Пусть $\alpha$, $\beta \in \mathbb{C}$. Тогда изображение линейной комбинации функций $f(t)$ и $g(t)$ является линейной комбинацией их изображений $F(p)$ и $G(p)$: \begin{equation*} \alpha f(t)+\beta g(t) \risingdotseq \alpha F(p)+\beta G(p). \end{equation*}

Пример 1. Найти изображение для $f(t)=\mbox{sin}\,\alpha t$. \begin{equation*} \mbox{sin}\,\alpha t=\frac{e^{i\alpha t}-e^{-i\alpha t}}{2i} \risingdotseq \frac{1}{2i}\left(\frac{1}{p-i\alpha}+\frac{1}{p+i\alpha}\right)=\frac{1}{2i}\cdot\frac{2i\alpha}{p^2+a^2}=\frac{\alpha}{p^2+\alpha^2}. \end{equation*}

Пример 2. Найти изображение для $f(t)=\mbox{cos}\,\alpha t$. \begin{equation*} \mbox{cos}\,\alpha t=\frac{e^{i\alpha t}+e^{-i\alpha t}}{2} \risingdotseq \frac12\left(\frac{1}{p-i\alpha}+\frac{1}{p+i\alpha}\right)=\frac12\cdot\frac{2p}{p^2+a^2}=\frac{p}{p^2+\alpha^2}. \end{equation*}

Пример 3. Вывести формулы для изображений гиперболических функций. \begin{gather*} \mbox{sh}\,\alpha t \risingdotseq \frac{\alpha}{p^2-\alpha^2},\\ \mbox{ch}\,\alpha t \risingdotseq \frac{p}{p^2-\alpha^2}. \end{gather*}

Пример 4. Найти изображение для $f(t)=\mbox{sin}^2 t$. \begin{equation*} \begin{split} &\mbox{sin}^2 t=\left(\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\right)^2 = -\frac{1}{4}e^{2it}+\frac12-\frac{1}{4}e^{-2it} \risingdotseq \\ &\risingdotseq -\frac14\cdot\frac{1}{p-2i}+ \frac{1}{2p}-\frac14\cdot\frac{1}{p+2i}=-\frac{2p}{p^2+4}+\frac{1}{2p}=\frac{2}{p(p^2+4)}. \end{split} \end{equation*}

Пусть $a\in R $, $a>0$. \begin{equation*} f(at)\risingdotseq \displaystyle\frac{1}{a}F\left(\displaystyle\frac{p}{a}\right). \end{equation*}

Пусть $\alpha \in \mathbb{C}$. \begin{equation*} e^{\alpha t}\cdot f(t)\risingdotseq F(p-\alpha). \end{equation*}

Пример 5. Найти изображение для $f(t)=e^{2t}\mbox{sin}t$. \begin{gather} \mbox{sin}\, t=\risingdotseq \frac{1}{p^2+1}\,\,\Rightarrow e^{2t}\mbox{sin}t\risingdotseq \frac{1}{(p-2)^2+1}. \end{gather}

Пример 6. Найти изображение для $f_1(t)= e^{\alpha t}\mbox{sin}\,\beta t, \,\, f_2(t)=e^{\alpha t}\mbox{cos}\,\beta t$. \begin{gather*} \mbox{sin}\,\beta t=\risingdotseq \frac{\beta}{p^2+\beta^2}\,\,\Rightarrow e^{\alpha t}\mbox{sin}\,\beta t \risingdotseq \frac{\beta}{(p-\alpha)^2+\beta^2},\\ \mbox{cos}\,\beta t=\risingdotseq \frac{p}{p^2+\beta^2}\,\,\Rightarrow e^{\alpha t}\mbox{cos}\,\beta t \risingdotseq \frac{p-\alpha}{(p-\alpha)^2+\beta^2}. \end{gather*}

Пример 7. Найти изображение для $f(t)=\mbox{ch}t\, \mbox{sin}\, t$. \begin{equation*} \mbox{ch}t\, \mbox{sin}\, t\risingdotseq \frac{p^2+2}{p^2+4}. \end{equation*}

Пример 8. Найти изображение для $f(t)=\mbox{sh}\alpha t\,\mbox{sin}\,\beta t$. \begin{equation*} \mbox{sh}\alpha t\,\mbox{sin}\,\beta t\risingdotseq \frac{2p\alpha\beta}{((p-a)^2+\beta^2)((p+a)^2+\beta^2)}. \end{equation*}

Пусть $\tau \in R$, $\tau>0$. \begin{equation*} f(t-\tau) \risingdotseq e^{-p\tau}\cdot F(p). \end{equation*} В механике используют включение с запаздыванием для различных приборов. В математической модели таких включений удобно использовать функцию Хэвисайда, а изображения для таких функций удобно находить с помощью теоремы запаздывания.

