Зная первую квадратичную форму поверхности, мы можем решить три задачи:

1. Найти длину дуги на поверхности: \begin{equation*} s=\int\limits_{t_1}^{t_2}|\vec{r'}(t)dt|=\int\limits_{P_1}^{P_2}|d\vec{r}(u,v)|=\int\limits_{P_1}^{P_2}\sqrt{I_1}. \end{equation*} \begin{equation*} s=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{E\left(\frac{du}{dt}\right)^2+2F\frac{du}{dt}\frac{dv}{dt}+G\left(\frac{dv}{dt}\right)^2}dt. \end{equation*}

2. Найти угол между двумя линиями на поверхности в точке их пересечения:
Если две линии, лежащие на поверхности с первой квадратичной формой $I_1=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2$, пересекаются в некоторой точке $P$ поверхности и имеют в этой точке направления $(du:dv)$ и $(\delta u:\delta v)$, то косинус угла между ними определяется по формуле: \begin{gather*} \mbox{cos}\,\varphi = \displaystyle\frac{I_1(d,\delta)}{\sqrt{I_1(d)}\cdot\sqrt{I_1(\delta)}} \\ \mbox{cos}\,\varphi = \displaystyle\frac{E\,du\,\delta u+F\,(du\,\delta v+\delta u\,dv)+G\,dv\,\delta v}{\sqrt{E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2}\cdot\sqrt{E\,\delta u^2+2F\,\delta u\,\delta v+G\,\delta v^2}}. \end{gather*} Говорим, что кривая на поверхности $\vec{r}=\vec{r}(u,v)$ в точке $(u,v)$ имеет направление $(du:dv)$, если вектор $d\vec{r}=\vec{r}_udu+\vec{r}_vdv$ является касательным вектором кривой в этой точке.

3. Найти площадь области $\Omega$ на поверхности: \begin{equation*} S = \iint\limits_{D}\sqrt{EG-F^2}du\,dv, \end{equation*} где $D$ — прообраз $\Omega$ на плоскости $(u,v)$.

Найти длину дуги кривой, заданной уравнениями $v=3u$ на поверхности с первой квадратичной формой \begin{equation*} I_1=du^2+\frac19\,\mbox{sh}^2u\,dv^2 \end{equation*} между точками $M_1(u_1,v_1)$ и $M_2(u_2,v_2)$.

\begin{equation*} E=1, \,\, F=0,\,\, G=\frac19\,\mbox{sh}^2u. \end{equation*} \begin{equation*} v=3u \,\, \Rightarrow \,\,dv=3du. \end{equation*} \begin{equation*} I_1=du^2+\frac19\,\mbox{sh}^2u\cdot9\,du^2=(1+\mbox{sh}^2u)du^2=\mbox{ch}^2u\,du^2. \end{equation*} \begin{equation*} s=\left|\int\limits_{u_1}^{u_2} \mbox{ch}\,u\,du\right| = |\mbox{sh}\,u_2-\mbox{sh}\,u_1|. \end{equation*}

Под каким углом пересекаются линии $$ u+v=a, \,\, u-v=a,$$ лежащие на поверхности: \begin{equation*} x=u\,\mbox{cos}v, \,\, y=u\,\mbox{sin}\,v, \,\, z=au. \end{equation*}

Первая квадратичная форма данной поверхности: \begin{equation*} I_1=(1+a^2)\,du^2+u^2\,dv^2. \end{equation*}

Данные линии пересекаются в точке: \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} u+v&=a,\\ u-v&=a. \end{aligned} \right. \quad \Rightarrow \quad P(u=a,v=0). \end{equation*}

Направления данных линий: \begin{equation*} du+dv=0, \,\, \delta u-\delta v=0\,\, \Rightarrow \end{equation*} \begin{equation*} du = -dv, \,\, \delta u = \delta v. \end{equation*}

Подставляем всё в формулу: \begin{gather*} \mbox{cos}\,\varphi = \displaystyle\frac{(1+a^2)\,du\,\delta u + u^2\,dv\,\delta v}{\sqrt{(1+a^2)\,du^2+u^2\,dv^2}\cdot\sqrt{(1+a^2)\,\delta u^2+u^2\,\delta v^2}} = \\ = \left( dv = -du, \,\, \delta v = \delta u \right) = \\ = \displaystyle\frac{(1+a^2- u^2)\,du\,\delta u}{\sqrt{(1+a^2+u^2)^2\,du\,\delta u}}= \frac{1+a^2-u^2}{1+a^2+u^2}=\\ = \left(P(u=a,v=0)\right) = \\ = \frac{1}{1+2a^2}. \end{gather*}

Дана поверхность: $$z=axy.$$ Найти углы между координатными линиями.

Координатные линии на данной поверхности задаются уравнениями: $x=x_0$, $y=y_0$. Запишем коэффициенты первой квадратичной формы: \begin{align*} &E=1+(z_x)^2=1+a^2y^2,\\ &F=z_xz_y=a^2xy, \\ &G=1+(z_y)^2=1+a^2x^2. \end{align*}

Направления координатных линий: \begin{align*} &x=x_0 \,\, \Rightarrow dx=0,\\ &y=y_0 \,\, \Rightarrow \delta y=0. \end{align*}

Угол между линиями $x=x_0$, $y=y_0$ в точке $(x_0,y_0)$: \begin{align*} &\mbox{cos}\, \varphi = \displaystyle\frac{E\,dx\,\delta x + F(dx\delta y+\delta xdy)+Gdy\delta y}{\sqrt{Edx^2+2Fdxdy+Gdy^2}\cdot\sqrt{E\delta x^2+2F\delta x\delta y+G\delta y^2}}=\\ &= \displaystyle\frac{F\delta xdy}{\sqrt{Gdy^2}\cdot\sqrt{E\delta x^2}}=\displaystyle\frac{(a^2x_0y_0)\delta xdy}{\sqrt{(1+a^2x_0^2)dy^2}\cdot\sqrt{(1+a^2y_0^2)\delta x^2}}=\\ & = \displaystyle\frac{a^2x_0y_0}{\sqrt{(1+a^2x_0^2) }\cdot\sqrt{(1+a^2y_0^2) }}. \end{align*}

Как мы вывели в примере выше, угол между координатными линиями равен

\begin{equation*} \mbox{cos}\, \varphi = \displaystyle\frac{F}{\sqrt{EG}}. \end{equation*}

Из формулы следует, что координатная сеть поверхности ортогональна (координатные линии пересекаются под прямым углом), тогда и только тогда, когда $F$=0.

Найти периметр и внутренние углы криволинейного треугольника $$ u=\pm av^2/2,\,\, v=1,$$ расположенного на поверхности $$I_1=du^2+(u^2+a^2)dv^2.$$

Вершины треугольника: \begin{align*} &A(u=0,\, v=0),\\ &B(u=-\frac{a}{2},\, v=1), \\ &C(u=\frac{a}{2},\, v=1). \end{align*}

Зная координаты вершин и уравнения сторон, найдем длины дуг, составляющих стороны треугольника $ABC$, и углы между линиями в точках их пересечения, то есть в вершинах треугольника: \begin{align*} &s_1 = |BC| = a,\\ &s_2 = |AC| = \frac76 a,\\ &s_3 = |BC| = \frac76 a,\\ &P_{\triangle ABC}=s_1+s_2+s_3=\frac{10}{3}a. \end{align*} \begin{align*} &\mbox{cos}\,A = 1, \,\, \mbox{cos}\,B=\mbox{cos}\,C=\frac23. \end{align*}