Интеграл $\int\limits_0^t\,f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$ называется сверткой функций $f(t)$, $g(t)$ и обозначается $(f\ast g)(t)$: \begin{equation*} (f\ast g)(t)=\int\limits_0^t\,f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau. \end{equation*}

Теорема о свертке

Если $F(p)$ и $G(p)$ являются изображениями по Лапласу функций $f(t)$ и $g(t)$, то их произведение также является изображением, причем \begin{equation*} F(p)\cdot G(p)\risingdotseq (f\ast g)(t)=\int\limits_0^t\,f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau. \end{equation*} (произведение изображений является изображением свертки).

Свертка коммутативна: \begin{equation*} (f\ast g)(t)=(g\ast f)(t)=\int\limits_0^t\,f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau=\int\limits_0^t\,g(\tau)f(t-\tau)\,d\tau. \end{equation*}

Следствие теоремы о свёртке (интеграл Дюамеля) \begin{equation*} p\cdot F(p)\cdot G(p) \risingdotseq f(0)\cdot g(t)+\int\limits_0^t f'(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau. \end{equation*} \begin{equation*} p\cdot F(p)\cdot G(p) \risingdotseq g(0)\cdot f(t)+\int\limits_0^t f(\tau)\,g'(t-\tau)\,d\tau. \end{equation*}

Каждую из этих формул называют интеграл Дюамеля.

Пусть $f(t)$ и $g(t)$ удовлетворяют условиям: 1) Теорема о существовании изображения. 2) Их показатели роста равны $s_1$ и $s_2$. 3) $f(t)\risingdotseq F(p)$, $ g(t) \risingdotseq G(p)$. 4) Произведение $f(t)\cdot g(t)$ также является оригиналом.

Тогда \begin{equation*} f(t)\cdot g(t) \risingdotseq \displaystyle\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(q)\cdot G(p-q)\,dq, \end{equation*} где $c\geqslant s_1$, $\mbox{Re}\,p>s_2+c$, $p\in \mathbb{C}$, $q\in \mathbb{C}$.