Рассмотрим функцию вещественного переменного $f(t)$ определенную на всей вещественной оси $t\in R$ и интегрируемую на любом конечном промежутке. Пусть $f(t)$ удовлетворяет условиям:

1) $f(t)=0$ при $t<0$.

2) Существуют такие числа $M>0$, $s\geqslant0$, что функция $f(t)$ при любом $t\in R$ удовлетворяет неравенству: $$ |f(t)|\leqslant Me^{st}. $$

Функция $f(t)$, удовлетворяющая всем перечисленным выше условиям, называется функцией ограниченного роста, а число $s_0=\mbox{inf}\,s$ называется показателем роста.

В дальнейшем любую функцию $f(t)$ будем заменять на $f(t)\cdot\eta(t)$ и будем считать условие выполненным. Например, если мы указываем функцию $f(t)=\mbox{sin}t$, то на самом деле имеем в виду функцию $$ f(t)=\mbox{sin}t\cdot\eta(t)=\left\{ \begin{aligned} 0,\,\,&t<0,\\ \mbox{sin}t,\,\,&t\geqslant0. \end{aligned} \right. $$

Функция комплексного переменного $p\in C$, $p=s+i\sigma$ $$ F(p)=\int\limits_0^{\infty} f(t)e^{-pt}dt $$ называется изображением по Лапласу, если существует указанный несобственный интеграл. Исходная функция $f(t)$ называется оригиналом.

Обозначается: $ F(p) \risingdotseq f(t), \,\, \mbox{или}\,\, F(p)=L\{f(t)\} $.

Читается: $F(p)$ есть изображение для $f(t)$, $f(t)$ есть оригинал для $F(p)$.

Найти изображение для функции Хэвисайда $f(t)=\eta(t)$.

Условие 1) выполнено.

Условие 2) выполнено при $M=1$, $s_0=0$. \begin{gather*} F(p)=\int\limits_0^{\infty} \eta(t)\cdot e^{-pt}dt=\int\limits_0^{\infty} e^{-pt}dt=\displaystyle\frac{1}{p} \,\,(\mbox{Re}p>0).\\ \end{gather*}

Получили, что $\eta(t)\risingdotseq \displaystyle\frac{1}{p}$. В таблицах обычно записывают $1\risingdotseq \displaystyle\frac{1}{p}$, имея в виду, что на самом деле мы работаем не с $f(t)=1$, а с $f(t)=\eta(t)$.

Теорема о существовании изображения.

Пусть функция $f(t)$ является функцией ограниченного роста с показателем роста $s_0$. Тогда в правой полуплоскости $\mbox{Re}\,p>s_0$ существует изображение $F(p) = \int\limits_0^{\infty} f(t)\,e^{-pt}dt$, причем $F(p)$ — аналитическая функция.

Пусть $\alpha$, $\beta \in \mathbb{C}$. Тогда изображение линейной комбинации функций $f(t)$ и $g(t)$ является линейной комбинацией их изображений $F(p)$ и $G(p)$: \begin{equation*} \alpha f(t)+\beta g(t) \risingdotseq \alpha F(p)+\beta G(p). \end{equation*}

Найти изображение для $f(t)=\mbox{sin}\,\alpha t$. \begin{equation*} \mbox{sin}\,\alpha t=\frac{e^{i\alpha t}-e^{-i\alpha t}}{2i} \risingdotseq \frac{1}{2i}\left(\frac{1}{p-i\alpha}+\frac{1}{p+i\alpha}\right)=\frac{1}{2i}\cdot\frac{2i\alpha}{p^2+a^2}=\frac{\alpha}{p^2+\alpha^2}. \end{equation*}

Найти изображение для $f(t)=\mbox{sin}^2 t$. \begin{equation*} \begin{split} &\mbox{sin}^2 t=\left(\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\right)^2 = -\frac{1}{4}e^{2it}+\frac12-\frac{1}{4}e^{-2it} \risingdotseq \\ &\risingdotseq -\frac14\cdot\frac{1}{p-2i}+ \frac{1}{2p}-\frac14\cdot\frac{1}{p+2i}=-\frac{2p}{p^2+4}+\frac{1}{2p}=\frac{2}{p(p^2+4)}. \end{split} \end{equation*}

