Пусть дана аналитическая в области $D$ функция $f(z)$. Возьмем точку $z_0\in D$, пусть производная функции в этой точке не равна нулю $$f'(z_0)\ne0.$$

Функция $w=f(z)$ отображает область $D$ на плоскости z на множество $E$ в плоскости $w$.

Точке $z_0\in D$ соответствует точка $w_0=f(z_0)\in E$.

Аргумент $\arg f'(z_0)$ есть угол поворота касательной к любой кривой, проведенной через точку $z_0$ при ее отображении с помощью функции $w=f(z)$ на плоскость $w$.

Модуль $|f'(z_0)|$ можно рассматривать как величину масштаба в точке $z_0$ при отображении $w$. Если $|f'(z_0 )|>1$, то происходит растяжение бесконечно малого элемента, выходящего из точки $z_0$. Если $|f'(z_0 )|<1$, то происходит сжатие, при $|f'(z_0 )|=1$ масштаб в окрестности точки $z_0$ не меняется.

Надо заметить, что все сказанное относится к точке и ее малой окрестности. В других точках кривой параметры отображения (коэффициент растяжения и угол поворота) изменяются.

Отображение одной плоскости на другую называется конформным в точке $z$, если все бесконечно малые дуги, выходящие из этой точки, при отображении поворачиваются на один и тот же угол и получают одно и то же растяжение (сжатие).

Иными словами, при конформном отображении сохраняется подобие в бесконечно малых частях. Отображение с помощью аналитической функции является конформным везде, кроме, быть может, точек, в которых производная данной аналитической функции равна нулю.

Отображение окрестности точки $z_0 $ на окрестность точки $w_0$, осуществляемое аналитической функцией $w=f(z)$ и обладающее в точке $z_0$ свойством сохранения углов и постоянством растяжений, называется конформным отображением первого рода, если поворот касательных происходит против часовой стрелки, тогда как в конформном отображении второго рода касательные поворачиваются по часовой стрелке).

В дальнейшем будем рассматривать только конформные отображения первого рода.

В теории Конформных Отображений различают две основные задачи:

1. При известной функции $f(z)$ найти образ заданной области $D$;

2. Найти функцию $f(z)$, отображающую одну данную область $D$ на другую данную область $G$.

Конформное отображение $f(z)$ при этом чаще всего рассматривается как взаимно однозначное (однолистное), когда для размещения образа хватает плоскости $w$. Когда одного листа плоскости $w$ недостаточно, вводим римановы поверхности, которые позволяют строить конформные отображения с помощью многозначных функций.

При осуществлении Конформных Отображений следует использовать следующие общие принципы.

Принцип соответствия границ: При конформном отображении друг на друга двух областей, ограниченных замкнутыми жордановыми (без самопересечений) кривыми, между их границами всегда устанавливается взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие с сохранением направления обхода границы.

Принцип симметрии: Пусть область $D$, содержащая в составе своей границы некоторый прямолинейный отрезок $\gamma$ (конечной или бесконечной длины), отображается функций $w=f(z)$ на область $E$ так, что $\gamma$ переходит в прямолинейный отрезок $\Gamma$, входящий в границу области. Тогда область $D^{*}$, симметричная области $D$, относительно $\gamma$, с помощью аналитической функции $w=f(z)$ отображается в область $E^{*}$, симметричную $E$, относительно $\Gamma$.

Отображение, осуществляемое линейной функцией $$ w = az + b,$$ где $a$ и $b$ — постоянные комплексные числа ($a\neq0$), является конформным в расширенной комплексной плоскости.

Геометрический смысл. Отображение, осуществляемое линейной функцией, складывается из

• преобразования подобия (растяжение или сжатие с коэффициентом $r=|a|$) относительно начала координат,
• поворота на угол $\alpha=\mbox{arg } a$ вокруг начала координат,
• сдвига на вектор $b$.

