В XVI-XVII вв. выражения вида $a+b\sqrt{-1}$, $b\neq0$, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми».

По-видимому, впервые мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или о правилах алгебры» Кардано Дж.(1545), который счел их бесполезными, непригодными к употреблению. Для многих крупных ученых (Ньютон И., Лейбниц Г.) алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной и даже загадочной и мистической.

Символ $\mathbf i=\sqrt{-1}$ предложил Леонард Эйлер (1794). Гаусс К. ввел в употребление термин «комплексное число» в 1831 году. Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе датчанина Каспара Весселя (1799).

Например, при решении уравнения $x^2-2x+5=0$, дискриминант которого отрицателен, получаем корни $x=1\pm2\mathbf i$, являющиеся комплексными числами.

Комплексным числом $z$ называется выражение вида $z=x+\mathbf i y$, где $x$ и $y$ — вещественные числа, $\mathbf i$ — символ, называемый мнимой единицей, $\mathbf i^2=-1$.

Выражение $z=x+\mathbf i y$ называют алгебраической формой комплексного числа, $x$ называется вещественной частью числа $z$ и обозначается $\mathfrak{Re}(z)$ или $\mathfrak{Re}\,z$ ($\mathfrak{Re}$ - начальные буквы латинского слова realis - вещественный), $y$ называется мнимой частью $z$ и обозначается $\mathfrak{Im}(z)$ или $\mathfrak{Im}\,z$ ($\mathfrak{Im}$ - начальные буквы латинского слова imaginarius - мнимый).

Например, $\mathfrak{Re}(1-2\mathbf i)=1$, $\mathfrak{Im}(1-2\mathbf i)=-2$. Если $y=\mathfrak{Im}\,z=0$, то $z=x$ является вещественным числом, а если $\mathfrak{Re}\,z=x=0$ и $y\ne0$, то $z=\mathbf i y$ является чисто мнимым числом.

Два комплексных числа $z_1$ и $z_2$ равны тогда и только тогда, когда $\mathfrak{Re} z_1=\mathfrak{Re} z_2$ и $\mathfrak{Im} z_1=\mathfrak{Im} z_2$ одновременно.

Сопряженным с комплексным числом $z=x+\mathbf i y$ называют комплексное число вида $x-\mathbf i y$, его обозначают $\overline{z}=x-\mathbf i y$.

Свойства сопряжения \begin{equation*} \overline{\bar{z}}=z, \quad \overline{z_1z_2}=\bar{z}_1\bar{z}_2, \quad \overline{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2}. \end{equation*}

Комплексное число $-x-\mathbf i y=-z$ называется противоположным комплексному числу $z=x+\mathbf i y$. Их сумма равна так называемому нулевому комплексному числу $x+\mathbf i y+(-x-\mathbf i y)=0+\mathbf i 0$.

Для комплексных чисел $\alpha,\beta,\gamma$ выполняются следующие законы арифметики.

а) Коммутативный (переместительный) закон:
для сложения $$ \alpha+\beta=\beta+\alpha;$$ для умножения $$ \alpha\beta=\beta\alpha.$$

б) Ассоциативный (сочетательный) закон:
для сложения $$ \alpha+\beta+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma= \beta+(\alpha+\gamma);$$ для умножения $$ \alpha\beta\gamma=\alpha(\beta\gamma)=(\alpha\beta)\gamma=\beta (\alpha\gamma). $$

в) Дистрибутивный (распределительный) закон: $$ \alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma. $$

Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме $\alpha=a+b\mathbf i $, $\beta=c+d\mathbf i $, выражаются следующими формулами:

для сложения и вычитания $$ \alpha\pm\beta=(a+b\mathbf i )\pm(c+d\mathbf i )=(a\pm c)+(b\pm d)\mathbf i , $$

для умножения (учитывая, что $\mathbf i ^2=-1$) $$ \alpha\beta=(a+b\mathbf i )(c+d\mathbf i )=ac+ad\mathbf i +bc\mathbf i +bd\mathbf i ^2=(ac-bd)+(ad+bc)\mathbf i , $$ заметим также, что $\alpha\bar\alpha=a^2+b^2\in R$, $i^3=-i$, $i^4=1$, и, наконец,

