Теорема. Квадрат расстояния от точки $ (x_0,y_{0}) $ до эллипса $ x^2/a^2+y^2/b^2 =1 $ равен минимальному положительному корню полинома

$$ \mathcal F(z)\equiv B_0 z^4+B_1(x_0,y_0)z^3+B_2(x_0,y_0)z^2+B_3(x_0,y_0)z+B_4(x_0,y_0) $$ при условии, что этот корень не является кратным. Здесь $$ \begin{array}{ll} B_0&=L^2 \\ B_1(x_0,y_0)&=-2\,L\bigg\{ L(a^2+b^2+x_0^2+y_0^2) +a^2y_0^2-b^2x_0^2\bigg\} \, , \\ B_2(x_0,y_0)&=6\,L[a^4y_0^2+a^2y_0^4 -b^4x_0^2-b^2x_0^4+L(a^2b^2+x_0^2y_0^2)] +[L^2-(a^2x_0^2+b^2y_0^2)]^2 \, , \\ B_3(x_0,y_0)&=-2\,a^2b^2\bigg\{a^2b^2T_0G_0^2 -\bigg[(a^2+b^2)T_0^2+3\,a^2b^2T_0-6\,a^4b^4S_{4,0}\bigg]G_0 +2\,a^2b^2T_0^2S_{4,0}\bigg\} \, , \\ B_4(x_0,y_0)&=a^{4}b^{4}G_0^2 \left(T_0^2+4\,a^2b^2G_0\right) \, . \end{array} $$ и $$ L= a^2-b^2,\ G_0=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}-1 ,\ T_0= x_0^2+y_0^2-a^2-b^2,\ S_{4,0}= \frac{x_0^2}{a^4} + \frac{y_0^2}{b^4} \, . $$

Пример. При $ a=2,b=1, (x_0,y_0)=(3,4) $ будет

$$ \mathcal F(z)=9\,z^4-870\,z^3+31261\,z^2-524740\,z+3218436 \ ; $$ минимальный положительный корень $ z_{\ast} \approx 13.356826 $.

Проверка. Координаты ближайшей к $ (3,4) $ точки на эллипсе $ x^2/4+y^2=1 $: $$ (x_{\ast},y_{\ast}) \approx ( 1.397020, 0.715600) \, .$$

Пример. При $ a=123,b=345, (x_0,y_0)= (111,172) $ будет

$$ \mathcal F(z)=10794378816\,z^4-4012620725660976\,z^3+ $$ $$+298055262937313437425\,z^2-6270559766628486679624788\,z+115170807065147006584864320 ; $$ минимальный положительный корень $ z_{\ast} \approx 18.382969 $.

Проверка. Координаты ближайшей к $ (111,172) $ точки на эллипсе $ x^2/123^2+y^2/345^2=1 $: $$ (x_{\ast},y_{\ast}) \approx (106.798732, 171.144246) \, . $$

Пример. При $ a=b=R $ (окружность) будет

$$ \mathcal F(z) = R^4(x_0^2+y_0^2)^2\left\{ z^2-2\,(x_0^2+y_0^2+R^2)\,z+(x_0^2+y_0^2-R^2)^2 \right\} ; $$ минимальный положительный корень $$ z_{\ast} = \left(\sqrt{x_0^2+y_0^2}-R\right)^2 \ . $$ Случай $ x_0=0,y_0=0 $ является исключительным: уравнение расстояний вырождается в тождество $ \mathcal F(z)\equiv 0 $; но этот случай как раз и заблокирован условием теоремы.

При любых значениях $ a,b,x_0,y_0 $ свободный член уравнения расстояний неотрицателен.

Доказательство следует из альтернативного представления $$ B_4 \equiv a^4b^4G_0^2\left[(x_0^2-y_0^2+b^2-a^2)^2+4\,x_0^2y_0^2 \right] \, . $$

Теорема. Квадрат расстояния от точки $ (x_0,y_{0},z_0) $ до эллипсоида $ x^2/a^2+y^2/b^2 +z^2/c^2=1 $ равен минимальному положительному корню полинома