Линейное отображение преобразует прямые в прямые (углы между прямыми сохраняются) и окружности в окружности. Покажем это свойство для окружностей. $$ |z-z_0|=R, \quad w=az+b \,\,\Rightarrow $$ $$ z=\displaystyle\frac{w-b}{a}, \quad |z-z_0|=\displaystyle\frac{|w-b-az_0|}{|a|}=R \,\,\Rightarrow $$ $$ |w-b-az_0|=R|a| \mbox{ - окружность с центром в точке } w_0=b+az_0. $$

Замечание.

1. Линейное отображение будет однозначно определено, если известны $z_1\neq z_2$, переходящие в $w_1\neq w_2$: $$ \displaystyle\frac{z-z_1}{z_2-z_1}=\displaystyle\frac{w-w_1}{w_2-w_1}. $$

2. Линейное отображение будет однозначно определено, если известны $z_1\rightarrow w_1$, $k=w'$: $$ w-w_1=k(z-z_1). $$

Инверсия $$ w=\frac{1}{z}$$ является конформным отображением в расширенной комплексной плоскости.

Точка $z=0$ конформно отображается в $w=\infty$, точка $z=\infty$ конформно отображается в $w=0$. Доказательство конформности дано далее для более общего случая с дробно-линейной функцией.

Геометрический смысл. Отображение, осуществляемое инверсией, складывается из двух симметричных отображений

• относительно единичной окружности,
• относительно действительной оси.

Круговое свойство. Инверсия преобразует в окружность всякую окружность (прямые линии условно считаются окружностями с бесконечно большим радиусом).

Докажем это свойство.

Для окружности с центром в точке $z=0$ доказательство очевидно (например, через показательную форму комплексного числа): $$ |z|=R \,\, \rightarrow \,\, |w|=\displaystyle\frac{1}{R}. $$ Рассмотрим произвольную окружность (включая, прямую): $$ A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0. $$ $$ w=\displaystyle\frac{1}{z} \,\, z=\displaystyle\frac{1}{w}, $$ $$ z=\displaystyle\frac{1}{u+\mathbf iv}=\displaystyle\frac{u-\mathbf i v}{u^2+v^2}. $$ Подставим $$ x=\displaystyle\frac{u}{u^2+v^2}, \,\, y=-\displaystyle\frac{v}{u^2+v^2} $$ в уравнение окружности и получим уравнение окружности (включая прямую) на плоскости $w$. $$ D(u^2+v^2)+Bu-Cv+A=0 $$ Нетрудно заметить, что если линия (окружность или прямая) на плоскости $z$ проходит через точку $z=0$, то на плоскости $w$ ее образом является прямая. В противном случае - окружность.

Дробно-линейная функция $$ w=\frac{az+b}{cz+d}, $$ где $a$, $b$, $c$, $d$ – постоянные комплексные числа ($c\neq0$, $ad-bc\neq0$), является конформным в расширенной комплексной плоскости.

Считаем, что $c\neq0$ (иначе получим линейную функцию) и $ad-bc\neq0$ (иначе получим функцию тождественно равную константе).

Покажем, что отображение конформно во всех точках расширенной комплексной плоскости, включая $z=-\frac{d}{c}$ и $z=\infty$.

Круговое свойство:

Дробно-линейная функция отображает всякую окружность (включая прямую) в окружность.

Докажем это, записав $w$ как суперпозицию трех отображений (линейного, инверсии, линейного) для каждого из которых круговое свойство доказано: $$ w=\frac{az+b}{cz+d}= \frac{caz+cb+ad-ad}{c(cz+d)}= $$ $$ =\frac{a(cz+d)}{c(cz+d)}+ \frac{bc-ad}{c(cz+d)}= $$ $$ =\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c}\frac{1}{cz+d}. $$

Замечание 1. При решении прямой задачи (нахождение образа области при известном отображении) удобно пользоваться принципом сохранения границ, определяя сначала образ границы области на плоскости $w$.

Замечание 2. Если граница $\Gamma$ области $D$ проходит через точку $z=-\displaystyle\frac{d}{c}$, то ее образом при дробно-линейном отображении $w=\displaystyle\frac{az+b}{cz+d}$ является прямая. Если не проходит — образом будет окружность.

