1. Определить множество значений параметра $ \varepsilon_{} $, при которых полином $$ f(x)=(x+1)(x+2)\times \dots \times (x+10) + \varepsilon x^9 $$ будет иметь все свои корни вещественными.

2. Определить количество собственных чисел матрицы $$ \left( \begin{array}{ccccccc} 2 & 2 & 2 & 2 & \dots & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 & \dots & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 4 & \dots & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & 5 & 5 \\ \vdots & & & & \ddots & & \vdots \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & n \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & n+1 \\ \end{array} \right) \ , $$ лежащих на интервале a) $ ]-\infty, 0] $, b) $ [0_{},1] $, c) $ [0,1/2] $.

3. Доказать, что вещественные корни полинома $ f(x)=x^5+2k\,x^4-2\,x-k $ при $ k>1 $ лежат в интервалах $ ]-1,-1/k [ $, $ ]-2k,-2k-1/(3k) [ $, $ ]1/2,1[ $. Установить асимптотику этих корней при $ k\to + \infty $.

4. Доказать, что матрица $ A \in \mathbb R^{n \times n} $ устойчива тогда и только тогда, когда матрица $$ (A+E)(A-E)^{-1} $$ дискретно устойчива.

5. Доказать, что если полином $ f(x) $ имеет только вещественные и простые корни, то полином $$ [f^{\prime}(x)]^2 - f^{\prime \prime}(x) f(x) $$ не имеет вещественных корней.