для деления $$ \frac\alpha\beta=\frac{\alpha\bar\beta}{\beta\bar\beta}= \frac{(a+b\mathbf i )(c-d\mathbf i )}{c^2+d^2}=\frac{ac+bc\mathbf i -ad\mathbf i -bd\mathbf i ^2}{c^2+d^2}= $$ $$ =\frac{ac+bd+(bc-ad)\mathbf i }{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+ \frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,\mathbf i . $$

Пример. \begin{equation*} \begin{split} &z_1=-3+4\mathbf i , \,\, z_2=5-\mathbf i .\\ &z_1+z_2=2+3\mathbf i ,\,\, z_1-z_2=-8+5\mathbf i , \,\, z_1z_2=-11+23\mathbf i ,\\ &\overline{z}_2=5+\mathbf i , \,\, z_2\overline{z_2} =26, \,\, \frac{z_1}{z_2}=-\frac{19}{26}+\frac{17}{26}\mathbf i . \end{split} \end{equation*}

В 1799 году датчанин Каспар Вессель определил комплексное число как упорядоченную пару вещественных чисел $(x,y)$. Известно, что на декартовой плоскости упорядоченной паре соответствует точка. Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и установим взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости, при котором комплексному числу $z=x+\mathbf i y$ отвечает точка $M$ с координатами $x,y$. Точку $M$ мы рассматриваем как изображение комплексного числа $z=x+\mathbf i y$.

При этом множество всех вещественных чисел изображается осью абсцисс, называемой поэтому вещественной осью, множество всех чисто мнимых чисел лежит на оси ординат, называемой мнимой осью. Плоскость $XOY$, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью (иногда гауссовой плоскостью) или просто плоскостью $z$. Термины «комплексное число $z$» и «точка $z$ на комплексной плоскости» употребляются как синонимы.

Комплексное число $z=x+\mathbf i y$ может также изображаться вектором с проекциями $x$ и $y$ на координатные оси, который, таким образом, равен радиус-вектору точки $z$. Иногда термины «комплексное число» и «вектор» употребляют также как синонимы.

Именно поэтому, глядя на координатную плоскость, естественно сделать вывод, что комплексные числа невозможно сравнивать, т.е. нельзя говорить, что какое-то комплексное число больше или меньше другого.

Комплексное число равное сумме или разности двух комплексных чисел $z_1\pm z_2$ соответствует вектору на комплексной плоскости, который получится при сложении/вычитании векторов, соответствующих числам $z_1$ и $z_2$. Для произведения $z_1\cdot z_2$ этой аналогии уже не будет.

Напомним, что в полярных координатах точка $M$ имеет координаты $(r,\varphi)$. В нашем случае полярные координаты имеют следующий смысл:

• полярный радиус (или длина вектора) называется модулем комплексного числа $z=x+\mathbf i y$ и вычисляется по формуле

$$ r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\bar z}, $$

• полярный угол $\varphi$ (угол между положительным направлением оси $OX$ и отрезком $OM$) называется аргументом комплексного числа $z$ и обозначается $\varphi=\mbox{Arg }z$.

Модуль и аргумент - две важнейшие характеристики комплексного числа.

Условия равенства двух комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ - равенство их модулей: $|z_1|=|z_2|$ и аргументов: $\mbox{Arg }z_1=\mbox{Arg }z_2$.

Угол $\varphi=\mbox{Arg }z$ - аргумент комплексного числа $z=x+\mathbf i y$. Этот угол, изменяясь от положительного направления оси $OX$ против часовой стрелки, увеличивается до $2\pi$, а далее его величины повторяются. Поэтому аргумент комплексного числа бесконечнозначен, так как все его значения отличаются друг от друга на слагаемые, кратные $2\pi$.

