Инструменты сайта


УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


Кривизна

неявно заданной кривой $ f(x,y)=0 $ вычисляется по формуле $$ \kappa=- \frac{ \left| \begin{array}{cc} H(f) & \nabla f \\ \nabla f^{\top} & 0 \end{array} \right|}{ \|\nabla f \|^3}= - \frac{ \left| \begin{array}{ccc} f''_{x^2} & f''_{xy} & f'_x \\ f''_{xy} & f''_{y^2} & f'_y \\ f'_x & f'_y & 0 \end{array} \right|}{\sqrt{(f'_x)^2+(f'_y)^2}^3} \, . $$ Для неявно заданной поверхности $ f(x,y,z)=0 $ ее кривизна Гаусса вычисляется по формуле $$ K=- \frac{ \left| \begin{array}{cc} H(f) & \nabla f \\ \nabla f^{\top} & 0 \end{array} \right|}{ \|\nabla f \|^4}= - \frac{ \left| \begin{array}{cccc} f''_{x^2} & f''_{xy} & f''_{xz} & f'_x \\ f''_{xy} & f''_{y^2} & f''_{yz} & f'_y \\ f''_{xz} & f''_{yz} & f''_{z^2} & f'_{z} \\ f'_x & f'_y & f'_z & 0 \end{array} \right|}{[(f'_x)^2+(f'_y)^2+(f'_z)^2]^2} $$ Здесь $ H(f) $ — матрица Гессе, а $ \nabla f $ — вектор-столбец градиента. Все производные вычисляются в той точке кривой (поверхности), в которой определяется ее кривизна.

Для поверхности ее средняя кривизна1) в точке определяется следующим образом. Отложим в точке $ P $ поверхности нормаль к ней и проведем плоскость, содержащую эту нормаль. В пересечение этой плоскости и поверхности получим кривую. Найдем ее кривизну. Начнем вращать плоскость вокруг нормали. Кривизна каждой получающейся кривой будет функцией угла поворота $ \theta $. Обозначим ее $ \kappa (\theta) $. Величина $$ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \kappa (\theta ) \, d\, \theta $$ называется средней кривизной поверхности в точке $ P $. Для той же неявно заданной поверхности $ f(x,y,z)=0 $ средняя кривизна вычисляется по формуле $$ \frac{\nabla f^{\top} H(f) \nabla f - \|\nabla f \|^2 \Delta f }{ 2\|\nabla f \|^3} $$ Здесь $ \Delta f =\partial^2 f / \partial x^2 + \partial^2 f / \partial y^2 + \partial^2 f / \partial z^2 $ — оператор Лапласа.

1)
Mean curvature
polynomialm/curvature.txt · Последние изменения: 2020/03/11 14:00 (внешнее изменение)