Рассмотрим два способа для нахождения оригинала по заданному изображению:

• Разложение изображения на сумму элементарных дробей, оригиналы для которых можно найти по таблице.
• Применение теорем разложения.

Пример 1. Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$. \begin{equation*} \begin{split} F(p)&=\displaystyle\frac{1}{p(p-1)(p^2+4)}= \\ &=-\frac{1}{4p}+\frac{1}{5(p-1)}+\frac{p-4}{20(p^2+4)}=\\ &=-\frac{1}{4p}+\frac{1}{5(p-1)}+\frac{p}{20(p^2+4)}-\frac{1}{10}\frac{2}{(p^2+4)}\\ &\\ f(t)&=-\frac14+\frac15e^t+\frac{1}{20}\mbox{cos}\,2t-\frac{1}{10}\mbox{sin}\,2t. \end{split} \end{equation*}

Пример 2. Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$. \begin{equation*} F(p)=\displaystyle\frac{1}{p^3-8}. \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} F(p)&=\displaystyle\frac{1}{p^3-8}= \\ &=\frac{1}{12(p-2)}-\frac{p+4}{12(p^2+2p+4)}=\\ &=\frac{1}{12(p-2)}-\frac{p+4}{12((p+1)^2+3^2)}=\\ &=\frac{1}{12(p-2)}-\frac{1}{12}\cdot\frac{p+1}{(p+1)^2+(\sqrt{3})^2}-\frac{\sqrt{3}}{12}\cdot\frac{\sqrt{3}}{(p+1)^2+(\sqrt{3})^2}.\\ &\\ f(t)&=\frac{1}{12}e^{2t}-\frac{1}{12}e^{-t}(\mbox{cos}\,t\sqrt{3}+\sqrt{3}\,\mbox{sin}\,t\sqrt{3}). \end{split} \end{equation*}

Пример 3. Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$. \begin{equation*} \begin{split} F(p)&=\displaystyle\frac{1}{p+2p^2+p^3}=\displaystyle\frac{1}{p(p+1)^2}. \end{split} \end{equation*} Можно разложить на сумму элементарных дробей, а можно использовать теорему об интегрировании оригинала. Воспользуемся теоремой: \begin{equation*} t\,e^{-t}\risingdotseq \frac{1}{p^2+1}\,\, \Rightarrow \,\, \int\limits_0^t\tau\,e^{-\tau}\,d\tau\risingdotseq \frac{1}{p (p+1)^2}. \end{equation*} Вычислим интеграл и запишем оригинал $f(t)$: \begin{equation*} \int\limits_0^t\tau\,e^{-\tau}\,d\tau = -(t+1)e^{-t}+1 \,\, \Rightarrow \,\, \end{equation*} \begin{equation*} \displaystyle\frac{1}{p(p+1)^2} \risingdotseq -(t+1)e^{-t}+1. \end{equation*}

Пример 4. Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$. \begin{equation*} F(p)=\displaystyle\frac{e^{-p}}{p+1}. \end{equation*} Воспользуемся теоремой запаздывания. \begin{equation*} \frac{1}{p+1} \risingdotseq e^{-t}\,\, \Rightarrow \,\, \end{equation*} \begin{equation*} \frac{e^{-p}}{p+1}=\frac{e^{-1\cdot p}}{p+1} \risingdotseq e^{-(t-1)}\cdot\eta(t-1). \end{equation*}

Пусть $F(p)$ — аналитическая в окрестности $z=\infty$ функция и в этой окрестности раскладывается в ряд Лорана: \begin{equation*} F(p)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{c_k}{p^k}. \end{equation*} Тогда \begin{equation*} F(p)\risingdotseq f(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{c_k}{(k-1)!}t^{k-1}. \end{equation*}

Пусть $F(p)$ — дробно-рациональная функция и $p_1, \ldots p_n$ — ее полюсы (простые или кратные). Тогда \begin{equation*} F(p)\risingdotseq f(t)=\sum\limits_{k=1}^{n}\mbox{res}\left(F(p_k)e^{p_kt}\right). \end{equation*}

Пример 5. Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$. \begin{equation*} F(p)=\displaystyle\frac{p}{(p+1)(p+2)(p+3)(p+4)} \end{equation*} Обозначим $$H(p)=F(p)e^{pt}.$$ Все особые точки $H(p)$ — простые полюсы: $$p_1=-1,\,\, p_2=-2,\,\, p_3=-3,\,\, p_4=-4.$$ \begin{equation*} \begin{split} \mbox{res}\left(H(p_1)\right)&=-\frac16e^{-t}, \\ \mbox{res}\left(H(p_2)\right)&=e^{-2t}, \\ \mbox{res}\left(H(p_3)\right)&=-\frac32e^{-3t}, \\ \mbox{res}\left(H(p_4)\right)&=\frac23e^{-4t}. \end{split} \end{equation*} Тогда по второй теореме разложения получаем: \begin{equation*} f(t)=-\frac16e^{-t}+e^{-2t}-\frac32e^{-3t}+\frac23e^{-4t}. \end{equation*}

Пример 6. Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$. \begin{equation*} F(p)=\displaystyle\frac{1}{(p-a)(p-b)^2} \end{equation*} По второй теореме разложения: \begin{equation*} f(t)=\frac{te^{bt}}{b-a}-\frac{e^{bt}}{(b-a)^2}+\frac{e^{at}}{(b-a)^2}. \end{equation*}

Пример 7. Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$. \begin{equation*} F(p)=\displaystyle\frac{p^3}{(p^2+1)^2} \end{equation*} Обозначим $$H(p)=F(p)e^{pt}.$$ Особые точки $H(p)$ — полюсы второго порядка: $$p_1=i,\,\, p_2=-i.$$ \begin{equation*} \begin{split} \mbox{res}\left(H(p_1\right))&=\frac{e^{it}(2+it)}{4}, \\ \mbox{res}\left(H(p_2\right))&=\frac{e^{-it}(2-it)}{4}. \end{split} \end{equation*} Тогда по второй теореме разложения: \begin{equation*} f(t)=\frac14\left(2e^{it}+2e^{-it}+i\,te^{it}-i\,te^{-it}\right)=\mbox{cos}\,t-\frac12\,t\,\mbox{sin}\,t. \end{equation*}

Пример 8. Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.

\begin{equation*} F(p)=\displaystyle\frac{p}{p^2+1}. \end{equation*} Разложим $F(p)$ в ряд Лорана в окрестности $z=\infty$: \begin{equation*} F(p)=\frac{p}{p^2}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{p^{2n}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{p^{2n+1}}. \end{equation*} И по первой теореме разложения получим: \begin{equation*} f(t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^nt^{2n}}{(2n)!}=\mbox{cos}\,t. \end{equation*}

Пример 9. Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.

\begin{equation*} F(p)=\displaystyle\frac{1}{p^2}\mbox{cos}\displaystyle\frac{1}{p}. \end{equation*} Разложим $F(p)$ в ряд Лорана в окрестности $z=\infty$: \begin{equation*} F(p)=\frac{1}{p^2}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{(2n)!p^{2n}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{(2n)!p^{2n+2}}. \end{equation*} По первой теореме разложения: \begin{equation*} f(t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{(2n)!(2n+1)!}t^{2n+1}. \end{equation*}