Замечание 3. Если образ границы $\Gamma$ области $D$ — прямая, то ее уравнение можно найти по двум точкам.

Замечание.

Дробно-линейное отображение будет однозначно определено, если известны $z_1\neq z_2\neq z_3$, переходящие в $w_1\neq w_2\neq w_3$: $$ \displaystyle\frac{z-z_1}{z-z_2}\cdot\displaystyle\frac{z_3-z_2}{z_3-z_1}=\displaystyle\frac{w-w_1}{w-w_2}\cdot\displaystyle\frac{w_3-w_2}{w_3-w_1}. $$

Принцип симметрии

При решении обратной задачи (нахождение отображения по известной области $D$ на плоскости $z$ и ее образу $E$ на плоскости $w$) удобно пользоваться принципом симметрии:

Произвольное дробно-линейное отображение преобразует любые точки $z$ и $z^{*}$, симметричные относительно окружности $\Gamma$ (в том числе и прямой) на плоскости $z$, в точки $w$ и $w^{*}$, симметричные относительно образа $w(\Gamma)$ этой окружности на плоскости $w$.

Точки $z$ и $z^{*}$ называются симметричными относительно прямой, если они лежат по разные стороны от этой прямой на одинаковом от нее расстоянии, а соединяющий их отрезок перпендикулярен этой прямой.

Точки $z$ и $z^{*}$ называются симметричными относительно окружности $\Gamma$ в $\mathbb C_{}$, если они лежат на одном луче, выходящим из центра $z_0$ окружности $\Gamma$, и произведение их расстояний до центра окружности равно квадрату радиуса $R$ этой окружности, то есть $$\mbox{arg}\, (z^{*}-z_0)=\mbox{arg}\, (z-z_0),$$ $$|z^{*}-z_0|\cdot|z-z_0|=R^2.$$

При приближении точки $z$ к центру окружности $\Gamma$ симметричная ей точка $z^{*}$ стремится к бесконечно удаленной точке. Тогда центр $z_0$ окружности $\Gamma$ и бесконечно удаленную точку $z=\infty$ будем считать симметричным относительно окружности $\Gamma$.

Введенное определение симметрии относительно окружности можно рассматривать как развитие понятия симметрии относительно прямой.

Основные задачи нахождения ДЛО

• Найти общий вид функции $w$: $$ z_1\rightarrow0, \,\, z_2\rightarrow\infty.$$
• Найти общий вид функции $w$: $$ \mathfrak{I}\mathbf{m}(z)>0\rightarrow |w|<1, \,\, z_0 (\mathfrak{I}\mathbf{m}(z_0)>0) \rightarrow w_0=0. $$
• Найти общий вид функции $w$: $$ |z|<1 \rightarrow |w|<1, \,\, z_1 (|z_1|<1) \rightarrow w_1=0. $$

$$ w=z^n, \quad n\in \mathbb Z_{}, \quad n>1. $$

Функция $w=z^n$ отображает расширенную комплексную плоскость $z$ на расширенную комплексную плоскость $w$.

Не является конформным при $z=0$, так как $$w'=n\,z^{n-1} =0 \,\, \mbox{при } z=0.$$

Не является однолистной, так как всякая точка $w$, отличная от $w=0$ и $w=\infty$, имеет $n$ различных прообразов. Для однолистности отображения следует брать на плоскости $z$ лишь сектор вида $$k\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{n}\leqslant \mbox{arg}\,z\leqslant(k+1)\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{n},\,\, k\in \mathbb Z_{}.$$

Исследуем поведение функции около точки $z=0$. При помощи степенной функции $$ w=z^n $$ угол с вершиной в начале координат плоскости $z$ отображается в угол с вершиной в начале координат плоскости $w$ c раствором в $n$ раз большим: $$ z=\rho e^{\mathbf i \varphi}\,\, \rightarrow \,\, w = z^n=\rho^n e^{\mathbf i n\varphi}. $$ Отображение будет взаимно однозначным, если раствор угла на плоскости $w$ будет не более $2\pi$.