Аргумент $\varphi$ определяется из формул \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=r\cos\varphi, \\ y=r\sin\varphi \end{array}\right. \end{equation} с точностью до слагаемого $2\pi k$: $$ \mbox{Arg }z=\mbox{arg }z+2\pi k,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots\ . $$

Из множества значений аргумента особо выделяется главное значение $\mbox{arg }z$, удовлетворяющее неравенству $-\pi<\mbox{arg } z\le\pi$. При этом полезны формулы \begin{equation} \arg z=\left\{\begin{array}{ll} \mbox{arctg }\dfrac{y}{x},&x>0, \\ \mbox{arctg }\dfrac{y}{x}+\pi,&x<0,\ y\ge0, \\ \mbox{arctg }\dfrac{y}{x}-\pi,&x<0,\ y<0.\\ \end{array}\right. \end{equation}

Условие сопряжения двух чисел $z$ и $\bar{z}$: $$|z|=|\bar{z}|,\quad \arg z=-\arg \bar{z}.$$

Некоторые свойства модуля: $$ \left| z_1 + z_2 \right| \le \left| z_1\right| + \left| z_2\right| \ , $$ $$ \left| z_1 + z_2 \right| \ge \big| | z_1 | - | z_2 | \big| \ , $$ $$ \left| z_1 - z_2 \right| \ge \big| | z_1 | - | z_2 | \big|. $$

Кроме алгебраической формы $z=x+\mathbf i y$ часто используют другие формы. Применяя формулы для вычисления $x$, $y$ через $r$, $\varphi$, находим $$ z=r\cos\varphi+\mathbf i r\sin\varphi\quad\hbox{или}\quad z=r(\cos\varphi+ \mathbf i \sin\varphi), $$ что является тригонометрической формой записи комплексного числа. Воспользовавшись формулой Эйлера $e^{\mathbf i \varphi}=\cos\varphi+ i\sin\varphi$, получим $$ z=re^{\mathbf i \varphi} $$ показательную форму комплексного числа.

Напомним, что модуль комплексного числа $z=x+\mathbf i y$ вычисляется по формуле $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\bar z}$, аргумент $\varphi$ комплексного числа $z$ обозначается $\varphi=\mbox{Arg }z=\arg z+2\pi k$, ($k = 0,\pm1,\pm2,\ldots$). Главное его значение $\arg z$ (угол между положительным направлением оси $OX$ и вектором числа $z=x+iy$) удовлетворяет неравенству $-\pi<\arg z\le\pi$.

Пример. Представить комплексное число $$ z=1-\sin\alpha+\mathbf i \cos\alpha,\quad 0<\alpha<\frac\pi2 $$ в тригонометрической форме.

Р е ш е н и е. По определению: $$ z=|z|\big(\cos(\arg z)+\mathbf i \sin(\arg z)\big). $$ Модуль равен $$ |z|=\sqrt{(1-\sin\alpha)^2+\cos^2\alpha}=\sqrt{2(1-\sin\alpha)}, $$ а аргумент $$ \arg z=\mbox{arctg }\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}=\mbox{arctg }\frac{\cos \dfrac\alpha2+\sin\dfrac\alpha2}{\cos\dfrac\alpha2-\sin\dfrac\alpha2} = $$ $$ =\mbox{arctg }\frac{\mbox{tg}\dfrac\pi4+\mbox{tg}\dfrac\alpha2}{1-\mbox{tg}\dfrac\pi4\mbox{tg} \dfrac\alpha2}=\frac\pi4+\frac\alpha2. $$

О т в е т: $z=\sqrt{2(1-\sin\alpha)}\bigg(\cos\left(\dfrac\pi4 +\dfrac\alpha2\right)+\mathbf i \sin\left(\dfrac\pi4+\dfrac\alpha2\right) \bigg)$.

Примечание: воспользоваться формулами двойного угла.

Пусть даны два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме $$ \begin{array}{l} z_1=r_1(\cos\varphi_1+\mathbf i \sin\varphi_1), \\ z_2=r_2(\cos\varphi_2+\mathbf i \sin\varphi_2). \end{array} $$ Выведем формулу для произведения: $$ z_1z_2=r_1r_2\big(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin \varphi_2+\mathbf i (\sin\varphi_1\cos\varphi_2+ $$ $$ +\cos\varphi_1\sin\varphi_2)\big) = r_1r_2\big(\cos(\varphi_1+ \varphi_2)+\mathbf i \sin(\varphi_1+\varphi_2)\big). $$ Для деления получим следующую формулу $(z_2\ne0)$: $$ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)}{r_2(\cos \varphi_2+i\sin\varphi_2)}=\frac{r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1) (\cos\varphi_2-i\sin\varphi_2)}{r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2) (\cos\varphi_2-i\sin\varphi_2)} = $$ $$ =\frac{r_1}{r_2}\big(\cos\varphi_1\cos\varphi_2+\sin\varphi_1 \sin\varphi_2+\mathbf i (\sin\varphi_1\cos\varphi_2-\cos\varphi_1 \sin\varphi_2)\big)= $$ $$ =\frac{r_1}{r_2}\big(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+ \mathbf i \sin(\varphi_1-\varphi_2)\big). $$

