Пусть $ f_{}(x,y) $ — полином степени $ n_{}>1 $ с вещественными коэффициентами, $ f(0,0)=0 $ и $ \partial f / \partial y \mid_{(0,0)} = 0 $, т.е. корень $ y_{}=0 $ является кратным корнем полинома $ f(0,y) $. Требуется построить все решения уравнения $ f_{}(x,y)=0 $, удовлетворяющие условию $ y(0)=0 $. Решение этой задачи оказывается возможным посредством представления решения $ y_{}(x) $ в виде ряда по степеням переменной $ x_{} $, только указанные степени приходится брать дробными. Для пояснения идеи рассмотрим сначала один частный случай [1]: $$ f(x,y)=a_{10}x+a_{0m}y^m+\dots \qquad npu \quad m>1 ; $$ здесь под многоточием скрываются одночлены, делящиеся на один из мономов $ x^2,\ xy,\ y^m $. Алгоритм решения поясню на примере¹⁾.

Пример. Найти такое решение уравнения Эйлера

$$ f(x,y)=y^5-3\, y^4+3\,y^3 - x(1-y)^2 = 0 $$ относительно переменной $ y_{} $, которое удовлетворяет условию $ y(0)=0 $.

Решение. Имеем $ \partial f / \partial y = 0 $ в точке $ (0,0) $. Условие теоремы 1 (существования неявной функции) нарушено, и, построение решения уравнения в виде ряда по натуральным (целым положительным) степеням переменной $ x_{} $ невозможно. Но, может быть, удастся построить решение по дробным степеням этой переменной?

Обратим внимание на то, что $ \partial f / \partial x \ne 0 $ в точке $ (0,0) $, и, следовательно, в соответствии с теоремой 1, можно найти представление для функциональной зависимости $ x = \varphi (y) $ в виде сходящегося ряда по степеням $ y_{} $. Этот ряд строится элементарными рассуждениями: $$ x=\frac{y^5-3\, y^4+3\,y^3}{(1-y)^2} = (y^5-3\, y^4+3\,y^3) \left( \sum_{j=0}^{\infty} \frac{y^j}{j!} \right)^2 =3\,y^3+ \sum_{j=4}^{\infty} (j-1) y^j = $$ $$ =y^3(3+3\,y+4\,y^2+5\,y^3+6\,y^4+7\,y^5+\dots ) $$ и он сходится при $ |y|<1 $. Теперь построим ряд для обратной функции. Имеем: $$ \sqrt[3]{x} = y \sqrt[3]{3+3\,y+4\,y^2+5\,y^3+6\,y^4+7\,y^5+\dots} . $$ Раскладываем выражение $ ( \quad )^{1/3} $ из правой части в ряд Тейлора: $$ \sqrt[3]{3+3\,y+4\,y^2+5\,y^3+6\,y^4+7\,y^5+\dots} = \sqrt[3]{3} \left(1+\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}y^2+\frac{26}{81}y^3+\frac{74}{243}y^4+\frac{70}{243} y^5+\frac{1793}{6561}y^6 + \dots \right) \ . $$ Это — вещественное значение корня кубического из ряда. Помимо него, существуют еще и два мнимых, получаемых домножением вещественного значения на корни кубические из единицы: $ \varepsilon_{1,2}= -\frac{1}{2} + \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Последний шаг заключается в применении теоремы 1 к выражению $ y_{} $ как функции от $ X=\sqrt[3]{x/3} $ из уравнения $$ X= y\left(1+\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}y^2+\frac{26}{81}y^3+\frac{74}{243}y^4+\frac{70}{243} y^5+\frac{1793}{6561}y^6 + \dots \right) . $$ Имеем: $$ y_1=\sqrt[3]{\frac{x}{3}}-\frac{1}{3} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^2- \frac{1}{9} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^3+\frac{4}{81} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^4 + \frac{16}{243} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^5 -\frac{259}{6561} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^7+ \dots ; $$ $$ y_2=\sqrt[3]{\frac{x}{3}}\varepsilon_1-\frac{1}{3} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^2\varepsilon_2 - \frac{1}{9} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^3+\frac{4}{81} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^4\varepsilon_1 + \frac{16}{243} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^5 \varepsilon_2+ \dots ; $$ и $ y_3=\overline{y_2} $. Здесь под выражением $ \sqrt[3]{x/3} $ понимается единственное вещественное значение корня кубического из числа. ♦

В общем же случае, когда полином $ f_{}(x,y) $ имеет вид $$ f(x,y)=a_{10}x+a_{0m}y^m+\dots \qquad npu \quad m>1 , $$ получим $ m_{} $ решений уравнения $ f_{}(x,y)=0 $ в виде рядов по степеням $ x^{1/m} $ с комплексными коэффициентами.

Подобный ряд — по степеням $ x^{1/m} $ или, в общем случае, $ (x-x_0)^{1/m} $, где $ x_0 \in \mathbb C, 1< m\in \mathbb N $ называется рядом Пюизё²⁾.

Алгоритм, проиллюстрированный в примере, сработал за счет выполнения условия $ \partial f / \partial x \ne 0 $ в интересующей нас точке. Совершенно исключительным случаем будет случай, когда в этой точке кривой $ f_{}(x,y)=0 $ обе частные производные обратятся в нуль: $$ \partial f / \partial x =0,\ \partial f / \partial y =0 \ . $$ Такая точка называется особой точкой кривой $ f_{}(x,y)=0 $. Иными словами, линия уровня $ f_{}(x,y)=0 $ полинома проходит через стационарную точку этого полинома.

Статья не закончена!

[1]. Гурса Э. Курс математического анализа. Т.2. М.-Л.ГТТИ. 1933