Пример 9 а). Найти изображение для $f(t)=\mbox{cos }(t-1)\,\eta(t-1)$. \begin{equation*} \mbox{cos }(t-1)\,\eta(t-1)\risingdotseq e^{-p\cdot1}\cdot\frac{p}{p^2+1}=e^{-p}\cdot\frac{p}{p^2+1}. \end{equation*}

Пример 9 б). Найти изображение для $f(t)=\mbox{cos }(t-1)\,\eta(t)$. \begin{equation*} \mbox{cos }(t-1)\,\eta(t) = \mbox{cos }t\,\mbox{cos }1\,\eta(t) + \mbox{sin }t\,\mbox{sin }1\,\eta(t) \risingdotseq \frac{p}{p^2+1}\,\mbox{cos} 1+\frac{1}{p^2+1}\,\mbox{sin}1. \end{equation*}

Пример 10. Найти изображение для кусочно-непрерывной функции: \begin{equation*} f(t)=\begin{cases} 0,& t<0,\\ 2t,& 0\leqslant t<1,\\ 2,& 1\leqslant t<2,\\ 4-t, & 2\leqslant t<4,\\ 0,& t\geqslant4. \end{cases} \end{equation*}

Запишем аналитическое выражение для $f(t)$ через функцию Хэвисайда: \begin{equation*} \begin{split} f(t)&= 2t\cdot\eta(t)-2t\cdot\eta(t-1)+\\ &+2\cdot\eta(t-1)-2\cdot\eta(t-2)+ \\ &+(4-t)\cdot\eta(t-2)-(4-t)\cdot\eta(t-4)+\\ &+0. \end{split} \end{equation*}

Сгруппируем так, чтобы было удобно находить изображения: \begin{equation*} \begin{split} f(t) =& 2t\cdot \eta(t) + (2-2t)\cdot\eta(t-1) + \\ +& (4-t-2)\cdot(t-2)-(4-t)\cdot(t-4) = \\ =& 2t\cdot \eta(t) - 2(t-1)\cdot\eta(t-1) - \\ -&(t-2)\cdot\eta(t-2)+(t-4)\cdot\eta(t-4). \end{split} \end{equation*}

Теперь, используя теорему смещения и тот факт, что $t \risingdotseq \frac{1}{p^2}$, запишем изображение для данной функции: \begin{equation*} F(p) = \frac{2}{p^2}-\frac{2}{p^2}e^{-p}-\frac{1}{p^2}e^{-2p}+\frac{1}{p^2}e^{-4p}. \end{equation*}

Пример 11. Найти изображение для кусочно-непрерывной функции: \begin{equation*} f(t)=\begin{cases} 0,& t<0,\\ \displaystyle\frac{t-a}{a},& 0\leqslant t<a,\\ 0,& a\leqslant t<2a,\\ \displaystyle\frac{t-2a}{a},& t\geqslant2a. \end{cases} \end{equation*}

\begin{equation*} f(t)= \left(\frac{t}{a}-1\right)\eta(t)-\frac{t-a}{a}\eta(t-a)+\frac{t-2a}{a}\cdot\eta(t-2a). \end{equation*}

\begin{equation*} F(p) = \frac{1}{ap^2}-\frac{1}{p}-\frac{1}{ap^2}e^{-ap}-\frac{1}{ap^2}e^{-2ap}. \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{aligned} f'(t) & \risingdotseq p\,F(p)-f(0),\\ f''(t)& \risingdotseq p^2F(p)-p\,f(0)-f'(0),\\ &\cdots\\ f^{(n)}(t)& \risingdotseq p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-\ldots -f^{(n-1)}(0). \end{aligned} \end{equation*}