Пусть $a\in R $, $a>0$. \begin{equation*} f(at)\risingdotseq \displaystyle\frac{1}{a}F\left(\displaystyle\frac{p}{a}\right). \end{equation*}

Пусть $\alpha \in \mathbb{C}$. \begin{equation*} e^{\alpha t}\cdot f(t)\risingdotseq F(p-\alpha). \end{equation*}

Найти изображение для $f_1(t)= e^{\alpha t}\mbox{sin}\,\beta t, \,\, f_2(t)=e^{\alpha t}\mbox{cos}\,\beta t$. \begin{gather*} \mbox{sin}\,\beta t=\risingdotseq \frac{\beta}{p^2+\beta^2}\,\,\Rightarrow e^{\alpha t}\mbox{sin}\,\beta t \risingdotseq \frac{\beta}{(p-\alpha)^2+\beta^2},\\ \mbox{cos}\,\beta t=\risingdotseq \frac{p}{p^2+\beta^2}\,\,\Rightarrow e^{\alpha t}\mbox{cos}\,\beta t \risingdotseq \frac{p-\alpha}{(p-\alpha)^2+\beta^2}. \end{gather*}

Пусть $\tau \in R$, $\tau>0$. \begin{equation*} f(t-\tau) \risingdotseq e^{-p\tau}\cdot F(p). \end{equation*} В механике используют включение с запаздыванием для различных приборов. В математической модели таких включений удобно использовать функцию Хэвисайда, а изображения для таких функций удобно находить с помощью теоремы запаздывания.

Найти изображение для кусочно-непрерывной функции: \begin{equation*} f(t)=\begin{cases} 0,& t<0,\\ \displaystyle\frac{t-a}{a},& 0\leqslant t<a,\\ 0,& a\leqslant t<2a,\\ \displaystyle\frac{t-2a}{a},& t\geqslant2a. \end{cases} \end{equation*}

\begin{equation*} f(t)= \left(\frac{t}{a}-1\right)\eta(t)-\frac{t-a}{a}\eta(t-a)+\frac{t-2a}{a}\cdot\eta(t-2a). \end{equation*}

\begin{equation*} F(p) = \frac{1}{ap^2}-\frac{1}{p}-\frac{1}{ap^2}e^{-ap}-\frac{1}{ap^2}e^{-2ap}. \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{aligned} f'(t) & \risingdotseq p\,F(p)-f(0),\\ f''(t)& \risingdotseq p^2F(p)-p\,f(0)-f'(0),\\ &\cdots\\ f^{(n)}(t)& \risingdotseq p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-\ldots -f^{(n-1)}(0). \end{aligned} \end{equation*}

Решить задачу Коши: \begin{equation*} x'''+x'=1, \quad x(0)=x'(0)=x''(0)=0. \end{equation*} Запишем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения: \begin{equation*} p^3\,X(p)+p\,X(p)=\frac{1}{p}. \end{equation*} Найдем из записанного алгебраического уравнения неизвестную функцию $X(p)$: \begin{equation*} X(p)=\frac{1}{p^2(p^2+1)}=\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p^2+1}. \end{equation*} И запишем оригинал для найденного изображения: \begin{equation*} \frac{1}{p^2}-\frac{1}{p^2+1}\risingdotseq t-\mbox{sin}\,t. \end{equation*} Получили ответ для поставленной задачи Коши: \begin{equation*} x(t)=t-\mbox{sin}\,t. \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{aligned} F'(p)& \risingdotseq -t f(t),\\ F''(p)& \risingdotseq t^2 f(t),\\ &\cdots\\ F^{(n)}(p)& \risingdotseq (-1)^n t^n f(t). \end{aligned} \end{equation*}

Найти изображение для $f(t) = t^2e^t$.