Найти в какую область преобразуется квадрат $$ 0\le x\le 1,\quad 0\le y\le 1 $$ функцией $w=z^2+z-1$.

Решение. Выделим вещественную и мнимую части: $$ \begin{array}{l} u=x^2-y^2+x-1, v=2xy+y. \end{array} $$

Определим образы участков границ данного квадрата: \begin{equation} OA:\quad\left\{\begin{array}{l} y=0, 0\le x\le1 \end{array}\right.\quad\hbox{дает}\quad \left\{\begin{array}{l} u=x^2+x-1, v=0. \end{array}\right. \end{equation} это отрезок вещественной оси $-1\le u\le 1$. \begin{equation} AB:\quad\left\{\begin{array}{l} x=1, 0\le y\le1 \end{array}\right.\quad\hbox{дает}\quad \left\{\begin{array}{l} u=1-\dfrac{v^2}9, 0\le v\le3 \end{array}\right.\hskip17.5pt \end{equation} это часть параболы в первом квадранте.

Образы отрезков $BC$ и $CO$ также являются дугами парабол: \begin{equation}\label{eq g3 p5 3} BC:\quad u=\frac14\big(v^2-9\big),\quad 1\le v\le 3, \end{equation} \begin{equation}\label{eq g3 p5 4} CO:\quad u=-1-v^2,\quad 0\le v\le1. \end{equation} Так как точка $z=\displaystyle\frac12(1+i)$ переходит в точку $w=i-\displaystyle\frac12$, то внутренность квадрата переходит во внутренность криволинейного четырехугольника.

Ответ: Внутренность квадрата переходит во внутренность криволинейного четырехугольника.

Рассмотрим функцию \begin{equation} w=\sqrt[n]{z}, \end{equation} обратную степенной функции $z=w^n$.

Примем, что $$w=\infty \mbox{ при } z=\infty.$$

Во всех точках расширенной плоскости $z$, кроме точек $z=0$ и $z=\infty$ (где эта функция соответственно равна $w=0$ и $w=\infty)$, эта функция $n$-значна и все ее $n$ различных значений для каждого фиксированного $z=re^{i\varphi}$ (не равные 0 и $\infty$) дает формула: $$ w=\sqrt[n]{r}\cdot e^{i\tfrac{\scriptstyle\arg z+2\pi k} {\scriptstyle n}} =\sqrt[n]{r}\cdot e^{i\tfrac{\scriptstyle\arg z} {\scriptstyle n}}\cdot e^{i\tfrac{\scriptstyle2\pi k}{\scriptstyle n}}\quad\hbox{при} \quad k=0,1,\dots,n-1. $$

Через $w_k$ обозначим множество всех точек $w$, соответствующих данному фиксированному значению $k$. В результате получим $n$ функций $w_k$, $k=0,2,\dots,n-1$, называемых ветвями многозначной функции $w=\sqrt[n]{z}$. $$ w_k= \sqrt[n]{r}\cdot e^{i\tfrac{\scriptstyle\arg z} {\scriptstyle n}}\cdot e^{i\tfrac{\scriptstyle2\pi k}{\scriptstyle n}}\quad\hbox{при} \quad k=0,1,\dots,n-1. $$

Очевидно, $$ w_{k+1}=w_k \cdot e^{i\tfrac{\scriptstyle 2\pi k}{\scriptstyle n}}. $$

Рассмотрим какую-нибудь ветвь $w_k$ функции и заставим точку $z$ описать в плоскости какую-нибудь замкнутую кривую.

Если эта кривая не содержит внутри себя точку $z=0$ (сплошная кривая на рисунке), то непрерывно изменяющийся аргумент точки $z$ вернется к прежнему значению с возвращением точки $z$ в исходное положение. В силу этого и ветвь $w_k$ радикала останется прежней (т.е. мы вернемся к прежнему значению корня в исходной точке).

