I. Интеграл вида \begin{equation} I=\int\limits_0^{2\pi}R(\cos{x},\sin{x})\,dx, \end{equation} где $R(u,v)$ - рациональная функция двух переменных, вычисляется с помощью подстановки $$z=e^{\mathbf i x}.$$ Тогда $$ \cos{x}=\frac12\left(e^{\mathbf i x}+e^{-\mathbf i x}\right)=\dfrac12\left(z+\dfrac1z\right), $$ $$ \sin{x}= \frac{1}{2\mathbf i}\left(e^{\mathbf i x}-e^{-\mathbf i x}\right)=\dfrac{1}{2\mathbf i}\left(z-\dfrac1z\right), $$ $$ dz=\mathbf ie^{\mathbf i x}dx=\mathbf i z dx,\quad\hbox{откуда}\quad dx=\dfrac{dz}{\mathbf i z}. $$ и вещественный интеграл переходит в комплексный. При изменении $x$ от $0$ до $2\pi$ комплексная переменная пробегает замкнутый контур — окружность $|z|=1$ в положительном направлении. Окончательно интеграл принимает вид $$ I=\frac{1}{\mathbf i}\oint\limits_{|z|=1}F\left(z+\frac1z,z-\frac1z\right) \frac{dz}{z}\,. $$

Пример 1

Вычислить интеграл $$ I=\int\limits_0^{2\pi}\frac{\cos{x}+1}{\sin {x}+2}\,dx. $$

Р е ш е н и е.
Положим $e^{\mathbf i x}=z$. При изменении $x$ от 0 до $2\pi$ переменная $z$ пробегает окружность $|z|=1$ в положительном направлении. Выразим $$ \cos x=\frac{z^2+1}{2z}, \quad \sin x=\frac{z^2-1}{2\mathbf i z}, \quad dx=\frac{dz}{\mathbf i z}. $$ Тогда $$ I=\oint\limits_{|z|=1}\frac{z^2+2z+1}{z\left(z^2+4\mathbf i z-1\right)} dz. $$

Корни знаменателя $$ z_1=(-2+\sqrt{3})\mathbf i, \,\, z_2=(-2-\sqrt{3})\mathbf i, \,\, z_3=0 $$ являются простыми полюсами. При этом $z_1$ и $z_3$ лежат внутри круга $|z|<1$. Тогда интеграл равен $$ I=2\pi \mathbf i\left(\mbox{Res }f(z_1)+\mbox{Res }f(z_3)\right). $$ Найдем вычеты в простых полюсах $z_1$ и $z_3$ по формуле $$ \mbox{Res }f(z_0)=\lim\limits_{z\to z_0} \Big(f(z)(z-z_0)\Big). $$

$$ \mbox{Res }f((-2+\sqrt{3})\mathbf i)=1-\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf i, \quad \mbox{Res }f(0)=-1. $$ Исходный интеграл равен $$ I=2\pi \mathbf i\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf i-1\right)=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}. $$

О т в е т: $\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}}$.

II. Несобственный интеграл от рациональной функции \begin{equation} I=\int\limits_{-\infty}^\infty R(x)\,dx, \end{equation} где $R(x)=P_m(x)/Q_n(x)$, $P_m(x)$ и $Q_n(x)$ — многочлены степеней $m$ и $n$ соответственно.

Если знаменатель $Q_n(x)$ не имеет нулей на действительной оси, $n\geqslant m+2$, тогда \begin{equation*} \int\limits_{-\infty}^\infty R(x)\,dx = 2\pi \mathbf i \sum\limits_{k=1}^n \mbox{Res }R(z_k), \end{equation*} где вычеты берутся во всех полюсах $z_k$ функции $R(z)$, расположенных в верхней полуплоскости $\mbox{Im }z_k>0$.

Пример 2

Вычислить интеграл $ I=\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^4+1}.$

Р е ш е н и е.
Аналитическое продолжение подынтегральной функции в верхнюю полуплоскость, а именно функция $$ f(z)=\frac1{z^4+1}, $$ удовлетворяет всем условиям, относящимся к вычислению интегралов с помощью вычетов. Особыми точками функции в верхней полуплоскости являются точки $$ z_1=e^{\tfrac{\pi}4\mathbf i},\quad z_2=e^{\tfrac{3\pi}4\mathbf i }, $$ причем обе эти точки~— полюсы 1-го порядка. Здесь вычеты в простых полюсах удобно найти по формуле: $$ \mbox{Res }f(z_0)=\frac{g(z_0)}{\varphi'(z_0)}. $$ $$ \mbox{Res }f(e^{\tfrac{\pi}4\mathbf i})=\frac{1}{4e^{\tfrac{3\pi}4\mathbf i}}= \frac{\sqrt{2}(-1-\mathbf i)}{8}. $$ $$ \mbox{Res }f(e^{\tfrac{3\pi}4\mathbf i})=\frac{1}{4e^{\tfrac{9\pi}4\mathbf i}}= \frac{\sqrt{2}(1-\mathbf i)}{8}. $$ Поэтому $$ I=2\pi \mathbf i\sum\limits_{k=1}^2 \mbox{Res }f(z_k)=\frac{\pi\sqrt2}2. $$

О т в е т: $\frac{\pi\sqrt2}{2}$.

III. Несобственные интегралы вида \begin{equation} I=\int\limits_{-\infty}^\infty R(x)\cos{\lambda x}\,dx, \,\, I=\int\limits_{-\infty}^\infty R(x)\sin{\lambda x}\,dx, \end{equation} где $R(x)=P_m(x)/Q_n(x)$ — правильная рациональная дробь, не имеющая особых точек на действительной оси, вычисляются с помощью леммы Жордана.

