Пусть $[a,b]$ - отрезок на вещественной оси. Образ при непрерывном отображении отрезка $[a,b]$ на комплексную плоскость называется непрерывной кривой: $$ \Gamma=\{z=z(x(t), y(t)), x,y\in C^0[a,b]\}. $$ Непрерывная кривая называется кривой Жордана, если указанные отображения взаимно-однозначны, за исключением, может быть, одной точки на кривой, в которую могут отображаться концы отрезка $[a,b]$ (в таком случае кривая - замкнутая). Другими словами, кривая Жордана - непрерывная кривая без самопересечений.

Кривая Жордана называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная (отображение $z(t)$ - непрерывно дифференцируемо, то есть $x,y\in C^1[a,b]$, причем $z'(t)\neq0$).

Кривая Жордана называется спрямляемой, если она имеет длину. Гладкая кривая имеет длину, но существуют непрерывные кривые, не имеющие длины.

Пусть в области $D$ плоскости $z$ задана непрерывная функция $$ w=f(z)=u(x,y)+ \mathbf i v(x,y) $$ и пусть $\ell$ - кусочно-гладкая линия с началом в точке $z_0=a$ и концом в точке $z_n=b$, целиком лежащая в области $D$.

Задание начала и конца линии $\ell$ ориентирует эту линию, т.е. устанавливает на ней положительное направление.

Линия $\ell$ может быть как незамкнутой, так и замкнутой (в последнем случае $z_n=z_0$).

Любым образом разобьем линию $\ell$ на $n$ элементарных дуг в направлении от $a$ к $b$ точками $z_1,\dots,z_{n-1}$, где $z_k=x_k+iy_k$. Обозначим $$z_k-z_{k-1}=\Delta z_k=\Delta x_k+i\Delta y_k,$$ где $$\Delta x_k=x_k-x_{k-1}, \,\,\Delta y_k=y_k-y_{k-1}, \,\, k=1,\dots,n.$$ ($\Delta z_k $ — вектор, идущий из точки $z_{k-1}$ в точку $z_k$, а $|\Delta z_k|$ - длина этого вектора, т.е. длина хорды, стягивающей $k$-ую элементарную дугу).

В произвольном месте каждой элементарной дуги $(z_{k-1},z_k)$ возьмем соответственно по точке $t_k=\xi_k+\mathbf i \eta_k$.

Составим сумму $$ \sum\limits_{k=1}^n f(t_k)\Delta z_k=\sum\limits_{k=1}^n \big(u(\xi_k,\eta_k)\Delta x_k-v(\xi_k,\eta_k)\Delta y_k\big)+ $$ $$ +\mathbf i \sum\limits_{k=1}^n\big(v(\xi_k,\eta_k)\Delta x_k+u(\xi_k,\eta_k) \Delta y_k\big). $$

Через $\max|\Delta z_k|$ обозначим наибольшую из величин $|\Delta z_k|$. В курсе математического анализа доказывается, что при условии $\max|\Delta z_k|\to0$ (в этом случае $n\to\infty$) обе суммы в правой части формулы для непрерывных функций $u(x,y)$ и $v(x,y)$ $\big($непрерывность этих функций следует из непрерывности $f(z)$$\big)$ и кусочно-гладкой $\ell$ стремятся к конечным пределам, не зависящими ни от способа разбиения $\ell$ на элементарные дуги, ни от выбора точек $t_k$.

Эти пределы являются соответственно криволинейными интегралами второго рода $$ \lim_{n\to\infty}(\mbox{ пр.ч. })= \int\limits_{\ell} u(x,y)\,dx-v(x,y)\,dy+\mathbf i \int\limits_{\ell} v(x,y)\,dx+u(x,y)\,dy. $$

Следовательно, при $\max|\Delta z_k|\to0$ и сумма в левой части исходной формулы тоже стремится к конечному пределу, не зависящему ни от выбора точек $z_k$, ни от выбора точек $t_k$. Предел этот называется контурным интегралом от функции $f(z)$ вдоль линии $\ell$ и обозначается символом $$ \int\limits_{\ell} f(z)\,dz=\lim_{\max|\Delta z_k|\to0}\sum\limits_{k=1}^n f(t_k)\Delta z_k=\int\limits_{\ell} u\,dx-v\,dy+ \mathbf i\int\limits_{\ell} v\,dx+u\,dy, $$ т.е. представляется как сумма криволинейных интегралов от вещественной переменной.

