\begin{gather*} I_2 = -d\vec{r}\cdot d\vec{n}=d^2\vec{r}\cdot \vec{n}. \end{gather*} Равенство $-d\vec{r}\cdot d\vec{n}=d^2\vec{r}\cdot \vec{n}$ можно доказать: \begin{equation*} d\vec{r}\cdot \vec{n}=0\,\, \Rightarrow \,\, d(d\vec{r}\cdot \vec{n})=(d^2\vec{r}\cdot \vec{n})+(d\vec{r}\cdot d\vec{n})=0 \end{equation*} Так как \begin{equation*} I_2 = d^2\vec{r}\cdot \vec{n} \end{equation*} и \begin{equation*} \vec{n}=\frac{\vec{r}_u\times \vec{r}_v}{|\vec{r}_u\times \vec{r}_v|}, \,\, |\vec{r}_u\times \vec{r}_v|=\sqrt{EG-F^2}, \end{equation*} то коэффициенты для второй квадратичной формы можно записать через смешанное произведение: \begin{align*} I_2&=L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2,\\ L&=\frac{(\vec{r}_{u u},\vec{r}_u, \vec{r}_v)}{\sqrt{EG-F^2}},\\ M&=\frac{(\vec{r}_{u v},\vec{r}_u, \vec{r}_v)}{\sqrt{EG-F^2}},\\ N&=\frac{(\vec{r}_{v v},\vec{r}_u, \vec{r}_v)}{\sqrt{EG-F^2}}. \end{align*}

Найти вторую квадратичную форму сферы: \begin{align*} x&=R\,\mbox{cos}\,u\,\mbox{cos}\,v,\\ y&=R\,\mbox{cos}\,u\,\mbox{sin}\,v,\\ z&=R\,\mbox{sin}\,u. \end{align*}

\begin{equation*} E=R^2, \,\, F=0, \,\, G= R^2\,\mbox{cos}^2u. \end{equation*} \begin{equation*} \sqrt{EG-F^2}=R^2\mbox{cos}\,u. \end{equation*} \begin{equation*} L=R, \,\, M=0, \,\, N= R\,\mbox{cos}^2u. \end{equation*} \begin{equation*} I_2=R\,du^2+R\,\mbox{cos}^2u\,dv^2. \end{equation*}

Нормальным сечением поверхности в точке $P$ называют линию пересечения поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль поверхности в этой точке.

Кривизну нормального сечения поверхности в направлении $du:dv$ называют нормальной кривизной поверхности в данной точке и в данном направлении. Она вычисляется по формуле: \begin{equation*} k_n=\frac{L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2}{E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2}=\frac{I_2}{I_1} \end{equation*}

Направление $du:dv$ называется главным, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении достигает экстремального значения. В каждой точке поверхности имеются два главных направления. Нормальные кривизны соответствующих главных направлений называют главными кривизнами $k_1$ и $k_2$.

Необходимое и достаточное условие, чтобы направление $du:dv$ было главным: \begin{equation*} \left| \begin{array}{ccc} dv^2 & -du\,dv & du^2 \\ E & F & G \\ L & M & N \\ \end{array} \right|=0. \end{equation*}

Главные кривизны $k_1$ и $k_2$ можно найти из уравнения: \begin{equation*} k^2(EG-F^2)-k(LG-2MF+NE)+(LN-M^2)=0. \end{equation*}

Полная (гауссова) кривизна: \begin{equation*} K=k_1k_2=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}. \end{equation*}

Средняя кривизна: \begin{equation*} H=\frac{k_1+k_2}{2}=\frac{EN+GL-2FM}{2(EG-F^2)}. \end{equation*}

\begin{align*} & K>0 \,\, \Rightarrow \mbox{ точка поверхности называется эллиптической},\\ & K<0 \,\, \Rightarrow \mbox{ точка поверхности называется гиперболической},\\ & K=0 \,\, \Rightarrow \mbox{ точка поверхности называется /параболической}. \end{align*}

Записать выражение для нормальной кривизны в случае параметризации поверхности: $z=z(x,y)$.

\begin{equation*} k_n=\frac{L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2}{E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2}=\frac{I_2}{I_1}. \end{equation*} \begin{align*} &I_1=(1+z_x^2)dx^2+2z_xz_ydxdy+(1+z_y^2)dy^2,\\ &I_2=L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2,\\ &L=\frac{z_{xx}}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\\ &M=\frac{z_{xy}}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\\ &N=\frac{z_{yy}}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}. \end{align*}

Найти нормальную кривизну гиперболического параболоида $z=x^2-y^2$ в точке $M(x=0, y=0)$ в направлении $\frac{dy}{dx}=\frac12$. \begin{align*} &E=1+4x^2=1, \,\, F=-4xy=0, \,\, G=1+4y^2=1.\\ &L=\frac{2}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}=2,\\ &M=0,\\ &N=\frac{-2}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}=-2.\\ \end{align*} Учитывая направление $dx=2dy$, запишем нормальную кривизну: \begin{equation*} k_n=\frac{2dx^2-2dy^2}{dx^2+dy^2}=\frac65. \end{equation*}

Найти главные направления и главные кривизны прямого геликоида \begin{equation*} x=u\,\mbox{cos}v, \,\, y=u\,\mbox{sin}\,v, \,\, z=av. \end{equation*}

\begin{align*} &E=1, \,\, F=0, \,\, G=u^2+a^2.\\ &L=0, \,\, M=\frac{-a}{\sqrt{u^2+a^2}}, \,\, N=0.\\ \end{align*} \begin{align*} &EG-F^2=u^2+a^2,\\ &LG-2MF+NE=0,\\ &LN-M^2=-\frac{a^2}{u^2+a^2}. \end{align*}

Получили уравнение для нахождения $k_1$ и $k_2$: \begin{equation*} (u^2+a^2)k^2-\frac{a^2}{u^2+a^2}=0 \,\, \Rightarrow \end{equation*} главные кривизны: \begin{equation*} k_{1,2}=\pm\frac{a}{u^2+a^2}. \end{equation*}

Условие для главных направлений: \begin{equation*} \left| \begin{array}{ccc} dv^2 & -du\,dv & du^2 \\ 1 & 0 & u^2+a^2 \\ 0 & \frac{-a}{\sqrt{u^2+a^2}} & 0 \\ \end{array} \right|=0 \,\, \Rightarrow \end{equation*} главные направления: \begin{equation*} \frac{du}{dv}=\pm\sqrt{u^2+a^2} \end{equation*}

Найти полную и среднюю кривизны прямого геликоида \begin{equation*} x=u\,\mbox{cos}v, \,\, y=u\,\mbox{sin}\,v, \,\, z=av. \end{equation*} На каких линиях полная кривизна постоянна?

Полная кривизна: \begin{equation*} K=k_1k_2=-\frac{a^2}{(u^2+a^2)^2}. \end{equation*} Средняя кривизна: \begin{equation*} H=\frac{k_1+k_2}{2}=0. \end{equation*} $K$ постоянна на винтовых линиях: \begin{equation*} K=\mbox{const} \,\, \Rightarrow \,\, u=u_0=\mbox{const} \,\, \Rightarrow \,\, x=u_0\mbox{cos}\,v,\,\, y=u_0\mbox{sin}\,v,\,\,z=a\,v. \end{equation*}