Картина изменится, если кривая $l$ будет содержать внутри себя точку $z=0$ (пунктирная кривая на рисунке). В этом случае после полного обхода кривой $l$ аргумент точки $z$ в исходном положении увеличится на $\pm 2\pi k$ (в зависимости от того, совершается ли обход кривой против или по часовой стрелки), в силу чего мы от значения $w_k$ корня в исходной точке перейдем либо к значению $$ w_k\cdot e^{i\tfrac{\scriptstyle2\pi}{\scriptstyle n}}=w_{k+1},$$ либо к значению $$ w_k\cdot e^{-i\tfrac{\scriptstyle2\pi}{\scriptstyle n}}=w_{k-1}. $$

Повторяя обход вокруг начала координат в том или ином направлении достаточное количество раз, мы можем перейти от исходной ветви $w_k$ радикала к любой другой ветви. Очевидно, что после $n$ обходов начала координат в одном направлении мы возвращаемся к исходной ветви радикала.

Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее переводит от одной ветви многозначной функции к другой ветви, называется точкой разветвления этой функции. Таким образом, точка $z=0$ будет точкой разветвления функции $w=\sqrt[n]{z}$.

Из сказанного следует, что мы можем выделить $n$ однозначных ветвей $w_k$ функции $w=\sqrt[n]{z}$ только в такой области $D$, которая не содержит ни одной замкнутой кривой, заключающей внутри себя точку $z=0$.

Расширенная плоскость $z$ с любым разрезом от точки $z=0$ до точки $z=\infty$ и, в частности, с разрезом вдоль положительной части вещественной оси (левая часть рисунка) не содержит ни одной замкнутой кривой, обходящей точку $z=0$. На ней можно выделить $n$ однозначных ветвей $w_k$, $k=0,1,\dots,n-1$, радикала, принимающих каждая одно из значений $\sqrt[n]{z}$.

Эти ветви будут однолистно отображать расширенную плоскость $z$ с разрезом вдоль положительной части вещественной оси на секторы $$ k\frac{2\pi}n<\arg w\le(k+1)\frac{2\pi}n,\quad k=0,1,\dots,n-1, $$ расширенной плоскости $w$ (правая часть рисунка, где $n=6$). Отображения обратны рассмотренному ранее отображению $w=z^n$ и непрерывны. Для того чтобы фиксировать какую-либо из ветвей $w_k$ радикала, достаточно лишь указать, в каком из секторов должно изменяться $w$.

Рассмотрим показательную функцию $$ w=e^z,\quad z=x+iy. $$

Перепишем $$ w=e^x(\cos y+i\sin y)=r(\cos\varphi+i\sin\varphi), $$ поэтому $$ r=|w|=e^x,\quad\varphi=\mbox{arg}\,w=y. $$

Линии $x=\hbox{const}$ переходят в окружности $r=\hbox{const}$ ($y$ и $\varphi$ — любые),

Линии $y=\mbox{const}$ переходят в лучи $\varphi=\mbox{const}$ ($x$ и $r$ — любые).

Для взаимной однозначности при отображении с помощью функции $w=e^z$ необходимо и достаточно, чтобы отображаемая область не содержала никакой пары различных точек $z_1$ и $z_2$, для которых $z_1-z_2=2\pi ki$, $k\in N$. Этому условию удовлетворяет любая горизонтальная полоса шириной меньше $2\pi$, например, полосы $2\pi k<\mathfrak{Im}\, z<2\pi(k+1)$.

• Полоса $0<\mathfrak{Im}\, z<\pi$ плоскости $z$ отображается функцией $w=e^z$ на верхнюю полуплоскость плоскости $w$
• Полоса $0<\mathfrak{Im}\, z<2\pi$ — на плоскость $w$ с разрезом по положительной части вещественной оси, при этом прямые $y=0$ и $y=2\pi$ отображаются в лучи $\varphi=0$ и $\varphi=2\pi$, т.е. обе в положительную вещественную ось (поэтому нужен разрез).
• Полуполоса $-\infty<\mathfrak{Re}\, z<0$, $0<\mathfrak{Im} z<\pi$ отображается в единичный полукруг $|w|<1$, $\mathfrak{Im} w>0$.
• Полуполоса $0<\mathfrak{Re}\, z<\infty$, $0<\mathfrak{Im}\,z<\pi$ — на полуплоскость $\mathfrak{Im}\, w>0$, из которой удален единичный полукруг.

