1. Построить систему л.у., для которой строки $ (1,1,1,1) $ и $ (0,1,-1,1) $ составляют фундаментальную систему решений.

2. Пусть $ P_{} $ — ортогональная матрица порядка $ n_{} $ и $ P^{[1]},P^{[2]},\dots, P^{[n]} $ — ее строки. Выберем произвольным образом $ k<n $ строк и составим систему однородных л.у. $$ P^{[j_1]}X=0,\dots, P^{[j_k]}X=0 \ . $$ Показать, что оставшиеся строки составляют фундаментальную систему решений для этой системы.

3. Найти общее решение системы л.у. $$ \left(\begin{array}{cccccc} 430 & 150 & 28 & 14 & 6 & 1\\ 645 & 200 & 30 & 15 & 4 & 0\\ -15 & 10 & 6 & 3 & 2 & 0\\ 1150 & 370 & 60 & 30 & 10 & 1\\ 135& 50 & 10 & 5 & 2 & 0\\ 70 & 40 & 12 & 6 & 4 & 1 \end{array} \right)\cdot X = \left(\begin{array}{r} 3 \\ 2 \\ 1 \\ 5 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \ . $$

4. Решить систему л.у. по формулам Крамера: $$ \left\{ \begin{array}{rrrrrrrrc} -3\,x_1&+x_2& & & & & & &=1, \\ 2\,x_1 &-3\,x_2 & +x_3 & & & & & &=0, \\ & 2\,x_2 & -3\,x_3 & + x_4 & &&& & = 0, \\ & & & \ddots & & & & & \vdots \\ & & & & & 2\,x_{n-2}&-3\,x_{n-1}& + x_n & = 0, \\ & & & & & & 2\,x_{n-1}&-3\,x_{n}&=0. \end{array} \right. $$

5. Найти все значения параметра $ \color{Red}{\alpha} $, при которых система л.у. $$ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & \color{Red}{\alpha} & 1 \\ 4 & 9 & {\color{Red}{\alpha}}^2 & 1 \\ 8 & 27 & {\color{Red}{\alpha}}^3 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\, \color{Red}{\alpha} \\ 4 {\color{Red}{\alpha}}^2 \\ 8\, {\color{Red}{\alpha}}^3 \end{array} \right) $$ будет несовместной.

6. Найти ФСР для системы уравнений $$ \left\{ \begin{array}{rrrrrrr} 5x_1&+6x_2&-2x_3&+7x_4&+4x_5&=&0, \\ 2x_1&+3x_2&-x_3&+4x_4&+2x_5&=&0, \\ 7x_1&+9x_2&-3x_3&+5x_4&+6x_5&=&0, \\ 5x_1&+9x_2&-3x_3&+x_4&+6x_5&=&0. \end{array} \right. $$

7. Найти необходимое условие существования одинакового решения у двух систем линейных уравнений $$ A_1X= \mathcal B \quad \mbox{и} \quad A_2X= \mathcal B \quad \mbox{при} \ \mathcal B \in \mathbb C^n, \mathcal B \ne \mathbb O \ ,\ \{A_1,A_2\} \subset \mathbb C^{n\times n} \, . $$