Рассмотрим последовательность комплексных чисел $\{a_k\}$ и составим из них ряд \begin{equation} \sum\limits_{k=1}^\infty a_k=a_1+a_2+\dots+a_n+\dots \end{equation}

Число $S_n=a_1+a_2+\dots+a_n$ будем называть частичной суммой этого ряда.

Ряд будем называть сходящимся, если последовательность $\{S_n\}$ его частичных сумм сходится, то есть стремится к конечном пределу: $$ \lim_{n\to\infty} S_n=S. $$ $S$ называют суммой ряда.

Если последовательность $\{S_n\}$ стремится к бесконечно удаленной точке или не стремится ни к какому пределу, то ряд будем называть расходящимся.

$R_n=\sum\limits_{k=n+1}^\infty a_k$ называют остатком ряда.

$ S=S_n+R_n $ для сходящегося ряда.

$R_n=S-S_n\to0$ при $n\to\infty$ для сходящегося ряда.

Пусть $a_k=x_k+\mathbf i y_k$ и $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k=\sum\limits_{k=1}^\infty x_k+\mathbf i \sum\limits_{k=1}^\infty y_k$.

Сходимость ряда $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$ равносильна одновременной сходимости рядов $\sum\limits_{k=1}^\infty x_k$ и $\sum\limits_{k=1}^\infty y_k$.

Если сходится ряд $ \sum\limits_{k=1}^\infty |a_k|$, то сходится и ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$ и он называется абсолютно сходящимся.

Необходимый признак сходимости.

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=0. $$

Признак Даламбера для абсолютно сходящихся рядов.

Если существует $$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=p,$$ то при $p<1$ ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty |a_k|$ сходится, а при $p>1$ расходится.

Признак Коши для абсолютно сходящихся рядов.

Если существует $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=q,$$ то при $q<1$ ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty |a_k|$ сходится, а при $q>1$ расходится.

Пусть в некоторой области $D$ определена бесконечная последовательность однозначных функций $\{f_k(z)\}$. Образуем функциональный ряд \begin{equation} \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)=f_1(z)+f_2(z)+\dots+f_n(z)+\dots \end{equation}

Частичная сумма этого ряда будет функцией $S_n(z)=f_1(z)+f_2(z)+\dots+f_n(z)$.

Если в каждой точке $z_0$ области $D$ ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)$ обращается в сходящийся числовой ряд, то говорят, что ряд сходится в области $D$ и его сумма $$ S(z)=\lim_{n\to\infty} S_n(z).$$

Если ряд сходится в области $D$, то в каждой точке этой области последовательность остатков стремится к $0$: $$ \lim_{n\to\infty}R_n(z)=\lim_{n\to\infty}(S(z)-S_n(z))=0. $$

Ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)$, сходящийся в области $D$, называется равномерно сходящимся в этой области, если для любого $\varepsilon>0$ можно указать такой номер $N(\varepsilon)$, что при $n>N(\varepsilon)$ будет выполняться $|R_n(z)|<\varepsilon$ одновременно для всех $z$ из области $D$.

Признак Вейрштрасса (достаточный признак равномерной сходимости).

Если в каждой точке $z$ области $D$ модули $|f_k(z)|$ не превосходят (мажорированы) соответствующих элементов какого-нибудь сходящегося числового ряда $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$, то функциональный ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)$ сходится равномерно в $D$.

1. Сумма $S(z)$ функционального ряда $\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)$, равномерно сходящегося в $D$, непрерывна в области $D$, если $f_k(z)$ являются непрерывными в $D$ функциями.

2. Равномерно сходящийся в $D$ функциональный ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)$, составленный из непрерывных функций, можно интегрировать почленно вдоль любой кривой $\ell$, принадлежащей области $D$: $$ \int\limits_{\ell}S(z)\,dz = \sum\limits_{k=1}^\infty \int\limits_{\ell}f_k(z)\,dz. $$

3. Теорема Вейштрасса. Пусть $f_k(z)$ являются аналитическими в области $D$ функциями и ряд сходится равномерно в любой области $\bar{D}_1\in D$ к функции $S(z)$. Тогда $S(z)$ также аналитична в области $D$ и ее производные можно получить почленными дифференцированием ряда: $$ \frac{\mbox{d}^nS(z)}{\mbox{dz}^n}=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\mbox{d}^n\,f_k(z)}{\mbox{dz}^n}. $$

Функциональный ряд вида \begin{equation} \sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n=c_0+c_1(z-z_0)+c_2(z-z_0)^2+ \ldots+c_n(z-z_0)^n+\dots\ , \end{equation} где $c_n$ — комплексные постоянные (коэффициенты ряда), называется степенным.