Логарифмическая функция обратна показательной, бесконечнозначна, все ее значения вычисляются по формуле $$ w=\mbox{Ln }z=\mbox{ln }|z|+i\mbox{Arg }z=\mbox{ln }|z|+i(\mbox{arg }z+2\pi k),\quad k=0,\pm1,\pm2,\dots\ . $$ Дополнительно примем, что $w=\infty$ при $z=0$ и $z=\infty$.

Обозначив через $w_k$ множество всех точек $w$, соответствующих данному фиксированному значению $k$, получим бесконечное множество функций, которые называются ветвями многозначной функции $w=\mbox{Ln }z$ $$ w_k= \mbox{ln }|z|+i\mbox{Arg }z=\mbox{ln }|z|+i(\mbox{arg }z+2\pi k),\quad k=0,\pm1,\pm2,\dots\ . $$

Бесконечнозначность логарифма связана с бесконечнозначностью его мнимой части $\mbox{Arg }z$. Поэтому область не должна допускать обхода начала координат по непрерывной кривой, так как при таком обходе значение $\mbox{Arg }z$ изменяется на $2\pi$. Область указанного типа будет сектором концентрического кольца: $$ 0<r_1\le r\le r_2,\quad -\pi\leftarrow\varphi_1\le\varphi\le\varphi_2<\pi. $$

Каждая ветвь $w_k$ является однозначной функцией. Например, его главное значение $$ \mbox{ln }z=\mbox{ln }|z|+i\mbox{arg }z. $$

Функция $\mbox{Ln }z$ отображает всю плоскость с разрезом на горизонтальную полосу однозначно. Если аргумент $z$ увеличить на $2\pi$, будет другая ветвь, которая отображает всю плоскость с разрезом (другой лист римановой поверхности) на другую полосу.

$z=0$ — точка разветвления.

Вещественная и мнимая части этой функции $$ u=\displaystyle\frac12\mbox{ln }(x^2+y^2), \,\, v=\mbox{arctg }\frac{y}{x}+2\pi k. $$ имеют непрерывные частные производные, удовлетворяющие условиям Коши-Римана.

А это значит, что выделенная ветвь логарифма представляет собой дифференцируемую функцию комплексного переменного $z$ в области $D$. Производная ее не обращается в нуль и, следовательно, функция $w=\mbox{ln }z$ осуществляет конформное отображение области $D$ на некоторую область плоскости $w$.

Найти образ плоскости с разрезом вдоль положительной части вещественной оси при отображении однозначной ветвью логарифма, когда $z_0=i$ переходит в $w_0=\displaystyle\frac52\pi i$.

Решение. В области $D$, представляющей собой плоскость $z$ с разрезом вдоль положительной части вещественной оси, $$ z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi),\quad |z|>0,\ 0<\varphi<2\pi, $$ выделим ветвь логарифма $$ w=\ln|z|+i\varphi. $$ Эта ветвь отображает $D$ на полосу $0<v<2\pi$ (здесь принимаем $w=u+iv$). Далее имеем $$ w(i)=\displaystyle\frac12\pi i. $$ Чтобы получить $w_0 =\displaystyle\frac52\pi i$, надо взять $w(i)+2\pi i=\displaystyle\frac52\pi i$. А ветвь $$ w=\ln|z|+i(\varphi+2\pi) $$ отображает $D$ на полосу $2\pi\!<\!v\!<\!4\pi$, содержащую точку $w_0=\displaystyle\frac52\pi i$.

Ответ: $2\pi<v<4\pi$.