$$ \mathcal F(u)\equiv B_0 u^6+B_1(x_0,y_0,z_0)u^5+\dots + B_6(x_0,y_0,z_0) $$ при условии, что этот корень не является кратным. Здесь $$ \begin{array}{ll} B_0 & =L^2, \\ B_1(x_0,y_0,z_0)&=-2\,L\bigg\{a^2(b^2-c^2)(2\,a^2-b^2-c^2)(z_0^2+y_0^2) +b^2(c^2-a^2)(2\,b^2-c^2-a^2)(x_0^2+z_0^2)+\\ & +c^2(a^2-b^2)(2\,c^2-b^2-a^2)(x_0^2+y_0^2) +L (a^2+b^2+c^2) \bigg\} \\ \dots & \dots \, , \\ B_5(x_0,y_0,z_0)&=a^6b^6c^6(k_{1,0}+k_{1,1}G_0+k_{1,2}G_0^2+k_{1,3}G_0^3+k_{1,4}G_0^4 ) \, , \\ B_6(x_0,y_0,z_0)&= a^6b^6c^6(k_{0,0} +k_{0,1} G_0 +k_{0,2} G_0^2+k_{0,3}G_0^3 ) G_0^2 \, , \end{array} $$ а $$ \begin{array}{ll} k_{1,0}&= -4\,a^2b^2c^2S_{4,0}^3(T_0^2-4\,a^2b^2c^2S_{4,0}) \, , \\ k_{1,1}&= 2\,S_{4,0}\big\{9\,T_0^3+5(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)T_0^2S_{4,0} -28a^2b^2c^2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)S_{4,0}^2 -40\,a^2b^2c^2T_0S_{4,0} \big\} \, , \\ k_{0,0}&=a^2b^2c^2 S_{4,0}^2(T_0^2-4\,a^2b^2c^2S_{4,0}) \ , \\ k_{0,1}&=-4\,T_0^3-2\,(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)T_0^2S_{4,0} + 12\,(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)a^2b^2c^2S_{4,0}^2+18\,a^2b^2c^2T_0S_{4,0} \end{array} $$ и $$ L = (a^2-b^2)(a^2-c^2)(b^2-c^2),\ G_0= \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2} +\frac{z_0^2}{c^2}-1,\ T_0=x_0^2+y_0^2+z_0^2-a^2-b^2-c^2,\ S_{4,0}:=\frac{x_0^2}{a^4}+\frac{y_0^2}{b^4}+\frac{z_0^2}{c^4} \, . $$ Неуказанные коэффициенты $ \{k_{ij}\} $ — полиномы по $ x_0,y_0,z_0 $.

Пример. Для $ a=2,b=4,c=7, (x_0,y_0,z_0)=(6,-2,5) $ будет

$$ \mathcal F(u) =317552400\,u^6-134300928960\,u^5+21083788567296\,u^4-1652203945681920\,u^3+ $$ $$ +69237728543821824\,u^2-1470136016781803520\,u+12114379475024412672 ; $$ минимальный положительный корень $$ u_{\ast} \approx 21.636337 \ . $$

Проверка. Координаты ближайшей к $ (6,-2,5) $ точки на эллипсоиде $ x^2/4+y^2/16+z^2/49=1 $: $$ (x_{\ast},y_{\ast},z_{\ast}) \approx (1.528569,-1.155519,4.036180) \, . $$

$$ \left\{ \begin{array} [c]{ll}% \dot{x}_{1} & =\ \ \omega x_{2}+a _{20}x_{1}^{2}+a_{11}x _{1}x_{2}+a_{02}x_{2}^{2} +a_{30}x_{1}^{3}+a_{21} x_{1}^{2}x_{2}+a_{12}x _{1}x_{2}^{2}+a_{03}x_{2} ^{3}+h.o.t.\\ \dot{x}_{2} & =-\omega x_{1}+b _{20}x_{1}^{2}+b_{11}x _{1}x_{2}+b_{02}x_{2}^{2} +b_{30}x_{1}^{3}+b_{21} x_{1}^{2}x_{2}+b_{12}x _{1}x_{2}^{2}+b_{03}x_{2}^{3}+h.o.t. \end{array} \right. $$ Здесь h.o.t. означают одночлены по $x_{1}$ и $x_{2}$ степеней $ > 3$. Предполагается, что положение равновесия $x_{1}=x_{2}=0$ является изолированным. Случай является критическим по Ляпунову: устойчивость этого положения равновесия не может быть установлена рассмотрением только линейного приближения. Так называемая, (первая) константа Пуанкаре-Ляпунова (формула Баутина) \begin{equation} L_{1}=\frac{1}{8\omega}\left[ (a_{20}+a_{02})(b_{20}-b_{02}-a_{11}% )\,+(b_{20}+b_{02})(a_{20}-a_{02}+b_{11})\right] +\frac{1}{8}\left( 3a_{30}+a_{12}+b_{21}+3b_{03}\right) \label{PL}% \end{equation} определяет является ли начало координат слабо притягивающим ($L_{1}<0$) или слабо отталкивающим ($L_{1}>0$). В контексте бифуркации Хопфа, знак $L_{1}$ определяет ее критичность. При $L_{1}<0$ устойчивый предельный цикл системы возникает вокруг неустойчивого положения равновесия при вариации коэффициентов в $ L_1 $ (суперкритическая бифуркация), в то время как при $L_{1}>0$ неустойчивый предельный цикл возникает вокруг устойчивого положения равновесия (субкритическая бифуркация).

