Основное
Вспомогательная страница к разделу ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Теорема. Если числа $ \{\lambda_1,\dots, \lambda_{2n} \} $ при $ \{ \mathfrak{Re} (\lambda_k)\}_{k=1}^{2n} \subset [0,2\pi[ $ — корни тригонометрического полинома
$$ g_n(x) = a_0+\sum_{k=1}^n (a_k\cos k\,x + b_k\sin k\,x) \ , $$ у которого старшие коэффициенты удовлетворяют условиям $ a_n+ \mathbf i b_n \ne 0, a_n- \mathbf i b_n \ne 0 $, то этот полином можно представить в виде $$ g_n(x) \equiv A \prod_{k=1}^{2n} \sin \frac{x-\lambda_k}{2} \ npu \ A=\pm 2^{2n-1}\sqrt{a_n^2+b_n^2} \ . $$
Теорема. Имеет место тождество:
$$ \sin \, nx \equiv 2^{n-1} \prod_{j=0}^{n-1} \sin\left(x-\frac{\pi j}{n} \right) \equiv 2^{n-1} \sin \, x \sin \left(x-\frac{\pi}{n}\right) \sin \left(x-\frac{2\pi}{n} \right)\times \dots \times \sin \left(x-\frac{(n-1)\pi}{n} \right) \ . $$
Доказательство. Функция $ \sin \, nx $ является тригонометрическим полиномом порядка $ n_{} $ и имеет корни $$ 0, \frac{\pi}{n}, \frac{2\pi}{n},\dots, \frac{(n-1)\pi}{n}, \pi, \pi+ \frac{\pi}{n}, \pi+ 2\frac{\pi}{n},\dots, \pi+ \frac{(n-1)\pi}{n} $$ расположенные на интервале $ [0, 2\pi[ $. Следовательно, на основании предыдущей теоремы, она может быть представлена в виде произведения $$ \begin{matrix} \sin \, nx \equiv & 2^{2n-1}& \sin \,\frac{x}{2} \quad \sin \frac{x-\frac{\pi}{n}}{2} \times \dots \times \sin \frac{x-\frac{(n-1)\pi}{n}}{2} \times \\ &\times& \sin \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi}{2} \right) \sin \left( \frac{x- \frac{\pi}{n}}{2} -\frac{\pi}{2} \right)\times \dots \times \sin \left(\frac{x- \frac{(n-1)\pi}{n}}{2} -\frac{\pi}{2} \right) \ . \end{matrix} $$ Объединяем стоящие друг под другом синусы: $$ \sin \,\frac{x}{2} \sin \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi}{2} \right) = - \sin \,\frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}=-\frac{1}{2} \sin x \ ; $$ $$ \sin \frac{x-\frac{\pi}{n}}{2} \sin \left( \frac{x- \frac{\pi}{n}}{2} -\frac{\pi}{2} \right)= -\frac{1}{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{n} \right), \dots , $$ и получаем требуемый результат. ♦