Обозначение для интеграла в случае замкнутой кривой: $$ \oint\limits_{\ell} f(z)\,dz.$$

При параметрическом задании дуги $\ell$: $z(s)=x(s)+iy(s)$, $s_1<s<s_2$ имеем $$ \int\limits_{\ell} f(z)\,dz=\int\limits_{s_1}^{s_2} f\big(z(s)\big) z'(s)\,ds. $$ Это удобно для случая, когда дуга является частью окружности, а параметром служит полярный угол.

1. $\int\limits_{\ell} (f_1(z)+f_2(z))\,dz=\int\limits_{\ell} f_1(z)\,dz+\int\limits_{\ell} f_2(z)\,dz$.
2. $\int\limits_{\ell} a\cdot f(z)\,dz=a\cdot \int\limits_{\ell} f(z)\,dz$, $a\in \mathbb C_{} $.
3. $\int\limits_{\ell} f(z)\,dz$=-$\int\limits_{\ell^{-}} f(z)\,dz$, где $\ell^{-}$ - кривая, совпадающая с $\ell$, но проходимая в противоположном направлении.
4. $\int\limits_{\ell_1+\ell_2} f(z)\,dz=\int\limits_{\ell_1} f(z)\,dz + \int\limits_{\ell_2} f(z)\,dz$, $\ell_1+\ell_2$ - кривая, составленная из кривых $\ell_1$ и $\ell_2$.
5. Теорема об оценке.

Имеет место оценка $$ \left|\int\limits_{\ell} f(z)\,dz\right| \leqslant \int\limits_{\ell}|f(z)|\cdot |dz| \leqslant M\lambda, $$ где $M=\max|f(z)|$ на $\ell$, $\lambda$ - длина $\ell$.

Доказательство. $$ \left|\sum\limits_{k=1}^n f(t_k)\Delta z_k\right|\leqslant \sum\limits_{k=1}^n \left|f(t_k)\right|\cdot\left|\Delta z_k\right|\leqslant M\cdot\sum\limits_{k=1}^n |\Delta z_k|\leqslant M\cdot\lambda. $$ $$ \left|\lim\sum\limits_{k=1}^n f(t_k)\Delta z_k\right|=\left|\int\limits_{\ell} f(z)\,dz\right| \leqslant M\lambda. $$

Рассмотрим пример:

Вычислить интеграл $\int\limits_{\ell} (z-a)^n\,dz$, $\ell: \,\, |z-a|=R$, $a\in \mathbb C_{}$, $n\in \mathbb Z_{}$.

Решение.
1. Пусть $n=-1$. $$ \int\limits_{\ell} \frac{dz}{z-a}=\int\limits_0^{2\pi}\frac{\mathbf i Re^{\mathbf i \varphi}d\varphi}{Re^{\mathbf i \varphi}}=\int\limits_0^{2\pi}\mathbf i d\varphi=2\pi \mathbf i. $$ 2. Пусть $n\neq-1$. $$ \int\limits_{\ell} (z-a)^n\,dz=\int\limits_0^{2\pi}R^n e^{\mathbf i n\varphi}R\mathbf i e^{\mathbf i \varphi}d\varphi= $$ $$ =\left. \mathbf i R^{n+1}\frac{e^{\mathbf i \varphi(n+1)}}{\mathbf i (n+1)}\right|_0^{2\pi}=\frac{ R^{n+1}}{ (n+1)}\left(e^{\mathbf i(n+1)2\pi}-1\right)=0 $$

Сформулируем и докажем интегральную теорему Коши, которая является центральной в теории аналитических функций.

Интегральная теорема Коши

Если $D$ — односвязная область комплексной плоскости и $f(z)$ — однозначная аналитическая в этой области функция, то для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой Жордана $\ell$, лежащей в области $D$, интеграл от функции $f(z)$ вдоль кривой $\ell$ равен нулю$:$ \begin{equation} \oint\limits_{\ell} f(z)\,dz=0. \end{equation}

Доказательство.

Напомним формулу Грина-Остроградского, которую будем использовать для доказательства: \begin{equation}\label{eq g4 p2 2} \int\limits_{\ell} P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy = \int\!\!\int\limits_G \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)\,dxdy, \end{equation} где $G$ — внутренность замкнутой жордановой (без самопересечений) спрямляемой кривой $\ell$.