Теорема Абеля.

Если степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n$ сходится в точке $z_1\neq z_0$, то он абсолютно сходится внутри круга: $|z-z_0|<|z_1-z_0|$, причем во всяком круге $|z-z_0|\leqslant\rho<|z_1-z_0|$ ряд сходится равномерно.

Если степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n$ расходится в некоторой точке $z_2\neq z_0$, то он расходится в $|z-z_0|>|z_2-z_0|$.

Областью сходимости степенного ряда называется внутренность круга $|z-z_0|<R$ (на окружности ряд может сходиться, а может и расходиться).

Радиус сходимости $R$ можно определить, пользуясь признаками Даламбера или Коши: $$ R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|\quad \hbox{или}\quad R=\lim\limits_{n\to\infty}\frac1{\sqrt[n]{|c_n|}}. $$

Степенной ряд в круге сходимости:
- сходится к аналитической функции;
- можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Один из видов степенного ряда — ряд Тейлора $$ f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n,\quad c_n=\frac1{n!}f^{(n)}(z_0). $$

Кругом сходимости этого ряда является круг $|z-z_0|<R$. Как и всякий степенной ряд, ряд Тейлора внутри круга сходимости определяет некоторую аналитическую функцию.

Теорема Тейлора.

Функция $f(z)$, аналитическая внутри круга $|z-z_0|<R$, может быть представлена в этом круге сходящимся степенным рядом $$ f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n, $$ причем этот ряд определен однозначно.

1. $ e^z=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}=1+\frac{z}{1!}+ \frac{z^2}{2!}+\ldots+\frac{z^n}{n!}+\dots$, $R=\infty$;

2. $ \sin z=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}= z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\dots +(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} +\dots$, $R=\infty$;

3. $ \cos z=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}= 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots+(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}+ \dots$, $R=\infty$;

4. $\mbox{sh }z=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{z^{2n+1}}{(2n-1)!}=\frac{z}{1!}+ \frac{z^3}{3!}+\ldots+\frac{z^{2n+1}}{(2n-1)!}+\dots$, $R=\infty$;

5. $ \mbox{ch }z=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{z^{2n}}{(2n)!}=1+ \frac{z^2}{2!}+\ldots+\frac{z^{2n}}{(2n)!}+\dots$, $R=\infty$;

6. $ (1+z)^n=1+nz+\frac{n(n-1)}{2!}z^2+\dots +\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)} {k!}z^k+\dots$, $R=1$;

7. $ \ln(1+z)=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{z^n}{n}=\frac{z}{1} -\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\dots+(-1)^n\frac{z^n}{n}+\dots$, $R=1$.

Пусть первоначально функция $f_1(z)$ задана своим степенным рядом $$ f_1(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty z^n. $$ Этот ряд сходится внутри круга $|z|<1$ к аналитической функции $$ f_1(z)=\frac1{1-z}. $$ Всюду вне круга $|z|<1$ ряд расходится: следовательно, $f_1(z)$ не определена вне круга $|z|<1$.

Выберем некоторую точку $z_0$ внутри круга $|z|<1$ и построим разложение $f_1(z)$ в степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n$ с центром в этой точке. Вычислим коэффициенты $c_{n}$ по формуле $$ c_n=\frac{f^{(n)}(z_0 )}{n!}=\frac1{(1-z_0 )^{n+1}}. $$ Можно показать, что радиус сходимости данного ряда равен $|1-z_0|$.

Следовательно, функция $$ f_2(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(z-z_0)^n}{(1-z_0)^{n+1}} $$ является аналитическим продолжением функции $f_1(z)$ на область $|z-z_0|<|1-z_0|$.

Заметим, что степенной ряд, определяющий функцию $f_2(z)$, также легко суммируется, причем $f_2(z)=\dfrac1{1-z}$.

