Пример 1 (По мотивам [1] стр. 11) Докажите, что среди целых неотрицательных чисел, меньших числа 2022, нет других корней уравнения

$$(x+1)(x-14)(x-1983)(x-4321)=0, $$

кроме чисел 14 и 1983.

Пример 2 ([2] стр. 17) Докажите, что числа $ \ell^3 -3 $ ни при каком целом $ \ell $ не делятся на 7.

Пример 3 ([1] стр. 12) В 1742 г. российский математик Христиан Гольдбах выдвинул гипотезу: всякое натуральное число $ n $, начиная с шести, есть сумма трех простых чисел.

Для очень больших нечетных чисел гипотеза верна: в 1937 г. И.М. Виноградов доказал для нечетных $ n > n_0 $, где $n_0 = 3^{14348907} $ – более шести с половиной миллионов знаков.

В 1989 г. Ван и Чен: $ n_0 $ – 43 тысячи десятичных знаков.

Пример 4 ([2] стр. 4) На данной прямой найти точку, наименее удаленную от заданной точки вне прямой.

см. Пример 4.

Пример 5 про дни рождения.

Если имеется $ n $ ящиков, в которых находится в общей сложности по меньшей мере $ n+1 $ предметов, то непременно найдется ящик, в котором лежат по меньшей мере два предмета. ([1] стр. 14)

Пример 6 ([1] стр. 17) Иррациональность квадратного корня из двух.

Пусть $ r $ – рациональное число такое, что $ r^2=2 $. Справедливо представление $ r=\dfrac{m}{n} $, где дробь несократима (см. Пример 7). Следовательно, $ m^2=2 n^2 $, $ m $ – четное число, $ m=2k $, $ (2k)^2=2n^2 $, $ 2 k^2 = n^2 $, $ n $ – четное, противоречие.

В любом непустом конечном множестве натуральных чисел найдется наибольшее число.

В любом непустом множестве натуральных чисел существует наименьшее число. Вторая формулировка: не существует бесконечно убывающей последовательности натуральных чисел. ([1] стр. 19)

Пример 7 ([1] стр. 20) Доказать, что среди всех равных друг другу дробей найдется несократимая дробь.

Предположим, что в нашем множестве дробей нет несократимой. Возьмем произвольную дробь из этого множества и сократим ее. Полученную дробь тоже сократим, и так далее. Знаменатели дробей будут уменьшатся, и возникает бесконечная убывающая последовательность натуральных чисел. Противоречие.

Вариант метода «от противного», когда возникающее противоречие состоит в проявлении бесконечной последовательности убывающих натуральных чисел, называется методом бесконечного спуска .

Пример 8 ([1] стр. 28) Равенство Ададурова (рос. математик 18 века Василий Евдокимович Ададуров) $$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1+2+3+ \dots + n)^2. $$

Индукция – переход от частных формулировок к формулировке универсальной. ([1] стр. 35)

ММИ – метод полной индукции.

Метод неполной индукции – переход к универсальной формулировке после проверки частных формулировок (гипотеза). В математике не действует, используется в естественных науках.

Пример 9 ([1] стр. 37) Числа Ферма $ 2^{2^n}+1 $.

17 в. Пьер Ферма для $ n=0, \dots, 4 $ – числа Ферма простые.

18 в. Леонард Эйлер $ 2^{2^5} +1 = 641 \cdot 6700417 $.

Неизвестно, существуют ли еще простые числа Ферма. (Вспомним Пример 3.)

Первая попытка – Евклид в III веке до н.э.

Выбираются основные положения (аксиомы) теории, которые принимаются без доказательств, все остальные положения (теоремы) выводятся логическими рассуждениями. В аксиомах вместо определений основных понятий формулируются их главные свойства. ([1], стр. 43)

Перечисляются исходные понятия и разрешенные способы рассуждения.