Дано:
- кривая $\gamma$: $x=x(t),\, y=y(t),\, z=z(t)$,
- поверхность $\varPhi(x,y,z)=0$,
- их общая точка $M(t_0)$.

Когда точка $M(t)$ стремится по кривой $\gamma$ к точке $M(t_0)$, функция $\varPhi(x(t),y(t),z(t))$ будет бесконечно малой величиной при $t\to t_0$. Если порядок малости этой величины относительно $t-t_0$ равен $k+1$, то говорят, что кривая имеет с поверхностью касание $k$-того порядка.

Пусть дано однопараметрическое семейство поверхностей: \begin{equation*} F(x,y,z,C)=0. \end{equation*} Гладкая поверхность называется огибающей однопараметрического семейства поверхностей, если в каждой своей точке она касается по крайней мере одной поверхности семейства и каждым своим куском касается бесконечного числа поверхностей семейства.

Уравнение огибающей, если она существует, определяется из системы \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcl} F(x,y,z,C)& = &0, \\ F'_C (x,y,z,C)& = &0. \\ \end{array} \right. \end{equation*} Исключаем из этой системы параметр $C$ получаем уравнение некоторой поверхности $$ f(x,y,z)=0,$$ это дискриминантная поверхность.

Если в каждой точке дискриминанты выполняется условие: $F^2_x+F^2_y+F^2_z\neq0$, то $f(x,y,z)=0$ — огибающая.

Если огибающая существует, то она касается каждой фиксированной поверхности семейства вдоль линии, которая называется характеристикой этого семейства. Эта линия задается записанной выше системой при некотором фиксированном значении $C$, соответствующему фиксированной поверхности.

Характеристики на огибающей образуют однопараметрическое семейство линий. Если это однопараметрическое семейство линий имеет огибающую, то эта огибающая называется ребром возврата. Оно удовлетворяет системе: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcl} F(x,y,z,C)& = &0, \\ F'_C (x,y,z,C)& = &0, \\ F''_{CC} (x,y,z,C)& = &0. \\ \end{array} \right. \end{equation*}

Покажите, что линия $$yz=x,\,\, xz=y+1$$ имеет с поверхностью $z=xy$ в точке $M(0,-1,0)$ касание второго порядка.

Запишем параметризацию кривой: \begin{equation*} z=t,\,\, y= \frac{1}{t^2-1}, \,\, x= \frac{t}{t^2-1}. \end{equation*} Тогда \begin{equation*} \varPhi(x(t),y(t),z(t))=t-\frac{t}{(t^2-1)^2}. \end{equation*} Найдем предел для $k=2$ \begin{equation*} \lim_{t\to0}\frac{\varPhi(x(t),y(t),z(t))}{t^{k+1}}=\lim\limits_{t\to0}\frac{t(t^2-2)(t^2)}{t^3}=-2. \end{equation*}

Найти ребро возврата огибающей семейства поверхностей \begin{equation*} x\,\mbox{sin}\,\alpha-y\,\mbox{cos}\,\alpha+z=b\alpha, \end{equation*} где $\alpha$ — параметр, $b=\mbox{const}$.

Запишем систему, задающую ребро возврата: $$ \left\{ \begin{aligned} &x\,\mbox{sin}\,\alpha-y\,\mbox{cos}\,\alpha+z-b\alpha=0,\\ &x\,\mbox{cos}\,\alpha+y\,\mbox{sin}\,\alpha+z-b=0,\\ &-x\,\mbox{sin}\,\alpha+y\,\mbox{cos}\,\alpha=0. \end{aligned} \right. $$ Решая систему, получим параметрическое уравнение винтовой линии: $x=b\,\mbox{cos}\,\alpha$, $y=b\,\mbox{sin}\,\alpha$, $z=b\alpha$.