Далее, взяв в качестве нового центра разложения точку $z_1$ внутри круга $|z-z_0|<|1-z_0|$, получим ряд $$ \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(z-z_1 )^n}{(1-z_1)^{n+1}}, $$ сходящийся внутри круга $|z-z_1|< |1-z_1|$ к функции $f_3(z)=\dfrac1{1-z}$, совпадающей с $f_2(z)$ и $f_1(z)$ в общих частях круга $|z-z_1|<|1-z_1|$ и областей определения соответствующих функций.

Тем самым $f_3(z)$ является аналитическим продолжением $f_1(z)$ на новую область.

При любом выборе точки $z_1$ граница соответствующего круга сходимости пройдет через точку $z=1$.

Поступая аналогичным образом, можно построить аналитическое продолжение функции $f_1(z)$ на полную плоскость комплексной переменной, за исключением точки $z=1$. При этом аналитическим продолжением $f_1(z)$, полученным с помощью степенных рядов, является функция $$ F(z)=\frac1{1-z}, $$ определенная и аналитическая всюду, за исключением точки $z=1$.

Рассмотрим ряд, содержащий отрицательные степени $z-z_0$: $$ \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^{-n}=a_0+a_1(z-z_0)^{-1}+a_2(z-z_0)^{-2}+\ldots+a_n(z-z_0)^{-n}+\ldots. $$ Областью сходимости этого ряда является внешность круга: $$|z-z_0|>r.$$

Ряд, который содержит как целые неотрицательные степени, так и целые неположительные степени $(z-z_0)$, называется рядом Лорана и имеет вид: $$ \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n+\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{-n}(z-z_0)^{-n}=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^n= $$ $$ \ldots+ \frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}+\ldots+\frac{a_{-1}}{z-z_0}+ a_0+a_1(z-z_0)+\ldots+a_n(z-z_0)^n+\ldots. $$

Областью сходимости ряда Лорана является круговое кольцо $$r<|z-z_0|<R.$$

Часть ряда Лорана с коэффициентами $a_{-n}$ называется главной частью ряда Лорана, а с коэффициентами $a_n$ - правильной частью.

Кольцо $r<|z-z_0|<R$ может выродиться
в круг с выколотым центром: $0<|z-z_0|<R_2$
или во внешность круга с выколотой точкой $z=\infty$: $R_1<|z-z_0|<\infty$,
а также во всю плоскость с двумя выколотыми точками: $0<|z-z_0|<\infty$.

Теорема Лорана.

Всякая функция $f(z)$ однозначная и аналитическая в круговом кольце $r<|z-z_0|<R$, где $0 \leqslant r<R<\infty$, может быть единственным образом разложена в ряд Лорана: \begin{equation} f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}. \end{equation} Здесь \begin{equation}\label{eq g5 p4 2} c_n=\frac1{2\pi i}\oint\limits_\gamma\frac{f(t)} {(t-z_0)^{n+1}}\,dt,\quad n=0,\pm1,\pm2,\dots, \end{equation} а $\gamma$ - любая окружность $|t-z_0|=\rho$, $r<\rho <R$, ориентированная против часовой стрелки.

Пример 1.

Функция $$ f(z)=\frac1{(z-2)(z-3)} $$ аналитична на плоскости $z$, за исключением $z=2$ и $z=3$. Проведем через них окружности $|z|=2$, $|z|=3$. Данная функция аналитична в круге $|z|<2$, аналитична в кольце $2<|z|<3$ и аналитична вне круга $|z|>3$ и может быть в этих областях разложена в ряды. Разложим функцию в ряд Лорана в кольце $2<|z|<3$: $$ f(z)=\sum\limits_{-\infty}^\infty c_kz^k, $$ где $$ c_k=\frac1{2\pi i}\oint\limits_\gamma\frac{f(\varsigma)} {\varsigma^{k+1}}\,d\varsigma,\quad k=0,\pm1,\pm2,\dots\ . $$ Здесь $\gamma$ — окружность $|\varsigma|=\rho$, $2<\rho<3$, ориентированная против часовой стрелки.

На самом деле для вычисления $c_k$ не обязательно прибегать к таким сложным формулам. Иногда удобнее использовать представление разлагаемой функции в виде суммы функций, каждую из которых можно непосредственно представить в виде разложения по отрицательным или положительным степеням $z-z_0$.