Так называют функцию \begin{equation}\label{eq g3 p9 1} w=\frac12\left(z+\frac1{z}\right). \end{equation} Ее производная $$ w'=\frac12\left(1-\frac1{z^2}\right) $$ конечна и отлична от нуля во всех точках плоскости $z$, кроме точек $z=0,+1,-1$, в силу чего отображение конформно в плоскости $z$, исключая три упомянутые точки.

Установим условие однолистности отображения. Пусть $z_1\!\ne\!z_2$, но $w_1=w_2$, т.е. $$ \frac12\left(z_1+\frac1{z_1}\right)= \frac12\left(z_2+\frac1{z_2}\right). $$ Переписав последнее равенство в виде $$ \big(z_1-z_2\big)\left(1-\frac1{z_1z_2}\right)=0 $$ найдем из него, что $$z_1z_2 =1.$$ Следовательно, отображение будет однолистным в любой области, не содержащей никаких двух точек, связанных равенством $z_1z_2 =1$.

Этому условию удовлетворяют, в частности, круг $|z|<1$ и внешность круга $|z|>1$.

Для того чтобы лучше представить себе рассматриваемое отображение, положим $$ z=re^{i\varphi},\quad w=u+iv $$ и произведя соответствующие замены в функции Жуковског и отделив вещественные и мнимые части, получим два вещественных равенства, зависящие от двух параметров $$ u=\frac12\left(r+\frac1r\right)\cos\varphi,\quad v=\frac12\left(r-\frac1r\right)\sin\varphi. $$

Рассмотрим две упомянутые выше области $|z|<1$ и $|z|>1$.

В области $|z|<1$ возьмем окружность $$|z|=r<1.$$ Из параметрической записи исключим угол $\varphi$. Получим, что эта окружность при отображении перейдет в эллипс $$ \frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}=1 $$ с полуосями $$ a=\frac12\left(r+\frac1r\right),\quad b=\frac12\left|r-\frac1r\right| $$ и полуфокусным расстоянием $$ c=\sqrt{a^2-b^2}=1, $$ не зависящим от радиуса $r$ окружности $|z|=r$. Таким образом, окружности $|z|=r$, $0<r<1$, при данном отображении перейдут в софокусные эллипсы с полуосями $a$ и $b$, фокусы которых находятся в точках $(\pm1,0)$.

Так как $r-\dfrac1r<0$ при $r<1$, то из представления вещественной и мнимой частей следует, что при положительном направлении обхода окружностей $|z|=r$ соответствующие эллипсы обходятся в отрицательном направлении. При $r\to0$ будет $a\to\infty$ и $b\to\infty$. Следовательно, при $r\to0$ эллипсы, постепенно округляясь, увеличиваются и заполняют всю плоскость $w$. При $r\to1-0$ будет $a\to1$ и $b\to0$, и эллипсы постепенно вырождаются в разрез вдоль интервала $[-1,1]$ вещественной оси плоскости $w$.

Рассмотрим, во что преобразуются лучи, выходящие из начала координат.

Для этого исключим $r$ из уравнений для вещественной и мнимой частей. Получим $$ \frac{u^2}{\cos^2\varphi}-\frac{v^2}{\sin^2\varphi}=1 $$ уравнение гиперболы с полуфокусным расстоянием $$ c=\sqrt{a^2+b^2}=1. $$ Следовательно, отображение переводит лучи $\arg z=\varphi$ в семейство гипербол с теми же фокусами $(\pm1,0)$, что и у семейства эллипсов (вершины гипербол выколоты).

Итак, функция Жуковского однолистно и конформно отображает круг $|z|<1$ на всю плоскость $w$ с разрезом вдоль вещественной оси от точки $w=-1$ до точки $w=1$. При этом верхняя полуокружность переходит в нижний берег разреза, а нижняя полуокружность — в верхний берег разреза.

Верхний единичный полукруг $|z|<1$, $\mathfrak{Im} z>0$ функция Жуковского отобразит на нижнюю полуплоскость $\mathfrak{Im} w<0$, а нижний полукруг $|z|<1$, $\mathfrak{Im} z<0$ - на верхнюю полуплоскость $\mathfrak{Im} w>0$.

