Основное
Указатель — Разделы— Обозначения — Автор — О проекте
Вспомогательная страница к разделу ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Задача. Доказать, что функция $$ \begin{matrix} g_n(x)&=&y_1\frac{\displaystyle \sin\frac{x-x_2}{2}\times\dots \times\sin \frac{x-x_{2n+1}}{2}}{\displaystyle \sin \frac{x_1-x_2}{2}\times \dots \times \sin \frac{x_1-x_{2n+1}}{2}} + \\ &+&y_2\frac{\displaystyle \sin\frac{x-x_1}{2}\sin\frac{x-x_3}{2}\times \dots \times \sin\frac{x-x_{2n+1}}{2}}{\displaystyle \sin\frac{x_2-x_1}{2}\sin\frac{x_2-x_3}{2}\times \dots \times \sin\frac{x_2-x_{2n+1}}{2}} + \\ & + & \dots + \\ &+& y_{2n+1}\frac{\displaystyle \sin \frac{x-x_1}{2} \times \dots \times \sin \frac{x-x_{2n}}{2}}{ \displaystyle \sin \frac{x_{2n+1}-x_1}{2} \times \dots \times \sin \frac{x_{2n+1}-x_{2n}}{2}} \end{matrix} $$ является тригонометрическим полиномом, т.е. допускает представление вида $$ a_0 + \sum_{k=1}^n (a_k \cos \, kx + b_k \sin \, kx) \ .$$
Доказательство проводится посредством предварительного преобразования каждого слагаемого $ g_n(x) $ в выражение вида $$ A_0+ \sum_{k=1}^n A_k \cos \, (kx + \beta_k) $$ при величинах $ A_0,\{A_k,\beta_k\}_{k=1}^n $ не зависящих от $ x_{} $.
Теорема. Имеет место формула приведения для произведения синусов $$ \prod_{k=1}^{2n} \sin \frac{x-x_k}{2} = $$ $$=\frac{1}{2^{2n-1}}\bigg[ \frac{1}{2} \sum_{j_1,j_2,\dots,j_n=1}^{2n} \cos \frac{1}{2}(x_{j_1}+x_{j_2}+\dots +x_{j_n}-x_{j_{n+1}}-\dots-x_{j_{2n}})+ $$ $$+\sum_{\ell=1}^n(-1)^{\ell} \sum_{j_1,j_2,\dots,j_{n-\ell}=1}^{2n} \cos \frac{1}{2} (2\ell x + x_{j_1}+x_{j_2}+\dots +x_{j_{n-\ell}}-x_{j_{n-\ell+1}}-\dots-x_{j_{2n}}) \bigg] \ ; $$ здесь сумма $ \displaystyle \sum_{j_1,j_2,\dots,j_{n-\ell}=1}^{2n} $ берется по всем сочетаниям из $ 2\,n_{} $ чисел $ 1,2,\dots,2n $ по $ n-\ell $ из этих чисел, а числа $ j_{n-\ell+1},\dots, j_{2n} $ берутся из разности множеств $$ \{1,2,\dots,2n\} \setminus \{j_1,j_2,\dots,j_{n-\ell}\} \ . $$
Пример. $$ \sin \frac{x-x_1}{2} \sin \frac{x-x_2}{2} \equiv \frac{1}{2} \cos \frac{x_2-x_1}{2} - \frac{1}{2} \cos \left(x-\frac{x_1+x_2}{2}\right) ; $$ $$ \sin \frac{x-x_1}{2} \sin \frac{x-x_2}{2} \sin \frac{x-x_3}{2} \sin \frac{x-x_4}{2} \equiv $$ $$\equiv \frac{1}{8} \bigg[ \cos \frac{x_1+x_2-x_3-x_4}{2}+\cos \frac{x_1+x_3-x_2-x_4}{2}+\cos\frac{x_1+x_4-x_2-x_3}{2}- $$ $$ - \cos \left( x+\frac{x_1-x_2-x_3-x_4}{2}\right)-\cos \left( x+\frac{x_2-x_1-x_3-x_4}{2}\right)-\cos \left( x+\frac{x_3-x_1-x_2-x_4}{2}\right)-\cos \left( x+\frac{x_4-x_1-x_2-x_3}{2}\right)+ $$ $$ +\cos \left( 2\,x-\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{2} \right)\bigg] \ . $$
Источник
Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. Минск. Вышэйшая школа. 1968.