Представим $$ f(z)=\frac1{(z-2)(z-3)}=\frac1{z-3}-\frac1{z-2} $$ и разложим каждое слагаемое по степеням $z$: $$ \begin{array}{l} \ \frac1{z-3}=\frac{-1}{3\left(1-\frac{z}3\right)}= -\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{z^k}{3^{k+1}}, \\ \frac1{z-2}=\frac1{z}\cdot\frac1{1-\frac2{z}}=\frac1{z} \left(1+\frac2{z}+\left(\frac2{z}\right)^2+\dots\right)= \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^{k-1}}{z^k}. \end{array} $$ Здесь использовалась формула для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Окончательно ряд Лорана этой функции имеет вид $$ f(z)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^{k-1}}{z^k}- \sum\limits_{k=0}^\infty\frac{z^k}{3^{k+1}}. $$

Разложение около другой точки даст другой вид ряда.

Пример 2.

Рассмотрим функцию $$ f(z)=\frac1{(z-1)(z-2)}. $$ Она имеет две особые точки $z=1$ и $z=2$ и, значит, в кольце $1<|z|<2$ является аналитической и разлагается в ряд Лорана. Найдем это разложение, представив функцию в виде суммы простейших дробей: $$ \frac1{(z-1)(z-2)}=\frac1{z-2}-\frac1{z-1}. $$ Дробь $1/(z-2)$ является аналитической функцией в круге $|z|<2$ и разлагается по положительным степеням аналогично ряду геометрической прогрессии: $$ -\frac12\cdot\frac1{1-\cfrac{z}2}=-\frac12\left( 1+\frac{z}2+\frac{z^2}{2^2}+\ldots+\frac{z^n}{2^n}+\ldots\right)= -\frac12\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{z}2\right)^n. $$ Дробь $-1/(z-1)$ является аналитической вне круга $|z|>1$ и разлагается по степеням $1/z$ также как сумма геометрической прогрессии: $$ \frac{-1}{z-1}=\!\frac{-1}{z\left(1-\cfrac1{z}\right)}= -\frac1z\left(1+\frac1z+\frac1{z^2}+\ldots+\frac1{z^n}+\ldots \right)=-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{z^n}. $$

Окончательно имеем $$ f(z)=-\frac12\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{z}2\right)^n -\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{z^n}=-\frac12 -\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{z^n}{2^n}+\frac1{z^n}\right). $$ Для этой функции можно получить и другие разложения в других областях. Так, например, в области $|z|<1$ она аналитична и разлагается в ряд Тейлора: $$ \frac1{(z-1)(z-2)}=-\frac1{z-1}+\frac1{z-2}=\frac1{1-z}-\frac12\cdot \frac1{1-\cfrac{z}2}= $$ $$ =1+z+z^2+\ldots+z^n+\ldots-\frac12\left(1+\frac{z}2+\frac{z^2}{2^2}+ \ldots+\frac{z^n}{2^n}+\ldots\right)= $$ $$ =\sum\limits_{n=0}^\infty\left(1-\frac1{2^{n+1}}\right)z^n. $$

Разложим ее в кольце $0<|z-1|<1$ (окрестность точки $z_0=1$) по степеням $z-1$: $$ f(z)=-\frac1{z-1}+\frac1{z-2}=-\frac1{z-1}-\frac1{1-(z-1)}= $$ $$ =-\frac1{z-1}-\sum\limits_{n=0}^\infty(z-1)^n= -\sum\limits_{n=-1}^\infty(z-1)^n. $$

Таким образом, для одной и той же функции можно получить различные разложения. Это не противоречит единственности разложения, ибо полученные ряды имеют место в различных областях.

Рассмотрим функцию $f(z)$ не равную тождественно нулю. Точка $z_0$ называется корнем, или нулем, функции $f(z)$, если $f(z_0)=0$.