Возьмем $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ и выпишем интеграл согласно формуле Грина-Остроградского: $$ \oint\limits_{\ell} f(z)\,dz=\int\limits_{\ell} (u\,dx-v\,dy)+\mathbf i \int\limits_{\ell} (v\,dx+u\,dy)= $$ $$ =\int\!\!\int\limits_G \left(-\frac{\partial v}{\partial x}- \frac{\partial u}{\partial y}\right)\,dxdy+\mathbf i \int\!\!\int\limits_G \left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \right)\,dxdy. $$

В силу условий Коши-Римана для аналитической функции выражения в скобках обращаются в нуль, т.е. $$ \oint\limits_{\ell} f(z)\,dz=0. $$

Обобщение теоремы Коши

Если функция $f(z)$ есть аналитическая функция в замкнутой односвязной области $D$, ограниченной кусочно-гладким контуром $L$, и непрерывна в замкнутой области $ \overline{D}$, то интеграл от функции $f(z)$ по границе $L$ области $D$ равен нулю.

Теорема Коши для многосвязной области

Пусть $f(z)$ является аналитической функцией в многосвязной области $D$, ограниченной извне контуром $L$, а изнутри контурами $\ell_1,\dots,\ell_n$ и пусть $f(z)$ непрерывна в замкнутой области $\overline D$. Тогда $$ \oint\limits_C f(z)\,dz=0, $$ где $C=L+\sum\limits_{j=1}^n {\ell}_j$ — полная граница области $D$, состоящая из контуров $L$ и $\ell_1,\dots,\ell_n$, причем обход границы $C$ происходит в положительном направлении $($т.е. так, что область $D$ остается все время слева$)$.

Теорема о составном контуре

Пусть $f(z)$ является аналитической функцией в многосвязной области $D$ и не ее границе, которая состоит из $\ell$ и из конечного числа замкнутых жордановых кривых $\ell_1,\dots,\ell_n$, причем все кривые находятся внутри кривой $\ell$. Тогда $$ \oint\limits_C f(z)\,dz= \sum\limits_{j=1}^n \oint\limits_{\ell_j} f(z)\,dz , $$ где все пути интегрирования $\ell$, $\ell_j$ проходятся против часовой стрелки. Аналогично для случая, когда все пути интегрирования $\ell$, $\ell_j$ проходятся по часовой стрелки.

Из интегральной теоремы Коши следует независимость контурного интеграла от пути интегрирования. Если функция $f(z)$ аналитична в некоторой односвязной области $D$, то интеграл по любому контуру в этой области не зависит от пути интегрирования.

Теорема о независимости интеграла от пути интегрирования

Интеграл от функции $f(z)$, аналитической в односвязной области $D$, зависит только от начальной и конечной точки пути интегрирования.

Функция $ F(z)=\int\limits_{z_0}^z f(t)\,d t $ называется первообразной функцией для функции $f(z)$, если $$ F'(z)=f(z). $$

Теорема о первообразной

Если функция $f(z)$ является аналитической и непрерывной в односвязной области $D$, то интеграл от $f(z)$ по любому пути, соединяющему точки $z_0$ и $z$ этой области и лежащему в ней $\int\limits_{z_0}^z f(t)\,d t$, является аналитической функцией в $D$, причем $$ F'(z)= \frac{d}{dz}\int\limits_{z_0}^{z}f(t)\,dt=f(z). $$

Для случая аналитической функции комплексного переменного верны:

• Формула Ньютона-Лейбница.
• Таблица интегралов.
• Замена переменных.
• Интегрирование по частям.

Пусть функция $f(z)$ однозначна и аналитична в односвязной или многосвязной области $D$ и непрерывна в замкнутой $\overline D$ и $L$ — граница области $D$. Тогда для всякой точки $z_0\in D$ ($z_0\notin L$) справедлива интегральная формула Коши: \begin{equation}\label{eq g4 p4 1} f(z_0)=\frac1{2\pi \mathbf i }\oint\limits_L \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz, \end{equation} где граница $L$ обходится в положительном направлении.

Формула носит название интегральной формулы Коши. Она выражает значения аналитической функции внутри замкнутой кривой через значения той же функции на самой кривой.

Докажем теорему.

Проведем окружность $\gamma_\rho$ с центром в точке $z_0$ и радиуса столь малого, что круг $|z-z_0| \le \rho$ лежит внутри $D$. Тогда функция $$ \varphi(z)=\frac1{2\pi \mathbf i }\cdot \frac{f(z)}{z-z_0}$$ будет аналитической в области~$D_\rho$, полученной из $D$ удалением этого круга, и на границе области $D_\rho$, состоящей из $L$ и окружности $\gamma_\rho$.

