Основные свойства и теоремы

Таблица оригиналов и изображений

f(t)	F(p)
$$1$$	$\displaystyle\frac{1}{p}$
$$e^{\lambda t}$$	$\displaystyle\frac{1}{p-\lambda}$
$$\mbox{sin}\,\omega t$$	$\displaystyle\frac{\omega}{p^2+\omega^2}$
$$\mbox{cos}\,\omega t$$	$\displaystyle\frac{p}{p^2+\omega^2}$
$$t$$	$\displaystyle\frac{1}{p^2}$
$$t^n$$	$\displaystyle\frac{n!}{p^{n+1}}$
$$\mbox{sh}\,\omega t$$	$\displaystyle\frac{\omega}{p^2-\omega^2}$
$$\mbox{ch}\,\omega t$$	$\displaystyle\frac{p}{p^2-\omega^2}$
$$t\,\mbox{sin}\,\omega t$$	$\displaystyle\frac{2p\omega}{(p^2+\omega^2)^2}$
$$t\,\mbox{cos}\,\omega t$$	$\displaystyle\frac{p^2-\omega^2}{(p^2+\omega^2)^2}$
$$e^{\lambda t}\mbox{sin}\,\omega t$$	$\displaystyle\frac{\omega}{(p-\lambda)^2+\omega^2}$
$$e^{\lambda t}\mbox{cos}\,\omega t$$	$\displaystyle\frac{p-\lambda}{(p-\lambda)^2+\omega^2}$
$$e^{\lambda t}\,t$$	$\displaystyle\frac{1}{(p-\lambda)^{2}}$
$$e^{\lambda t} \,t^n$$	$\displaystyle\frac{n!}{(p-\lambda)^{n+1}}$

Оригинал	Изображение	Свойство
$\alpha f(t)+\beta g(t),\, \alpha, \beta \in \mathbb{C}$	$\alpha F(p)+\beta G(p)$	Свойство линейности
$$f(at),\, a\in R,\, a>0$$	$\displaystyle\frac{1}{a}F\left(\displaystyle\frac{p}{a}\right)$	Теорема подобия
$e^{\alpha t}\cdot f(t)$	$F(p-\alpha)$	Теорема смещения
$f(t-\tau)$, $ \tau \in R$, $\tau>0$	$e^{-p\tau}\cdot F(p)$	Теорема запаздывания
$f^{(n)}(t)$	$p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-\ldots - f^{(n-1)}(0)$	Дифференцирование оригинала
$ (-1)^n t^n f(t)$	$F^{(n)}(p)$	Дифференцирование изображения
$\int\limits_0^t f(\tau)d\tau$	$\displaystyle\frac{F(p)}{p}$	Интегрирование оригинала
$\displaystyle\frac{f(t)}{t}$	$\int\limits_p^{+\infty}F(p)dp$	Интегрирование изображения
$\int\limits_0^t\,f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$	$$F(p)\cdot G(p)$$	Умножение изображений (теорема о свёртке
$f(0)\cdot g(t)+\int\limits_0^t f'(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau$	$$p\cdot F(p)\cdot G(p) $$	Интеграл Дюамеля
$$ f(t)\cdot g(t) $$	$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(q)\cdot G(p-q)\,dq$	Теорема об умножении оригиналов