Рассмотрим теперь в области $|z|>1$ окружности $|z|=r$, где $1<r<+\infty$.

Проведя точно такой же анализ, как и в предыдущем случае, легко доказать, что функция Жуковского отображает эти окружности на те же самые эллипсы, что и в предыдущем случае, но проходимые в положительном направлении.

При $r\to1+0$ эти эллипсы вырождаются в разрез $[-1,1]$ вещественной оси $u$, а при $r\to+\infty$ эллипсы, округляясь, увеличиваются и заполняют всю плоскость $w$.

Таким образом, функция $w=\frac12\left(z+\frac1{z}\right)$ однолистно и конформно отображает область $|z|>1$ на всю плоскость $w$ с разрезом вдоль вещественной оси от точки $w=-1$ до точки $w=1$. При этом верхний полукруг отображается на верхнюю полуплоскость, а нижний полукруг - на нижнюю полуплоскость.

Обратная к функции Жуковского функция $$ w=z+\sqrt{z^2+1} $$ двузначна, что обусловлено двузначностью квадратного корня. Каждую точку $z$ она отображает в две точки $w_1$ и $w_2$, связанные условием $w_1w_2=1$. Легко показать, что точки $z=-1$ и $z=1$ будут точками разветвления этой функции. Таким образом, в любой области, не содержащей замкнутых кривых, обходящих лишь одну из этих точек, можно выделить две однозначные ветви обратной функции. Этому условию, в частности, удовлетворяет вся плоскость $z$ с разрезом вдоль отрезка $[-1,1]$ вещественной оси. Ветви обратной функции однолистно отображают плоскость $z$ с указанным разрезом либо на круг $|w|<1$, либо на круг $|w|>1$ и аналитичны.

Теорема 1 (Римана).

Всякую односвязную область $D$ комплексной плоскости $z$, граница которой состоит более чем из одной точки, можно конформно отобразить на внутренность единичного круга $|w|<1$ плоскости $w$ и притом бесконечно многими способами.

Теорема 2 (Римана).

Функция $w=f(z)$, осуществляющая конформное отображение заданной односвязной области $D$ $($граница которой состоит более чем из одной точки$)$ на единичный круг $|w|<1$ определена единственным образом, если выполняются условия: $$ w_0=f(z_0)\quad\hbox{и}\quad\arg f'(z_0)=\alpha, $$ где $z_0\in D$, $w_0$ — центр круга, $\alpha$ — заданное вещественное число.

Конформные отображения имеют многочисленные применения.

Например, они применяются в картографии при построении географических карт [Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения»]. Каждая географическая карта изображает часть земной поверхности на плоскости (на листе бумаги). При таком изображении очертания материков и морей подвергаются искажению. Оказывается, однако, что можно строить карту, не изменяя величины углов между различными линиями на земной поверхности, с помощью стереографической проекции и конформных отображений.

Наиболее важные применения конформных отображений относятся к вопросам физики и механики [Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения»]. Например, задачи, где требуется вычислить электрический потенциал в точках пространства, окружающего заряженный конденсатор, или вычислить температуру внутри нагретого тела, вычислить скорости частиц жидкости или газа в потоке, движущемся в некотором канале и обтекающем при этом какие-либо препятствия и т.п, решаются без больших трудностей случае, когда тела имеют простую форму. Конформные отображения простой фигуры посредством некоторой функции комплексного переменного позволяют перейти к фигуре с более сложной формой, когда задача в простейшем случае уже решена.

Известный пример - расчет профиля крыла самолета [Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения»]. Задача о скоростях частиц потока воздуха, обтекающего крыло самолета, сводится к более простой задаче обтекания круглого цилиндра с помощью функции Жуковского (Николай Егорович Жуковский (1847-1921) широко использовал комплексные числа и конформные отображения для расчета самолетов). На рисунке показан профиль крыла самолета в поперечном сечении (рис. снизу) и более простая форма - круг, то есть само тело - круглый цилиндр (рис. сверху)