Вспомогательная страница к пункту ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ СИММЕТРИЧНОЙ МАТРИЦЫ.

Теорема. Если $ \lambda_{\max} $ — максимальное, а $ \lambda_{\min} $ — минимальное собственные числа симметричной матрицы $ A \in \mathbb R^{n\times n} $, то

$$ \max_{X \in \mathbb R^n \setminus \mathbb O} \frac{X^{^{\top}}A X}{X^{^{\top}}X} =\lambda_{\max}, \qquad \min_{X \in \mathbb R^n \setminus \mathbb O} \frac{X^{^{\top}}A X}{X^{^{\top}}X} =\lambda_{\min} \, . $$ Указанные экстремумы достигаются на соответствующих собственных векторах матрицы $ A $.

Доказательство. Перенумеруем собственные числа симметричной матрицы $ \mathbf A \in \mathbb R^{n\times n} $ в порядке неубывания: $$ \lambda_1 \le \lambda_2 \le \dots \le \lambda_n \, ; $$ пусть ортонормированный базис $ \mathbb R^n $ состоит из соответствующих собственных векторов $$ \{\mathfrak X_1, \mathfrak X_2,\dots, \mathfrak X_n \} \, . $$ Замена переменных $$ X=PY , $$ с ортогональной матрицей $$ P:=\left[\mathfrak X_1, \mathfrak X_2,\dots, \mathfrak X_n \right] $$ приводит квадратичную форму $ X^{^{\top}}A X $ к сумме квадратов $$ X^{^{\top}}A X=Y^{^{\top}}P^{^{\top}} A P Y =\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\dots + \lambda_n y_n^2 \ , $$ в то время как знаменатель дроби своей формы не меняет: $$ X^{^{\top}}X=Y^{^{\top}}P^{^{\top}} P Y =y_1^2+y_2^2+\dots + y_n^2 \, . $$ Таким образом, $$ \frac{X^{^{\top}}A X}{X^{^{\top}}X}=\frac{\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\dots + \lambda_n y_n^2 }{y_1^2+y_2^2+\dots + y_n^2} \, . $$ Дробь в правой части равенства допускает механическую интерпретацию. Если в точках оси вещественных чисел с координатами $ \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n $ поместить соответствующие массы $ y_1^2, y_2^2,\dots,y_n^2 $, то эта дробь дает координаты центра масс. Последний, очевидно, лежит между крайними точками материальной системы: $$ \lambda_1 \le \frac{\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\dots + \lambda_n y_n^2 }{y_1^2+y_2^2+\dots + y_n^2} \le \lambda_n \quad \mbox{для} \ \forall Y\in \mathbb R^n . $$ Поскольку $$ \mathfrak X_j^{^{\top}}A \mathfrak X_j = \lambda_j \mathfrak X_j^{^{\top}} \mathfrak X_j , $$ обе границы неравенства достигаются на соответствующих собственных векторах. ♦

Источник