В силу теоремы о составном контуре интеграл от функции $\varphi(z)$ по границе области $D_\rho$, ориентированной положительно относительно $D_\rho$, равен нулю: $$ \oint\limits_L\varphi(z)\,dz+\oint\limits_{\gamma_\rho^+} \varphi(z)\,dz=0, $$ где $\gamma_\rho^+$ - положительное направление обхода. Отсюда, поменяв ориентацию $\gamma_\rho^+$ на противоположную, получим $$ \oint\limits_L\varphi(z)\,dz=\oint\limits_{\gamma_\rho^-} \varphi(z)\,dz. $$

Вернемся к виду $\varphi(z)$ и найдем предел этого выражения при стремлении $\rho\to0$: $$ \frac1{2\pi \mathbf i }\oint\limits_L\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz= \lim\limits_{\rho\to0}\frac1{2\pi \mathbf i }\oint\limits_{\gamma_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz. $$

Оценим разность $$ \frac1{2\pi \mathbf i }\oint\limits_{\gamma_\rho}\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz- f(z_0)= $$ $$ =\frac1{2\pi \mathbf i }\oint\limits_{\gamma_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz-\frac{f(z_0)}{2\pi \mathbf i }\oint\limits_{\gamma_\rho}\frac{dz}{z-z_0}= $$ $$ = \frac1{2\pi \mathbf i }\oint\limits_{\gamma_\rho} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz. $$ Здесь было использовано равенство $ \oint\limits_{\gamma_\rho} \frac{dz}{z-z_0}=2\pi \mathbf i $ из примера выше.

В силу непрерывности $f(z)$ в точке $z_0$ для любого положительного $\varepsilon$ найдется $\delta=\delta(\varepsilon )>0$ такое, что неравенство $|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon$ будет выполняться для всех $z\in u_\delta(z_0)$ - окрестность точки $z_0$ радиуса $\delta$.

Для $|z-z_0|<\rho<\delta$ получим $$ \Bigg|\frac1{2\pi \mathbf i }\oint\limits_{\gamma_\rho}\frac{f(z)}{z-z_0} \,dz-f(z_0)\Bigg|\le\frac1{2\pi}\max\limits_{z\in\gamma_\rho}\left| \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\right|2\pi\rho< \frac{\varepsilon}{2\pi\rho}2\pi\rho=\varepsilon. $$ Следовательно $$ \lim\limits_{\rho\to0}\frac1{2\pi i}\oint\limits_{\gamma_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0 }\,dz=f(z_0)\quad\hbox{и}\quad \frac1{2\pi \mathbf i }\oint\limits_L\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=f(z_0). $$

Если $z_0$ принадлежит внешности кривой $L$, то подынтегральная функция $\dfrac{f(z)}{z-z_0}$ является аналитической не только на $L$, но и всюду внутри $L$ (знаменатель $z-z_0$ отличен от нуля на $L$ и внутри $L$).

Для $z_0\in L$ интеграл Коши теряет смысл не только как собственный, но и как несобственный интеграл.

Итак, $$ f(z_0)=\frac1{2\pi \mathbf i }\oint\limits_L\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz= \left\{\begin{array}{ll} f(z_0),&z_0\in D, \\ 0,&z_0\notin D. \end{array}\right. $$

Пример. Вычислить интеграл $\oint\limits_L\frac{e^z}{z^2-6z}\,dz$,
а) контур $L$: $|z-2|=1$ обходится в положительном направлении,
б) контур $L$: $|z-2|=3$ обходится в положительном направлении.

Решение.
а) Подынтегральная функция не определена в точках $z=0$ и $z=6$. Значит, в области, ограниченной данным контуром, то есть в области $|z-2|<1$, функция $\displaystyle\frac{e^z}{z^2-6z}$ является аналитической. Интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции по теореме Коши равен нулю.
б) Точка $z=0$ принадлежит области $|z-2|<3$, точка $z=6$ не принадлежит области $|z-2|<3$. Тогда запишем интеграл в виде: $$ \oint\limits_L\frac{e^z}{z^2-6z}\,dz=\oint\limits_L\frac{e^z/(z-6)}{z}\,dz. $$ Функция $f(z)=e^z/(z-6)$ является аналитической в заданной области, точка $z_0=0$ принадлежит области. Следовательно, по интегральной формуле Коши: $$ \oint\limits_L \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi \mathbf i \, f(z_0), $$ то есть $$ \oint\limits_L\frac{e^z/(z-6)}{z}\,dz=2\pi\mathbf i \, f(0)=2\pi \mathbf i\,(-\frac16)=-\frac{\pi \mathbf i}{3}. $$