Умножение, деление удобнее производить в показательной форме. Пусть $z_1=r_1e^{\mathbf i \varphi_1}$, $z_2=r_2e^{\mathbf i\varphi_2}$, тогда произведение и частное (считая $z_2\neq 0$): $$ z_1z_2=r_1r_2\,e^{\mathbf i (\varphi_1+\varphi_2)},\quad \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\,e^{\mathbf i (\varphi_1-\varphi_2)}. $$

Возведение в натуральную степень равносильно умножению числа самого на себя $n$ раз: $$ z^n=z\cdot z\cdot\ldots\cdot z. $$

Формула для степени комплексного числа в показательной и тригонометрической формах: $$ z^n=(x+\mathbf i y)^n=\big(r(\cos\varphi+\mathbf i \sin\varphi)\big)^n= \left(re^{\mathbf i \varphi}\right)^n= $$ $$ =r^ne^{\mathbf i n\varphi}=r^n(\cos n\varphi+\mathbf i \sin n\varphi). $$ Отсюда получим формулу Муавра (1667-1754): \begin{equation}\label{eq g1 p5 1} (\cos\varphi+\mathbf i \sin\varphi)^n=\cos n\varphi+\mathbf i \sin n\varphi. \end{equation}

Пример. С помощью формулы Муавра выразить $\cos3\varphi$ и $\sin3\varphi$ через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$.

О т в е т: $\cos3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi, \,\, \sin3\varphi=-4\sin^3\varphi+3\sin\varphi$.

Число $w$ называется корнем натуральной степени из числа $z\ne0$, если \begin{equation}\label{g1 p5 2} w^n=z. \end{equation} Обозначается $w=\sqrt[n]{z}$, для $n=2$ имеем $w=\sqrt{z}$.

Вывод формулы $\sqrt[n]z$. Пусть $$ \begin{array}{l} z=r(\cos\varphi+\mathbf i \sin\varphi),\\ w=\rho(\cos\theta+i\sin\theta). \end{array} $$ Тогда $$ \begin{array}{c} w^n=\rho^n(\cos n\theta+\mathbf i \sin n\theta)= \\ =r(\cos\varphi+\mathbf i \sin\varphi). \end{array} $$ Приравнивая вещественные составляющие левой и правой частей, находим $\rho^n=r$, а затем и $n\theta = \varphi+2\pi m=\arg z+2\pi k$. Получаем $$ \begin{array}{l} \rho=\sqrt[n]{r}, \\ \theta=\dfrac1n\mbox{Arg }z=\dfrac1n\big(\arg z+2\pi k\big). \end{array} $$ Корень $n$-й степени из комплексного числа имеет $n$ различных значений при $k=0,1,\ldots,n-1$: $$ w_k=\sqrt[n]{r(\cos\varphi+\mathbf i \sin\varphi)}=\!\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\arg z+2\pi k}n+\mathbf i \sin\frac{\arg z+2\pi k}n\right). $$

Геометрически эти $n$ значений корня изображаются вершинами правильного $n$-угольника с полярными координатами $\Big(\sqrt[n]r,$ $\dfrac1n(\arg z+2\pi k)\Big)$.

Пример. Найдем по формулам $\sqrt[4]1=\{1,\mathbf i ,-1,-\mathbf i \}$. Эти точки находятся в вершинах квадрата.

Из геометрии известно, что любой упорядоченной паре вещественных чисел соответствует точка $z$ на плоскости комплексного переменного. Определим на комплексной плоскости бесконечно удаленную точку. Так условно будем называть «мысленную точку» $(x,y)$, координаты которой (обе сразу или одна из них) - величины неограниченные, т.е. комплексные числа имеют формальный вид $z=x+i\infty$, $z=\infty+iy$ либо $z=\infty+i\infty$. Тогда пишут $z=\infty$ (несобственное комплексное число), считая ее единственной бесконечно удаленной точкой.

