Рассмотрим функцию вещественного переменного $f(t)$ определенную на всей вещественной оси $t\in R$ и интегрируемую на любом конечном промежутке. Пусть $f(t)$ удовлетворяет условиям:

1) $f(t)=0$ при $t<0$.

2) Существуют такие числа $M>0$, $s\geqslant0$, что функция $f(t)$ при любом $t\in R$ удовлетворяет неравенству: $$ |f(t)|\leqslant Me^{st}. $$

Функция $f(t)$, удовлетворяющая всем перечисленным выше условиям, называется функцией ограниченного роста, а число $s_0=\mbox{inf}\,s$ называется показателем роста.

В дальнейшем любую функцию $f(t)$ будем заменять на $f(t)\cdot\eta(t)$ и будем считать условие выполненным. Например, если мы указываем функцию $f(t)=\mbox{sin}t$, то на самом деле имеем в виду функцию $$ f(t)=\mbox{sin}t\cdot\eta(t)=\left\{ \begin{aligned} 0,\,\,&t<0,\\ f(t),\,\,&t\geqslant0. \end{aligned} \right. $$

Функция комплексного переменного $p\in C$, $p=s+i\sigma$ $$ F(p)=\int\limits_0^{\infty} f(t)e^{-pt}dt $$ называется изображением по Лапласу, если существует указанный несобственный интеграл. Исходная функция $f(t)$ называется оригиналом.

Обозначается: $ F(p) \risingdotseq f(t), \,\, \mbox{или}\,\, F(p)=L\{f(t)\} $.

Читается: $F(p)$ есть изображение для $f(t)$, $f(t)$ есть оригинал для $F(p)$.

Пример. Найти изображение для функции Хэвисайда $f(t)=\eta(t)$.

Условие 1) выполнено.

Условие 2) выполнено при $M=1$, $s_0=0$. \begin{gather*} F(p)=\int\limits_0^{\infty} \eta(t)\cdot e^{-pt}dt=\int\limits_0^{\infty} e^{-pt}dt=\displaystyle\frac{1}{p} \,\,(\mbox{Re}p>0).\\ \end{gather*}

Получили, что $\eta(t)\risingdotseq \displaystyle\frac{1}{p}$. В таблицах обычно записывают $1\risingdotseq \displaystyle\frac{1}{p}$, имея в виду, что на самом деле мы работаем не с $f(t)=1$, а с $f(t)=\eta(t)$.

Пример. Найти изображение для $f(t)=e^t$.

Условие 1) будет выполнено, если доопределить $f(t)$, как было сказано в Замечании.

Условие 2) выполнено при $M=1$, $s_0=1$. $$ \int\limits_0^{\infty} e^t\cdot e^{-pt}dt=\int\limits_0^{\infty} e^{t(1-p)}dt=\left.\displaystyle\frac{1}{-(p-1)}e^{-(p-1)t}\right|_0^{+\infty}=\displaystyle\frac{1}{p-1}\,\,(\mbox{Re}p=s>1). $$

Пример. Аналогично можно получить изображение для $f(t)=e^{\lambda t}$, $\lambda\in \mathbb{C}$.

Условие 1) будет выполнено, если доопределить $f(t)$, как было сказано в Замечании.

Условие 2) выполнено при $M=1$, $s_0=\mbox{Re}\, \lambda$. \begin{gather*} \int\limits_0^{\infty} e^{\lambda t}\cdot e^{-pt}dt=\displaystyle\frac{1}{p-\lambda}\,\,(\mbox{Re}p=s>s_0). \end{gather*}

Теорема (о существовании изображения).
Пусть функция $f(t)$ является функцией ограниченного роста с показателем роста $s_0$. Тогда в правой полуплоскости $\mbox{Re}\,p>s_0$ существует изображение $F(p) = \int\limits_0^{\infty} f(t)\,e^{-pt}dt$, причем $F(p)$ — аналитическая функция.