Запишем числа натурального ряда в узлах прямоугольной сетки плоскости по схеме, начало которой показано на рисунке. Начало схемы — в $ 1_{} $, следующие числа ставятся вокруг нее по спирали раскручивающейся против часовой стрелки. Начнем отмечать на этой схеме простые числа цветом. Видим, что простые числа начинают устойчиво группироваться на некоторых прямых, расположенных под углами $ \pm\pi/4 $ к вертикали. Это наблюдение, впервые замеченное в 1963 году математиком Станиславом Уламом, проявляется и при дальнейшем расширении схемы.

Первые $ 961=31^2 $ чисел:

Первые $ 3721=61^2 $ чисел:

То же самое, $ 1_{} $ выделена жёлтым:

Первые $ 10201=101^2 $ чисел:

Теперь посмотрим что представляют собой диагонали построенной схемы. Диагонали, идущие из левого верхнего в правый нижний угол заполнены последовательностями вида $ \{n^2+a \mid n\in \mathbb N\} $. А вот диагонали, им перпендикулярные состоят из последовательностей вида $ \{n^2-n+a \mid n\in \mathbb N\} $. К последним относится и последовательность Эйлера $ \{n^2-n+41 \mid n\in \mathbb N\} $:

Верхний и нижний участки этой последовательности как раз и расположены под углами $ \pm\pi/4 $ к вертикали¹⁾. Та же последовательность — на квадрате $ 101\times 101 $: и на квадрате $ 201\times 201 $:

Гипотеза Буняковского заключается в том, что для неприводимого над $ \mathbb Z_{} $ квадратичного полинома $ a\,x^2+b\,x+c $ с целыми коэффициентами $ a,b,c $, последовательность $ \{a\,n^2+b\,n+c \mid n\in \mathbb N \} $ либо состоит из чисел, имеющих нетривиальный общий делитель, либо содержит бесконечное подмножество простых чисел. Не доказана²⁾.

Почему на зелёном кресте нет простых чисел?

Ulam spiral. From Wikipedia.

Все изображения на настоящей странице — результаты работы программы, составленной Андреем Рогалем.