Пусть функция $f(z)$ однозначна и аналитична в односвязной области $D$ и непрерывна в замкнутой $\overline D$ и $L$ - граница области $D$. Пусть $z_0\in D$ ($z_0\notin L$). Возьмем окружность $\gamma_{\rho}: z=z_0+\rho e^{\mathbf i t}$, целиком лежащую в $D$. По формуле Коши имеем \begin{equation} f(z_0)=\frac1{2\pi \mathbf i }\oint\limits_{\gamma_{\rho}} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} f(z_0+\rho e^{\mathbf i t})\,dt. \end{equation} Последний интеграл можно рассматривать как среднее арифметическое значений функции $f(z)$ на окружности $|z-z_0|=\rho$.

Значение аналитической функции$f(z)$ в любой точке $z_0$ из области ее аналитичности $D$ равно среднему арифметическому ее значений на любой окружности с центром в точке $z_0$. При этом сама окружность и ее внутренность должны лежать целиком в области $D$.

Если $L$ - любая кусочно-гладкая ориентированная кривая, не обязательно замкнутая, и $\varphi(z)$ — непрерывная функция, определенная вдоль $L$. Выражение $$ F(z)=\frac1{2\pi \mathbf i }\int\limits_{L} \frac{\varphi(z)}{z-z_0}\,dz, \quad z\in L, \,\, z_0\notin L. $$ называется интегралом типа Коши.

Если функция $f(z)$ аналитична в замкнутой области $\overline D$, то в каждой точке области $D$ она дифференцируема сколько угодно раз, причем $n$-ая производная представляется формулой \begin{equation} f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi \mathbf i }\oint\limits_{\ell} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz, \end{equation} где граница $\ell$ области $D$ обходится в положительном направлении.

С помощью теоремы о среднем можно доказать так называемый принцип максимума модуля аналитической функции.

Если функция $f(z)$, не равная тождественно постоянной, аналитична в замкнутой области $\overline D$, то модуль этой функции $|f(z)|$ достигает наибольшего значения на границе области $D$ и только на ней.

Применив принцип максимума модуля к функции $$ g(z)=\frac1{f(z)}, $$ сразу же можно показать, что при условиях предыдущей теоремы и дополнительном условии $f(z)\ne 0$ в $\overline D$, модуль функции $f(z)$ достигает и своего наименьшего значения тоже на границе и только на ней.

Формула для $n$-той производной и принцип максимума модуля позволяют получить важную, оценку модуля $n$-ой производной.

Пусть функция $f(z)$ аналитична на окружности $C$ радиуса~$R$ с центром в точке $a$ и в круге $D$, ограниченном этой окружностью. Пусть $M$ будет наибольшим значением $|f(z)|$ в круге $D$, достигаемое на окружности $C$. Применяя формулу для $n$-ой производной, в силу теоремы об оценке интеграла, находим $$ |f^{(n)}(z)|=\Bigg|\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_C\frac{f(\xi)\,d\xi} {(\xi-z)^{n+1}}\Bigg|\le\frac{n!}{2\pi}\cdot\frac{M}{R^{n+1}}\cdot 2\pi R $$ или $$ |f^{(n)}(z)|\le\frac{n!M}{R^n}. $$ Это и есть искомая оценка.

Как следствие отсюда получается следующая теорема.

Теорема Лиувилля

Если функция $f(z)$ аналитична и ограничена на всей плоскости $z$, то она постоянна.

Доказательство.
Если $|f(z)|\le M$ на всей плоскости $z$, то в силу $$ |f^{(n)}(z)|\le\frac{n!M}{R^n} $$ при $n=1$ будет $$ |f'(z)|\le\frac{M}R. $$ При $R\to\infty$ правая часть стремится к нулю, а левая от $R$ не зависит, откуда следует, что $|f'(z)|=0$ или $f'(z)=0$. Но тогда $f(z)=\hbox{const}$.

Теорема Морера

Пусть функция $f(z)$ является непрерывной в односвязной области $D$ и интеграл от $f(z)$ по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему $D$, равен нулю. Тогда $f(z)$ является аналитической функцией, в области $D$.

Отметим, что теорема является в определенном смысле обратной по отношению к интегральной теореме Коши. Ее можно обобщить и на многосвязные области.