Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к пункту МАТРИЧНЫЙ ФОРМАЛИЗМ МЕТОДА ГАУССА


Т

Теорема [LDU-разложение матрицы]. Для того, чтобы неособенная матрица $ A_{} $ могла быть представлена в виде произведения

$$ A= L \cdot D \cdot U $$ диагональной матрицы $ D_{} $, а также нижней $ L_{} $ и верхней $ U_{} $ треугольных матриц с единицами на их главных диагоналях1) необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры $ \det A_1,\dots,\det A_n=\det A $ были ненулевыми. В этом случае представление матрицы в виде такого произведения единственно, при этом матрица $ D_{} $ имеет следующую структуру: $$ D=\left( \begin{array}{ccccc} \det A_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \det A_2/ \det A_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \det A_3/ \det A_2 & \dots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \det A_n/ \det A_{n-1} \end{array} \right) \ . $$

Доказательство. Необходимость. Обозначим через $ L_k,\, D_k,\, U_k $ главные подматрицы матриц $ L,\, D,\, U $ соответственно: $$ L_k=\left( \begin{array}{llll} 1& & & \\ \ell_{21} & 1& & \mathbb O \\ \vdots & & \ddots & \\ \ell_{k1} &\ell_{k2} & \dots & 1 \end{array} \right) \ , \ D_k= \left( \begin{array}{llll} d_{11}& & & \\ & d_{22}& & \mathbb O \\ \mathbb O & & \ddots & \\ & & & d_{kk} \end{array} \right) \ , \ U_k= \left( \begin{array}{llll} 1& u_{12}& \dots & u_{1k} \\ & 1& \dots & u_{2k} \\ \mathbb O & & \ddots & \vdots \\ & & & 1 \end{array} \right) \, . $$ Если справедливо представление $ A= L D U $, то справедливо и аналогичное матричное равенство для блоков участвующих матриц: $$ A_k=L_k\, D_k\, U_k \quad npu \quad \forall k \, . $$ Переходя к определителям, получим $$ \det A_k=\det D_k =d_{11}d_{22} \times \dots \times d_{kk} \, . $$ Последнее равенство при $ k=n $ дает: $$\det A= \det A_n=d_{11}d_{22} \times \dots \times d_{nn} \ne 0 \, , $$ поскольку, по предположению, $ \det A \ne 0 $. Следовательно, все числа $ d_{11},\dots,d_{nn} $ отличны от нуля, но тогда и все главные миноры $ \{ \det A_k \}_{k=1}^n $ отличны от нуля.

Достаточность. Предположим теперь, что выполнены условия $ \{ \det A_k\ne 0 \}_{k=1}^n $. Будем строить матрицы из представления $ A= L \cdot D \cdot U $ построчно. Для элемента $ a_{11} $ это представление влечет за собой равенство $$a_{11}=1 \cdot d_{11} \cdot 1 \ \Rightarrow \ d_{11} = a_{11} \, , $$ т.е. $ d_{11} $ определяется однозначно. Предположим, что нам удалось построить $ k-1 $ первых строк и столбцов матриц $ L,\, D,\, U $. Построим $ k $-ые: $$ L_k =\left( \begin{array}{ll} L_{k-1} & \mathbb O \\ Y & 1 \end{array} \right) \ , \ D_k=\left( \begin{array}{ll} D_{k-1} & \mathbb O \\ \mathbb O & d_{kk} \end{array} \right) \ , \ R_k =\left( \begin{array}{ll} R_{k-1} & X \\ \mathbb O & 1 \end{array} \right) \, ; $$ здесь элементы столбца $ X_{(k-1)\times 1} $, строки $ Y_{1 \times (k-1)} $ и $ d_{kk} $ пока не определены. Для их определения обратимся к равенству $$ A_k=L_k\, D_k\, U_k \, , $$ выделив для удобства в матрице $ A_k $ элементы последней строки и последнего столбца: $$ A_k =\left( \begin{array}{ll} A_{k-1} & W \\ V & a_{kk} \end{array} \right) \quad , \quad \mbox{ где } \quad W= \left( \begin{array}{ll} a_{1k} \\ \vdots \\ a_{k-1,k} \end{array} \right) \ , \ V = \left(a_{k1},\dots,a_{k,k-1} \right) \, . $$ В этих обозначениях равенство $ A_k=L_k\, D_k\, U_k $ переписывается в виде системы матричных уравнений $$ \left\{ \begin{array}{ll} L_{k-1} D_{k-1} U_{k-1}=A_{k-1} \ , & L_{k-1} {\bf D}_{k-1} X=W, \\ Y D_{k-1} U_{k-1} =V \ , & Y D_{k-1}X+d_{kk}=a_{kk}\, . \end{array} \right. $$ Поскольку, по индукционному предположению, матрицы $ L_{k-1},\, D_{k-1} $ и $ U_{k-1} $ определяются однозначно и при этом $ \det D_{k-1} =\det A_{k-1} \ne 0 $, то однозначно определяются и ряды $ X $ и $ Y $: $$X=\left(L_{k-1} {\bf D}_{k-1} \right)^{-1} W,\quad Y=V \left(D_{k-1} U_{k-1} \right)^{-1} \, ; $$ тогда однозначно определится и элемент матрицы $ D_{k} $: $$ d_{kk}=a_{kk} -YD_{k-1}X= a_{kk} -V A_{k-1}^{-1}W \ .$$ На основании равенства $$ \det A_k=\det D_k =d_{11}d_{22} \times \dots \times d_{kk} \, . $$ и предположения $ \det A_k \ne 0 $, элемент $ d_{kk} $ отличен от нуля. Итак, элементы $ k $-х рядов матриц $ L,\, D,\, U $ определяются однозначно. На основании индукции, получаем справедливость утверждения для любых рядов искомых матриц.

Источники

[1]. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.Наука. 1984

1)
Такие матрицы называются унитреугольными.
algebra2/linearsystems/matrix_for/vspom1.txt · Последние изменения: 2020/05/16 19:13 — au