\begin{align*} I_1 &= \left(d\vec{r}\right)^2=\left(\vec{r}_udu+\vec{r}_vdv\right)^2=\\ &=(\vec{r}_u,\vec{r}_u)\,du^2+2(\vec{r}_u,\vec{r}_v)\,du\,dv+(\vec{r}_v,\vec{r}_v)\,dv^2. \end{align*}

Обычно коэффициенты первой квадратичной формы обозначают $E$, $F$, $G$: \begin{align*} I_1&=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2,\\ E&=(\vec{r}_u,\vec{r}_u)=x_u^2+y_u^2+z_u^2,\\ F&=(\vec{r}_u,\vec{r}_v)=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v,\\ G&=(\vec{r}_v,\vec{r}_v)=x_v^2+y_v^2+z_v^2. \end{align*}

Подробнее про квадратичные формы в курсе алгебре смотрите здесь.

Найдите первую квадратичную форму прямого геликоида: \begin{equation*} x=u\,\mbox{cos}v, \,\, y=u\,\mbox{sin}\,v, \,\, z=av. \end{equation*}

Коэффициенты: \begin{align*} E&=x_u^2+y_u^2+z_u^2=\mbox{cos}^2v+\mbox{sin}^2v+0=1, \\ F&= x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v=-u\,\mbox{sin}v\,\mbox{cos}v+u\,\mbox{sin}v\,\mbox{cos}v+0=0,\\ G&=x_v^2+y_v^2+z_v^2=u^2\mbox{sin}^2v+u^2\mbox{cos}^2v+a^2=u^2+a^2. \end{align*}

Первая квадратичная форма: \begin{equation*} I_1=du^2+(u^2+a^2)dv^2. \end{equation*}

Найдите первую квадратичную форму поверхности $z=z(x,y)$.

Можно ввести параметризацию: \begin{equation*} x=u, \,\, y=v, \,\, z = z(u,v). \end{equation*} Тогда коэффициенты квадратичной формы будут равны: \begin{align*} E&= 1^2+0^2+z_u^2,\\ F&= 1\cdot0+0\cdot1+z_uz_v,\\ G&= 0^2+1^2+z_v^2. \end{align*} Запишем первую квадратичную форму поверхности, вернувшись к координатам $x$, $y$. \begin{equation*} I_1=(1+z_x^2)dx^2+2z_xz_ydxdy+(1+z_y^2)dy^2. \end{equation*}