Известно, что $$ e^t\risingdotseq \frac{1}{p-1}.$$ Тогда по теореме о дифференцировании изображений \begin{equation*} \begin{aligned} & \left( \frac{1}{p-1}\right)' = -\frac{1}{(p-1)^2} \risingdotseq t e^t,\\ & \left(-\frac{1}{(p-1)^2}\right)'' = \frac{2}{(p-1)^3}\risingdotseq t^2 e^t. \end{aligned} \end{equation*}

\begin{equation*} \int\limits_0^t f(\tau)d\tau\risingdotseq \frac{F(p)}{p}. \end{equation*}

Найти изображение для $f(t) = \int\limits_0^t e^{\tau}d\tau$. \begin{equation*} e^t \risingdotseq \frac{1}{p-1}\,\, \Rightarrow \,\, \int\limits_0^t e^{\tau}d\tau \risingdotseq \frac{1}{p(p-1)}. \end{equation*}

\begin{equation*} \frac{f(t)}{t}\risingdotseq \int\limits_p^{+\infty}F(p)dp. \end{equation*}

Найти изображение для $f(t)=\frac{\mbox{sin}\,t}{t}$.

\begin{equation*} \begin{aligned} & \mbox{sin}\, t \risingdotseq \frac{1}{p^2+1}\,\, \Rightarrow\\ & \frac{\mbox{sin}\, t}{t} \risingdotseq \int\limits_p^{+\infty}\left.\frac {dp}{p^2+1} = \mbox{arctg}\, \right|_p^{+\infty}=\frac{\pi}{2}-\mbox{arctg}\,p=\mbox{arcctg}\,p. \end{aligned} \end{equation*} Для многозначных функций берем их главные ветви.

Пусть $F(p)$ — аналитическая в окрестности $z=\infty$ функция и в этой окрестности раскладывается в ряд Лорана: \begin{equation*} F(p)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{c_k}{p^k}. \end{equation*} Тогда \begin{equation*} F(p)\risingdotseq f(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{c_k}{(k-1)!}t^{k-1}. \end{equation*}

Пусть $F(p)$ — дробно-рациональная функция и $p_1, \ldots p_n$ — ее полюсы (простые или кратные). Тогда \begin{equation*} F(p)\risingdotseq f(t)=\sum\limits_{k=1}^{n}\mbox{res}\left(F(p_k)e^{p_kt}\right). \end{equation*}

Интеграл $\int\limits_0^t\,f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$ называется свёрткой функций $f(t)$, $g(t)$ и обозначается $(f\ast g)(t)$: \begin{equation*} (f\ast g)(t)=\int\limits_0^t\,f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau. \end{equation*}

Если $F(p)$ и $G(p)$ являются изображениями по Лапласу функций $f(t)$ и $g(t)$, то их произведение также является изображением, причем \begin{equation*} F(p)\cdot G(p)\risingdotseq (f\ast g)(t)=\int\limits_0^t\,f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau. \end{equation*} (произведение изображений является изображением свертки).

Свертка коммутативна: \begin{equation*} (f\ast g)(t)=(g\ast f)(t)=\int\limits_0^t\,f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau=\int\limits_0^t\,g(\tau)f(t-\tau)\,d\tau. \end{equation*}

\begin{equation*} p\cdot F(p)\cdot G(p) \risingdotseq f(0)\cdot g(t)+\int\limits_0^t f'(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau. \end{equation*} \begin{equation*} p\cdot F(p)\cdot G(p) \risingdotseq g(0)\cdot f(t)+\int\limits_0^t f(\tau)\,g'(t-\tau)\,d\tau. \end{equation*}

Каждую из этих формул называют интеграл Дюамеля.

Пусть $f(t)$ и $g(t)$ удовлетворяют условиям: 1) Теорема о существовании изображения. 2) Их показатели роста равны $s_1$ и $s_2$. 3) $f(t)\risingdotseq F(p)$, $ g(t) \risingdotseq G(p)$. 4) Произведение $f(t)\cdot g(t)$ также является оригиналом.

Тогда \begin{equation*} f(t)\cdot g(t) \risingdotseq \displaystyle\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(q)\cdot G(p-q)\,dq, \end{equation*} где $c\geqslant s_1$, $\mbox{Re}\,p>s_2+c$, $p\in \mathbb{C}$, $q\in \mathbb{C}$.

Примеры