Основное
Вспомогательная страница к разделу ☞ ПОЛЯ ГАЛУА.
Теорема. Если элемент $ \mathfrak a \in \mathbf{GF} (p^m) $ удовлетворяет неприводимому уравнению степени $ n_{} $, то равенство $ \mathfrak a^{p^m} - \mathfrak a = \mathfrak o $ возможно тогда и только тогда, когда $ m_{} $ делится на $ n_{} $.
Доказательство проведем для полей Галуа $ \mathbf{GF}(p^m) $, рассмотренных в ☞ ПУНКТЕ, т.е. для множества полиномов $$ \mathbb P_{p,f} = \{ F (x)=A_0+A_1x+\dots+A_{m-1}x^{m-1} \ \mid \ \{A_0,A_1,\dots,A_{m-1}\} \subset \{0,1,\dots,p-1 \} \} \ , $$ рассматриваемого относительно операции сложения по модулю $ p_{} $: $$ F_1(x)+F_2(x) \pmod{p} $$ и операции умножения по двойному модулю $ p, f(x) $: $$ F_1(x) F_2(x) \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)) $$ при некотором нормализованный неприводимый по модулю $ p_{} $ полиноме $ f_{}(x) $ степени $ m\ge 1 $.
Пусть некоторый полином $ F_{}(x) $ из указанного множества удовлетворяет указанному в формулировке теоремы сравнению $$ g(F(x)) \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x)) $$ при $ g_{}(x) $ — неприводимом полиноме степени $ n_{} $.
Если $ g_{}(x) $ — неприводимый полином степени $ n_{} $, то на его основе можно построить новое поле Галуа $ \mathbf{GF}(p^n) $ — с операцией умножения по двойному модулю $ p, g(x) $. На основании обобщенной теореме Ферма: $$ x^{p^n} -x \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,g(x)) \ . $$ Перепишем это сравнение в форме тождества для полиномов с целочисленными коэффициентами: $$ x^{p^n} -x \equiv Q(x)g(x)+pL(x) \quad npu \quad \{Q(x),L(x)\} \subset \mathbb Z(x) \ . $$ Тождество должно сохраниться и при замене $ x \to F(x) $: $$ [F(x)]^{p^n} -F(x) \equiv Q(F(x))g(F(x))+pL(F(x)) \ . $$ Перейдем в этом тождестве к двойному модулю $ p,f(x) $, получим, на основании предположения: $$ [F(x)]^{p^n} -F(x) \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x))\ . $$ C другой стороны, полином $ F_{}(x) $, как принадлежащий полю Галуа $ \mathbf{GF}(p^m) $, должен также удовлетворять и сравнению $$ [F(x)]^{p^m} -F(x) \equiv 0 \quad (\operatorname{modd} \ p,f(x))\ . $$ Если $ m_{} $ делится нацело на $ n_{} $, то из первого сравнения вытекает второе.
Предположим теперь, что $ m_{} $ не делится нацело на $ n_{} $: $ m=nq+r $ при $ 0< r < n $.