VMath

Указатель — Разделы— Обозначения — Автор — О проекте

Вспомогательная страница к разделу ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Теорема. Тригонометрический полином $ n_{} $-го порядка, у которого старшие коэффициенты $ a_{n} $ и $ b_n $ удовлетворяют условиям $ a_n+ \mathbf i b_n \ne 0, a_n- \mathbf i b_n \ne 0 $, имеет в точности $ 2n $ комплексных корней с учетом их кратностей.

Доказательство. Тригонометрический полином от переменной $ x_{} $ $$ \begin{matrix} g_n(x)=a_0 & + & a_1 \cos x + a_2 \cos 2x+\dots + a_n \cos nx + \\ \ &+&b_1 \sin x + b_2 \sin 2x+\dots + b_n \sin nx \end{matrix} $$ можно заменой переменной $ z=e^{\mathbf i x} $ перевести в алгебраический полином $$ g_n(x) \equiv z^{-n} G_{2n} (z) $$ при $$G_{2n}=\underbrace{\frac{a_n+\mathbf i b_n}{2}}_{u_0}+\underbrace{\frac{a_{n-1}+\mathbf i b_{n-1}}{2}}_{u_1}z+\dots+\underbrace{\frac{a_1+\mathbf i b_1}{2}}_{u_{n-1}}z^{n-1}+ \underbrace{a_0}_{u_0}z^n+\underbrace{\frac{a_1-\mathbf i b_1}{2}}_{u_{n+1}}z^{n+1}+\dots+\underbrace{\frac{a_{n-1}-\mathbf i b_{n-1}}{2}}_{u_{2n-1}}z^{2n-1} + \underbrace{\frac{a_n-\mathbf i b_n}{2}}_{u_{2n}}z^{2n} \ . $$ По условию теоремы, старший коэффициент полинома $ G_{2n} $ отличен от нуля, следовательно, по основной теореме высшей алгебры, такой полином имеет $ 2n $ корней с учетом их кратностей. Из условий теоремы также следует, что и свободный член полинома $ G_{2n} $ отличен от нуля, т.е. ни один из корней полинома не равен нулю. Каждому корню $ z_{*} $ полинома $ G_{2n}(z) $ соответствует корень полинома $ g_n(x) $: $ x_{*}=\frac{1}{\mathbf i} \ln\, z_{*} $ при $ 0 \le \mathfrak{Re}\, x_{*}< 2\pi $. Совпадение кратностей этих корней у соответствующих полиномов следует из правила дифференцирования произведения $$ \frac{d^{\ell}\, G_{2n}(z)}{d\, z^{\ell}} = e^{\mathbf i (n-\ell)x} \sum_{s=0}^{\ell} q_s^{(\ell)} \frac{d^s\, g_n(x)}{d\, x^s} \quad , \quad \frac{d^{\ell}\, g_n(x)}{d\, x^{\ell}} = \sum_{s=0}^{\ell} c_s^{(\ell)}z^{-n+s} \frac{d^s\, G_{2n}(z)}{d\, z^s} ; $$ здесь коэффициенты $ q_s^{(\ell)}, c_s^{(\ell)} $ не зависят от $ x_{} $ и $ z_{} $. Количества последовательных производных, обращающихся в нуль на корнях $ z_{*} $ и $ x_{*} $, совпадают и, следовательно (см. ☞ ЗДЕСЬ ), кратности корней одинаковы. ♦

Источники

Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. М.Наука. 1978. Часть 2, отдел 6, сс. 85-90.

Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. Минск. Вышэйшая школа. 1968.