Используя лемму Жордана, получим формулу для вычисления интегралов третьего вида: \begin{equation*} \int\limits_{-\infty}^\infty R(x)\cos{\lambda x}\,dx = \mbox{Re }\left( 2\pi \mathbf i \sum\limits_{k} \mbox{Res } R(z_k)e^{\mathbf i \lambda z_k}\right), \end{equation*} \begin{equation*} \int\limits_{-\infty}^\infty R(x)\sin{\lambda x}\,dx = \mbox{Im }\left( 2\pi \mathbf i \sum\limits_{k} \mbox{Res }R(z_k)e^{\mathbf i \lambda z_k}\right), \end{equation*} где вычеты берутся во всех полюсах $z_k$ функции $R(z)e^{\mathbf i\lambda z}$, расположенных в верхней полуплоскости $\mbox{Im }z_k>0$.

Пример

Вычислить интеграл $$ I=\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\cos\alpha x}{x^2+a^2}\,dx,\, a>0,\ \alpha>0.$$

Р е ш е н и е.
Чтобы иметь возможность воспользоваться леммой Жордана, заметим, что в силу формулы Эйлера $$ I=\mbox{Re }I_1 =\mbox{Re}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{e^{\mathbf i \alpha x}} {x^2+a^2}\,dx. $$

Аналитическое продолжение подынтегральной функции интеграла $I_1$ — функция $\dfrac{e^{\mathbf i \alpha z}}{z^2+a^2}$ имеет в верхней полуплоскости единственную особую точку $z_1=\mathbf i a$, являющуюся простым полюсом. Поэтому по основной теореме о вычетах $$ I_1=2\pi \mathbf i \, \mbox{Res }\left(\frac{e^{\mathbf i \alpha z}}{z^2+a^2}\Big|_{z=\mathbf i a} \right)=\frac\pi{a}e^{-\alpha a} $$ и $$ I=\mbox{Re }I_1=\frac\pi{a}e^{-\alpha a}. $$

О т в е т: $\frac\pi{a}e^{-\alpha a}$.

Пусть функции $f(z)$ и $\varphi(z)$ являются аналитическими в замкнутой области $D$, причем на границе $L$ этой области имеет место неравенство: $$|f(z)|>|\varphi(z)|, \,\, z\in L.$$ Тогда полное число нулей (с учетом их кратности) в $D$ функции $F(z)=f(z)+\varphi(z)$ равно полному числу нулей (с учетом их кратности) функции $f(z)$.

Пример 1

Найти число нулей функции $F(z)=z^8-4z^5+z^2-1$ в единичном круге.

Разобьем функцию $F(z)$ на сумму $f(z)+ \varphi(z)$ следующим образом: $$f(z)=-4z^5, \,\, \varphi(z)=z^8+z^2-1.$$ На границе $L$ единичного круга $|z|=1$ имеем: $$ |f(z)=|-4z^5|=4|z|^5=4, \,\, |\varphi(z)|\leqslant|z|^8+|z|^2+1=3 \,\, \Rightarrow $$ $$ |f(z)|>|\varphi(z)|\,\, \mbox{при} \,\, |z|=1. $$ Выполнены все условия теоремы Руше, следовательно число корней $f(z)$ и $F(z)$ в области $|z|<1$ совпадают. Функция $f(z)$ в области $|z|<1$ имеет корень $z=0$ кратности $5$.

Значит, $F(z)=f(z)+\varphi(z)=z^8-4z^5+z^2-1$ имеет пять нулей в единичном круге.

Пример 2

Найти число корней уравнения $z^4-8z+10=0$ в

• a) $|z|<1$,
• б) $1<|z|<3$.

a) $|z|<1$.

Пусть $F(z)=f(z)+\varphi(z)$, где $$f(z)=10, \,\, \varphi(z)=z^4-8z.$$ На границе $C$ единичного круга $|z|=1$ имеем: $$ |f(z)|=10, \,\, |\varphi(z)|\leqslant|z|^4+8|z|=9 \,\, \Rightarrow \,\, |f(z)|>|\varphi(z)|. $$ Выполнены все условия теоремы Руше, следовательно число корней $f(z)$ и $F(z)$ в области $|z|<1$ совпадают. Функция $f(z)$ в области $|z|<1$ не имеет нулей, следовательно уравнение $F(z)=0$ не имеет корней в единичном круге.

б) $1<|z|<3$.

Найдем число корней $N_1$ в области $|z|<1$ и число корней $N_2$ в области $|z|<3$. Тогда число корней в кольце 1<|z|<3 будет равно $N=N_2-N_1$.

$N_1=0$ (найдено в пункте а)).

Для круга $|z|<3$ выберем другие $f(z)$ и $\varphi(z)$: $$ f(z)=z^4, \,\, \varphi(z)=-8z+10. $$ $$ |z|=3: \,\, |f(z)|=3^4=81, \,\, |\varphi(z)|\leqslant8\cdot3+10=34 < |f(z)|. $$ Функция $f(z)$ в области $|z|<3$ имеет корень $z=0$ кратности $4$, следовательно $F(z)=f(z)+\varphi(z)$ имеет четыре нуля в области $|z|<3$, то есть $N_2=4$.

В кольце $1<|z|<3$ уравнение $z^4-8z+10=0$ имеет четыре корня: $$N=N_2-N_1=4-0=4.$$