1. Решить сравнения $$ {\mathbf a)} \ x^{p-2} \equiv p-1 \pmod{p} \qquad ; \qquad {\mathbf b)} \ x^{p-2} \equiv \frac{p-1}{2} \pmod{p} $$ для простого $ p>2 $.

2. Вычислить $$ {\mathbf a)} \ (p-3)! \pmod{p} \qquad ; \qquad {\mathbf b)} \ (p-4)! \pmod{p} , $$ для простого $ p\ge 5 $.

3. Доказать, что для $ j \in \{1,2,\dots,p-2 \} $ выполняется $$ [ j! ]^{-1} \equiv (-1)^{j-1} (p-j-1)! \pmod{p} \, . $$

4. [1]. Вычислить три последние цифры числа $ 7^{9999} $.

5. Верно ли сравнение $$ \left(A^B \right)^{-1} \equiv \left(A^{-1} \right)^B \pmod{M} \, ? $$

6. Решить сравнение $$(M-1)x \equiv \frac{M-1}{2} \pmod{M} $$ при нечетном $ M>2 $.

[1]. Хонсбергер Р. Математические изюминки. М.Наука. 1972