Пусть $f(z)$ аналитична в точке $z_0$. Точка $z_0$ называется нулем порядка $m$ для аналитической функции $f(z)$, если разложение в степенной ряд функции $f(z)$ имеет вид $$ f(z)=\sum\limits_{k=m}^\infty c_k(z-z_0)^k,\quad c_{m}\ne0,\ m\ge 1. $$

Для того, чтобы число $z_0$ являлось нулем порядка $m$ функции $f(z)$, необходимо и достаточно, чтобы функция $f(z)$ делилась на $(z-z_0)^m$: $$ f(z)=(z-z_0)^m\,\varphi(z), \,\, \varphi(z_0)\neq0. $$

Точки, в которых функция $f(z)$ не является аналитической, называются особыми точками данной функции $f(z)$.

Особая точка $z_0$ функции $f(z)$ является изолированной особой точкой, если функция $f(z)$ аналитична в некотором кольце $0<|z-z_0|<R$, т.е. если в достаточно малой окрестности особой точки $z_0$ нет других особых точек.

Другими словами, для точки $z_0$ существует проколотая окрестность, в которой данная функция аналитична, но в самой точке $z_0$ функция $f(z)$ не определена или теряет аналитичность.

В зависимости от поведения функции $f(z)$ вблизи точки $z_0$ различают следующие три типа изолированных особых точек:

• устранимая особая точка;
• полюс;
• существенно особая точка.

Изолированная особая точка $z_0$ функции $f(z)$ называется устранимой (или правильной), если существует конечный предел $$ \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A\neq\infty. $$

Изолированная особая точка $z_0$ функции $f(z)$ называется полюсом, если $$ \lim\limits_{z\to z_0} f(z)=\infty. $$

Изолированная особая точка $z_0$ функции $f(z)$ называется существенно особой, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$ не существует.

Утверждение 1.

Для того чтобы изолированная особая точка $z_0$ функции $f(z)$ была устранимой, необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение $f(z)$ в некоторой окрестности $z_0$ не содержало главной части, т.е. представляло бы ряд Тейлора$:$ \begin{equation}\label{eq g5 p5 1} \sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n=c_0+c_1(z-z_0)+\ldots+ c_n(z-z_0)^n+\dots\ . \end{equation}

Данная функция $f(z)$ совпадает с суммой ряда $$ \sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n=c_0+c_1(z-z_0)+\ldots+ c_n(z-z_0)^n+\dots, $$ если $z\ne z_0$. Функция $f(z)$ будет аналитической и в точке $z_0$, если положить $f(z_0)=c_0$, что обычно и делают.

Утверждение 2.

Для того чтобы изолированная особая точка $z_0$ функции $f(z)$ была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения $f(z)$ в окрестности $z_0$ содержала бы лишь конечное число членов$:$ \begin{equation}\label{eq g5 p5 2} f(z)=\frac{c_{-m}}{(z-z_0)^m}+\frac{c_{-m+1}}{(z-z_0)^{m-1}}+\ldots +\frac{c_{-1}}{z-z_0}+\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n. \end{equation}

Если $m>0$, $c_{-m}\ne0$, то $m$ называется порядком полюса, при $m=1$ полюс, называется простым.

Утверждение 2*

Точка $z_0$ является полюсом функции $f(z)$ порядка $m$, когда эта точка является нулем функции $1/f(z)$ кратности $m$.

Следующие три утверждения эквивалентны:

• Точка $z=z_0$ является полюсом функции $f(z)$ порядка $m$.
• Точка $z=z_0$ является нулем функции $ \frac{\varphi(z)}{f(z)}$ кратности $m$, где функция $\varphi(z)$ аналитична в окрестности $z=z_0$ и $\varphi(z_0)\neq0$.
• $f(z) \sim \frac{A}{(z-z_0)^m}$ при $z\to z_0$, $A\neq0$.

Утверждение 3.

Для того чтобы изолированная особая точка $z_0 $ функции $f(z)$ была существенно особой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции $f(z)$ в окрестности $z_0$ содержала бы бесконечное число членов: \begin{equation}\label{eq g5 p5 3} f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n. \end{equation}

Таблица «Классификация особых точек».

Теорема Сохоцкого

Если точка $z_0 $ является существенно особой точкой функции $f(z)$, то для любого числа $A$ (конечного или бесконечного) существует такая последовательность $\{z_n\}$ значений аргумента, стремящаяся к пределу $z_0$, для которой последовательность $\{f(z_n) \}$ соответствующих значений функции $f(z)$ стремится к $A$.