^2+z_{\ast}^2 & x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_4^2+y_4^2+z_4^2 \end{array} \right| \ . $$

Доказательство полностью аналогично доказательству для плоского случая.

Геометрический смысл величин $ V,\{V_j\}, F(x_{\ast},y_{\ast},z_{\ast}) $ также аналогичен смыслу соответствующих величин для плоского случая. Величина $ V_{} $ равна шестикратному объему тетраэдра $ P_1P_2P_3P_4 $. Величина $$ -\frac{1}{V}\ \left| \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\ z_{\ast} & z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \\ x_{\ast}^2+y_{\ast}^2+z_{\ast}^2 & x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_4^2+y_4^2+z_4^2 \end{array} \right| $$ известна как степень точки $ P_{\ast} $ относительно сферы [2], описанной вокруг тетраэдра; она равна $$ |CP_{\ast}|^2-|CP_j|^2 \quad npu \ j\in \{1,2,3,4 \} \ , $$ где $ C_{} $ означает центр описанной сферы.

Если точка $ P_{\ast} $ лежит внутри тетраэдра, то эта величина отрицательна.

Теорема [4]. Пусть точки $ \{P_j=(x_{j1},\dots,x_{jn})\}_{j=1}^{n+1} $ некомпланарны и пронумерованы таким образом, что выполняется условие

$$ V= \left| \begin{array}{llll} 1 & 1 & \dots & 1\\ x_{11} & x_{21} & \dots & x_{n+1,1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1n} & x_{2n} & \dots & x_{n+1,n} \end{array} \right| > 0 \ . $$ Обозначим $ V_j $ определитель, получающийся заменой $ j_{} $-го столбца определителя $ V_{} $ на столбец $ \left[1,x_{\ast 1},\dots,x_{\ast n} \right]^{\top} $. Тогда для значений весов $$ \left\{m_j^{\ast} = |P_{\ast}P_j| V_j \right\}_{j=1}^{n+1} $$ функция $$ F(P) = \sum_{j=1}^{n+1} m_{j}^{\ast} |PP_j| $$ имеет своей стационарной точкой точку $ P_{\ast}=(x_{\ast 1},\dots,x_{\ast n}) $. Если $ P_{\ast} $ лежит внутри симплекса $ P_1P_2\dots P_{n+1} $, то все значения $ \{ m_j^{\ast} \} $ положительны и $$ F(P_{\ast})= \displaystyle \sum_{j=1}^{n+1} V_j |P_{\ast}P_j|^2 =- \left| \begin{array}{lllll} 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ x_{11} & x_{21} & \dots & x_{n+1,1} & x_{\ast 1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ x_{1n} & x_{2n} & \dots & x_{n+1,n} & x_{\ast n} \\ \displaystyle \sum_{\ell=1}^n x_{1\ell}^2 & \displaystyle \sum_{\ell=1}^n x_{2\ell}^2 & \dots & \displaystyle \sum_{\ell=1}^n x_{n+1,\ell}^2 & \displaystyle \sum_{\ell=1}^n x_{\ast\ell}^2 \end{array} \right| \ . $$

[1]. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть 2. М.Наука. 1991, с. 10

[2]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948

[3]. Uteshev A.Yu. Analytical Solution for the Generalized Fermat-Torricelli Problem. Amer.Math.Monthly. V. 121, N 4, 318-331, 2014. Текст ☞ ЗДЕСЬ

[4]. Uteshev A.Yu., Yashina M.V. Stationary Points for the Family of Fermat-Torricelli-Coulomb-like potential functions. Proc. 15th Workshop CASC (Computer Algebra in Scientific Computing), Berlin 2013. Springer. Lecture Notes in Computer Science. V.8136 , 2013, P. 412-426.