Для несобственного комплексного числа понятия вещественной и мнимой части, а также понятие аргумента не вводятся; точнее говоря, объявляются лишенными смысла (напомним, что понятие аргумента не имеет смысла и для числа 0). Что касается модуля числа $z=\infty$, то для него используется символ $|\infty|=+\infty$.

Договорились, что имеют смысл следующие операции, в которых участвуют $z=\infty$ и собственное комплексное число $a$: $$ \frac{a}\infty=0,\quad\frac\infty{a}=\infty,\quad\frac{a}0=\infty. $$ Такие операции, как $$ \infty\pm\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \dfrac00,\quad \dfrac\infty\infty $$ объявляются лишенными смысла.

Совокупность точек комплексной плоскости и бесконечно удаленной точки называется расширенной плоскостью комплексного переменного.

Наглядное представление о расширенной комплексной плоскости дает следующая интерпретация Римана (1826-1866).

Чтобы получить геометрическое изображение числа $\infty$, прибегают к представлению комплексных чисел точками сферы. Построим сферу (называемую сферой Римана) радиуса $r$, касающуюся плоскости $z$ в точке $z=0$ и отметим точку $N$ сферы, диаметрально противоположную началу координат $O$.

Из точки $N(0,0,2r)$ сферы проведем проведем луч в любую точку $Z(x,y,0)$ плоскости $(x,y)$ и отметим точку $S$ пересечения данного луча и сферы. Эта точка $S(\xi,\eta,\zeta)$ является новым геометрическим представлением комплексного числа $z$. В результате таких построений лучей между точками плоскости $(x,y)$ и точками сферы устанавливается взаимно однозначное соответствие, называемое стереографической проекцией, имеющей применение в картографии.

Точкам меридиана $NSO$ на сфере соответствуют точки луча $OZ$ на плоскости $(x,y)$, различным параллелям - круги на плоскости $(x,y)$. Исключение составляет точка $N$. Северному полюсу $N$ сферы не соответствует пока никакое комплексное число. Однако точкам сферы, достаточно близким к $N$, соответствуют точки $z$ плоскости, сколь угодно далеко отстоящие от начала координат, т.е. точка $z$ сколь угодно большого модуля. Будем считать, что точке $N$ соответствует единственная точка $z=\infty$.

Покажем, что точка $z=\infty+\mathbf i \infty$ (или $z=x+\mathbf i \infty$, или $z=\infty+\mathbf i y$) будет при таком преобразовании переходить в точку $N(0,0,2r)$ и наоборот. Координаты точек на такой сфере $(\xi,\eta,\zeta)$ связаны формулой \begin{equation}\label{eq g1 p7 1} \xi^2+\eta^2+(\zeta-r)^2=r^2\quad\hbox{или}\quad \xi^2+\eta^2=\zeta (2r-\zeta). \end{equation}

Из коллинеарности $NZ$ и $NS$ можно получить представление луча $NSZ$ $$ \frac{\xi-0}{x-0}=\frac{\eta-0}{y-0}=\frac{\zeta-2r}{0-2r}. $$ Отсюда можно получить координаты точек плоскости через координаты точек сферы: \begin{equation}\label{eq g1 p7 2} x=\frac{2r\xi}{2r-\zeta},\quad y=\frac{2r\eta}{2r-\zeta}. \end{equation}

Составим $$ x^2+y^2=\frac{4r^2(\xi^2+\eta^2)}{(2r-\zeta)^2}, $$ $$ x^2+y^2 = \frac{4r^2\zeta}{2r-\zeta}. $$ Тогда можно выразить координату $$ \zeta=\frac{2r(x^2+y^2)}{x^2+y^2+4r^2}, $$ и другие координаты $$ \xi=\frac{4r^2x}{x^2+y^2+4r^2},\quad\eta=\frac{4r^2y}{x^2+y^2+4r^2}. $$

Устремим $x\to\infty$, $y\to\infty$ (по отдельности или вместе), тогда $\xi\to0$, $\eta\to0$, $\zeta\to2r$, а это и есть точка $N$.