Исходная система ОДУ содержит $ 15 $ коэффициентов, но $ L_1 $ зависит лишь от $ 11 $ из них, а именно $ \omega $ и тех, что составляют вектор $$ X=\left( a_{11},a_{12},a_{20},a_{02},a_{30},b_{11},b_{21}% ,b_{20},b_{02},b_{03}\right)^{\top} \, . $$ Относительно этих последних уравнение $ L_1=0 $ представляет собой поверхность второго порядка в $ \mathbb R^{10} $, которую назовем квадрикой Хопфа: $$ X^{\top}A X +2B^{\top} X=0 , $$ при $$ A= \frac{1}{8\omega}\left( \begin{array}{cccccccccc} 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right), B=\frac{1}{16}\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\3 \end{array}\right) $$

Квадрика сильно вырождена: спектр матрицы $ A $: $$ \mu_{1,2}=-\frac{1}{8\omega}\sqrt{\frac{3}{2}},\ \mu_{3,4}=\frac{1}{8\omega }\sqrt{\frac{3}{2}},\ \mu_{5,\dots,10}=0\, . $$ Это приводит к тому, что уравнение расстояний для этой квадрики имеет степень, существенно меньшую обычной для квадрики в $ \mathbb R^{10} $, т.е. $ 20 $.

Уравнение расстояний от точки $$ X_0=(5,-2,4,-6,-3,-7,2,4,-2,7)^{\top} $$ до квадрики (отброшен множитель $(-3\cdot2^{36}\omega^{2})$) $$ \mathcal{F}(z):=12960\,z^{5}+3456(50\omega ^{2}-137)z^{4}+1152(750\omega^{4}-4340\omega^{2}+1980\omega+5442)z^{3}+ $$ $$ +3072(625\omega^{6}-6050\omega^{4}-2475\omega^{3}-5608\omega^{2}% -16245\omega-11884)z^{2}+ $$ $$ +512(3125\omega^{8}-53500\omega^{6}-103500\omega^{5}+725610\omega ^{4}+212040\omega^{3}+1655540\omega^{2}+528084\omega+163097)z- $$ $$ -2048(625\omega^{6}-6675\omega^{4}-16200\omega^{3}+111081\omega^{2} +33372\omega+13189)(3\omega+1)^{2}= 0 \, . $$ В зависимости от значений $ \omega $, уравнение имеет от одного до трех вещественных корней, все они положительны. При $$ 0< \omega < \omega_{\ast} , \mbox{ где } \omega_{\ast} \approx 0.5589270794804 ,$$ имеется три корня уравнения расстояний. Например, при $ \omega = 0.5 $: $$ z_{\ast} \approx 2.0166461555821835800, 14.061803496316520276, 14.252662125243340285 \, .$$ Расстояние от $ X_0 $ до квадрики Хопфа равно $ \sqrt{z_{\ast}} \approx 1.4200867 $; оно достигается в точке $$ X_{\ast} \approx \left(\begin{array}{r} 4.4582721 \\ -2.0914870 \\ 3.3130941 \\ -6.2737752 \\ -3.2744611 \\ -7.2065653 \\ 1.9085129 \\ 4.1061939 \\ -2.9772618\\ 6.7255389 \end{array} \right) \, . $$ При $ \omega> \omega_{\ast} $ уравнение расстояний имеет единственный корень. Так, при $ \omega=2 $: $$ z_{\ast} \approx 6.199363970485615067631263208825758107773, \sqrt{z_{\ast}} \approx 2.489852198522156268040175459557964200836 $$ Ближайшая к $ X_0 $ точка на квадрике Хопфа: $$ X_{\ast} \approx \left(\begin{array}{r} 4.325847742059672186136593325465388836324 \\ -2.414503431699106421872362590249935405886 \\ 3.162371547180712202068830009190108157805 \\ -6.415190252091719758812036753698135665884 \\ -4.243510295097319265617087770749806217657 \\ -7.211219100363784019559566618555878088149 \\ 1.585496568300893578127637409750064594115 \\ 4.183723673303447861660116725708769128120 \\ -3.164580842577207766066696623360453199231 \\ 5.756489704902680734382912229250193782341 \end{array} \right) $$

Проверка. Точка $ X_{\ast} $ лежит на квадрике: равенство $ X_{\ast}^{\top}A X_{\ast} +2B^{\top} X_{\ast}=0 $ выполнено с точностью до $10^{-39} $. Вектор $ X_0-X_{\ast} $ перпендикулярен квадрике в точке $ X_{\ast} $: определитель Грама системы векторов $ \{ X_0-X_{\ast}, A X_{\ast} + B \} $: $$ \left|\begin{array}{cc} z_{\ast} & 0.93475763654621202636 \\ 0.93475763654621202636 & 0.14094540072842585681 \end{array} \right| =0 $$ с точностью до $ 10^{-20} $.

[1]. Uteshev A.Yu., Goncharova M.V. Point-to-ellipse and point-to-ellipsoid distance equation analysis. J.Comput. Applied Math., 2018, Vol. 328, P. 232-251

[2]. Uteshev A., Kalmár-Nagy T. Measuring the criticality of a Hopf bifurcation. Nonlinear Dyn. 2020, V. 101, 2541–2549 Текст — в открытом доступе ☞ ЗДЕСЬ