Пример 12. Решить задачу Коши: \begin{equation*} x'''+x'=1, \quad x(0)=x'(0)=x''(0)=0. \end{equation*} Запишем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения: \begin{equation*} p^3\,X(p)+p\,X(p)=\frac{1}{p}. \end{equation*} Найдем из записанного алгебраического уравнения неизвестную функцию $X(p)$: \begin{equation*} X(p)=\frac{1}{p^2(p^2+1)}=\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p^2+1}. \end{equation*} И запишем оригинал для найденного изображения: \begin{equation*} \frac{1}{p^2}-\frac{1}{p^2+1}\risingdotseq t-\mbox{sin}\,t. \end{equation*} Получили ответ для поставленной задачи Коши: \begin{equation*} x(t)=t-\mbox{sin}\,t. \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{aligned} F'(p)& \risingdotseq -t f(t),\\ F''(p)& \risingdotseq t^2 f(t),\\ &\cdots\\ F^{(n)}(p)& \risingdotseq (-1)^n t^n f(t). \end{aligned} \end{equation*}

Пример 13. Найти изображение для $f(t) = t^2e^t$.

Известно, что $$ e^t\risingdotseq \frac{1}{p-1}.$$ Тогда по теореме о дифференцировании изображений \begin{equation*} \begin{aligned} & \left( \frac{1}{p-1}\right)' = -\frac{1}{(p-1)^2} \risingdotseq t e^t,\\ & \left(-\frac{1}{(p-1)^2}\right)'' = \frac{2}{(p-1)^3}\risingdotseq t^2 e^t. \end{aligned} \end{equation*}

Пример 14. Найти изображение для $f(t) = t^2\mbox{cos}\,t$.

\begin{equation*} \begin{aligned} & \mbox{cos}\, t \risingdotseq \frac{p}{p^2+1},\\ & t\,\mbox{cos}\, t \risingdotseq \frac{p^2-1}{(p^2+1)^2},\\ & t^2\mbox{cos}\,t \risingdotseq \frac{2p(p^2+3)}{(p^2+1)^3}. \end{aligned} \end{equation*}

\begin{equation*} \int\limits_0^t f(\tau)d\tau\risingdotseq \frac{F(p)}{p}. \end{equation*}

Пример 15. Найти изображение для $f(t) = \int\limits_0^t e^{\tau}d\tau$. \begin{equation*} e^t \risingdotseq \frac{1}{p-1}\,\, \Rightarrow \,\, \int\limits_0^t e^{\tau}d\tau \risingdotseq \frac{1}{p(p-1)}. \end{equation*}

Пример 16. Найти изображение для $f(t) = \int\limits_0^t \tau^2 e^{-\tau}d\tau$. \begin{equation*} \int\limits_0^t \tau^2 e^{-\tau}d\tau \risingdotseq \frac{2}{p(p+1)^3}. \end{equation*}

\begin{equation*} \frac{f(t)}{t}\risingdotseq \int\limits_p^{+\infty}F(p)dp. \end{equation*}

Пример 17. Найти изображение для $f(t)=\frac{\mbox{sin}\,t}{t}$.

\begin{equation*} \begin{aligned} & \mbox{sin}\, t \risingdotseq \frac{1}{p^2+1}\,\, \Rightarrow\\ & \frac{\mbox{sin}\, t}{t} \risingdotseq \int\limits_p^{+\infty}\left.\frac {dp}{p^2+1} = \mbox{arctg}\, \right|_p^{+\infty}=\frac{\pi}{2}-\mbox{arctg}\,p=\mbox{arcctg}\,p. \end{aligned} \end{equation*} Для многозначных функций берем их главные ветви.

Пример 18. Найти изображение для $f(t)=\frac{e^t-1}{t}$.

\begin{equation*} \begin{aligned} & e^t-1 \risingdotseq \frac{1}{p-1}-\frac{1}{p} = \frac{1}{p(p-1)} \Rightarrow\\ & \frac{e^t-1}{t} \risingdotseq \int\limits_p^{+\infty}\frac {dp}{p(p-1)} = \mbox{ln}\left.\frac{p-1}{p}\, \right|_p^{+\infty}=\mbox{ln}\,1-\mbox{ln}\,\frac{p-1}{p}=\mbox{ln}\,\frac{p}{p-1}. \end{aligned} \end{equation*}

Пример 19. Найти изображение для $f(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{t}$. \begin{equation*} f(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{t} \risingdotseq \mbox{ln}\,\frac{p+1}{p-1}. \end{equation*}