Основное
Указатель — Разделы— Обозначения — Автор — О проекте
Вспомогательная страница к разделу ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Теорема. Коэффициенты интерполяционного тригонометрического полинома порядка $ n_{} $ $$ f_n(x)=a_0+\sum_{k=1}^n (a_k \cos k\,x + b_k \sin k\,x) \ , $$ решающего задачу интерполяции $$ f_n(x_j)=y_j \quad npu \quad \left\{x_j=\frac{2(j-1)\pi}{2n+1}\right\}_{j=1}^{2n+1}, $$ находятся по формулам $$ a_0=\frac{1}{2n+1}\sum_{j=1}^{2n+1}y_j, $$ $$ a_k=\frac{2}{2n+1}\sum_{j=1}^{2n+1}y_j\cos \frac{2(j-1)k\pi}{2n+1}, \quad b_k=\frac{2}{2n+1}\sum_{j=1}^{2n+1}y_j\sin \frac{2(j-1)k\pi}{2n+1} \quad npu \quad k\in \{1,\dots,n\} \ . $$
Доказательство. Общий вид тригонометрического полинома, решающего задачу интерполяции: $$ \begin{matrix} g_n(x)&=&y_1\frac{\displaystyle \sin\frac{x-x_2}{2}\times\dots \times\sin \frac{x-x_{2n+1}}{2}}{\displaystyle \sin \frac{x_1-x_2}{2}\times \dots \times \sin \frac{x_1-x_{2n+1}}{2}} + \\ &+&y_2\frac{\displaystyle \sin\frac{x-x_1}{2}\sin\frac{x-x_3}{2}\times \dots \times \sin\frac{x-x_{2n+1}}{2}}{\displaystyle \sin\frac{x_2-x_1}{2}\sin\frac{x_2-x_3}{2}\times \dots \times \sin\frac{x_2-x_{2n+1}}{2}} + \\ & + & \dots + \\ &+& y_{2n+1}\frac{\displaystyle \sin \frac{x-x_1}{2} \times \dots \times \sin \frac{x-x_{2n}}{2}}{ \displaystyle \sin \frac{x_{2n+1}-x_1}{2} \times \dots \times \sin \frac{x_{2n+1}-x_{2n}}{2}} \end{matrix} $$ Каждое слагаемое в этой сумме имеет вид $$ y_j \frac{W_j(x)}{W_j(x_j)} \quad npu \quad W_j(x) \equiv \frac{W(x)}{\sin \displaystyle \frac{x-x_j}{2}} \quad u \ W(x)=\prod_{s=1}^{2n+1} \sin \displaystyle \frac{x-x_s}{2} . $$ Используя правило дифференцирования произведения, легко проверить, что $$ W_j(x_j) = 2\, W'(x_j) \ . $$ Теперь найдем выражение для функции $ W_{}(x) $ в случае равноотстоящих узлов интерполяции из условия теоремы: $$W(x)=\sin \, \frac{x}{2} \sin \left(\frac{x}{2}-\frac{2\pi}{2n+1}\right) \sin \left(\frac{x}{2}-\frac{4\pi}{2n+1}\right)\times \dots \times \sin \left(\frac{x}{2}-\frac{4n\pi}{2n+1}\right) \ . $$ Утверждается, что $$ W(x)\equiv \sin \frac{2n+1}{2} x \ ; $$ доказательство этого факта ☞ ЗДЕСЬ. Тогда $$ W'(x_j)= \frac{2n+1}{2} \cos \frac{2n+1}{2} x \bigg|_{x=2(j-1)\pi/(2n+1)} = (-1)^{j-1} \frac{2n+1}{2} \ . $$ Таким образом, $$ g_n(x) \equiv \sum_{j=1}^{2n+1} y_j \frac{W_j(x)}{2W'(x_j)} \equiv \frac{1}{2n+1} \sum_{j=1}^{2n+1} y_j \frac{(-1)^{j-1}\sin \frac{2n+1}{2} x}{ \sin \displaystyle \frac{x-x_j}{2}} \ npu \quad x_j=\frac{2\pi (j-1)}{2n+1} \ . $$ Для того, чтобы определить коэффициенты полинома $ g_n(x) $ совершим искусственное преобразование числителя под знаком суммы: $$ (-1)^{j-1}\sin \frac{2n+1}{2} x \equiv \sin \left[ \frac{2n+1}{2} \left( x- \frac{2\pi (j-1)}{2n+1} \right) \right] \ . $$ Далее используем следующий результат (доказанный ☞ ЗДЕСЬ ): $$ 1+2\cos \varphi + 2\cos 2\, \varphi + \dots + 2\cos n\, \varphi \equiv \frac{\sin \displaystyle \frac{2\,n+1}{2} \, \varphi}{ \sin \displaystyle \frac{1}{2} \, \varphi} \ npu \ \forall \varphi \not\equiv 0 \pmod{2\, \pi} \ . $$ Его применение дает: $$ g_n(x)\equiv \frac{1}{2n+1} \sum_{j=1}^{2n+1} y_j \left[1+2\sum_{k=1}^n \cos k(x-x_j) \right] \equiv $$ $$ \equiv \frac{1}{2n+1} \sum_{j=1}^{2n+1} y_j + \frac{2}{2n+1} \sum_{j=1}^{2n+1} y_j \sum_{k=1}^n \left[ \cos k\,x_j \cos k \, x + \sin k\, x_j \sin k \, x \right]\equiv $$ и меняем порядок суммирования: $$ \equiv \frac{1}{2n+1} \sum_{j=1}^{2n+1} y_j + \frac{2}{2n+1} \sum_{k=1}^n \left\{ \left[ \sum_{j=1}^{2n+1} y_j \cos k\,x_j \right]\cos k \, x+ \left[ \sum_{j=1}^{2n+1} y_j \sin k\,x_j \right]\sin k \, x \right\} \ ; $$ что и доказывает теорему. ♦
Источник.
Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. Минск. Вышэйшая школа. 1968.