Рассматриваем вектор–функцию двух скалярных аргументов: $$\vec{r}=\vec{r}(u,v).$$ Годографом такой функции является поверхность.

Запишем четыре способа задания поверхности: 1. Векторное уравнение: $$\vec{r}=\vec{r}(u,v).$$ 2. Параметрическое уравнение: $$x=x(u,v),\,\, y=y(u,v),\,\, z=z(u,v).$$ 3. Неявное уравнение: $$\varPhi(x,y,z)=0.$$ 4. Явное уравнение: $$z=z(x,y).$$

Поверхность называется регулярной ($k$ раз дифференцируемой), если у каждой точки этой поверхности есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию (то есть функции $x(u,v), y(u,v),z=z(u,v)$ $k$ раз непрерывно дифференцируемы). При $k=1$ поверхность называется гладкой.

Регулярная поверхность в окрестности каждой своей точки допускает бесчисленное множество параметризаций.

Кривая, лежащая на поверхности $\vec{r}=\vec{r}(u,v)$, задается уравнениями $$ u=u(t),\,\, v=v(t).$$ Линии $u=\mbox{const}$, $v=\mbox{const}$ являются координатными линиями данной параметризации поверхности.

Дана поверхность \begin{equation*} x=u+v, \,\, y=u-v,\,\, z=uv. \end{equation*} Проверить, принадлежат ли ей точки $A(4,2,3)$ и $B(1,4,-2)$.

Ответ. Точка $A$ принадлежит, так как ее координаты удовлетворяют системе уравнений, задающих поверхность. Точка $B$ не принадлежит поверхности.

Найдите неявное уравнение поверхности, заданной параметрическими уравнениями: \begin{equation*} \begin{split} x & = x_0 + a\,\mbox{cos}\,u\,\mbox{cos}\,v, \\ y & = y_0 + b\,\mbox{cos}\,u\,\mbox{sin}\,v, \\ z & = z_0 + c\,\mbox{sin}\,u. \end{split} \end{equation*}

Ответ. Эллипсоид с полуосями $a$, $b$, $c$ и центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$: \begin{equation*} \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}+\frac{(z-z_0)^2}{c^2}=1. \end{equation*}

В плоскости $xOz$ задана кривая $x=f(u)$, $z=g(u)$, не пересекающая ось $Oz$. Найдите параметризацию поверхности, полученной при вращении этой кривой вокруг оси $Oz$.

Произвольная точка $M$, принадлежащая кривой и имеющая координаты $x_0=f(u_0)$, $y_0=0$, $z_0=g(u_0)$, движется по окружности с центром на оси $Oz$ и радиусом $R=f(u_0)$ в плоскости, параллельной плоскости $xOy$: $z=g(u_0)$. Поэтому изменение ее координат можно записать следующими уравнениями: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lll} x_0 & = & f(u_0)\,\mbox{cos}\,v, \\ y_0 & = & f(u_0)\,\mbox{sin}\,v, \\ z_0 & = & g(u_0). \\ \end{array} \right. \end{equation*}

Поскольку точка $M$ произвольная, уравнение искомой поверхности: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lll} x & = & f(u)\,\mbox{cos}\,v, \\ y & = & f(u)\,\mbox{sin}\,v, \\ z & = & g(u). \\ \end{array} \right. \end{equation*}

Пусть $\vec{r}=\vec{r}(u,v)\in C^1$ — поверхность, проходящая через точку $P(u_0, v_0)$. Пусть $u=u(t)$, $v=v(t)$ — уравнения гладкой кривой, проходящей через точку $P(u_0, v_0)$ и лежащей на заданной поверхности.

Пусть точка $P$ не является особой, то есть ранг матрицы \begin{equation*} \left( \begin{array}{ccc} x_u & y_u & z_u \\ x_v & y_v & z_v \\ \end{array} \right) \end{equation*} в точке $P$ равен $2$ (для особой точки ранг меньше $2$). Если поверхность задана неявно $\varPhi(x,y,z)=0$, то в не особой точке $P$ выполняется условие: $\varPhi_x^2+\varPhi_y^2+\varPhi_z^2\neq0.$

Касательная к кривой $u=u(t)$, $v=v(t)$ на поверхности $\vec{r}=\vec{r}(u,v)$ определяется вектором: \begin{equation*} \displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{r}_u\displaystyle\frac{du}{dt}+\vec{r}_v\displaystyle\frac{dv}{dt}, \end{equation*} где $\vec{r}_u=\displaystyle\frac{d\vec{r}}{du}$, $\vec{r}_v=\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dv}$. Для разных кривых, проходящих через точку $P(u_0, v_0)$, значения $\displaystyle\frac{du}{dt}$, $\displaystyle\frac{dv}{dt}$ будут разными, а $\vec{r}_u$, $\vec{r}_v$ теми же. Следовательно, все векторы $\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}$ лежат в одной плоскости, определяемой векторами $\vec{r}_u$, $\vec{r}_v$. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке $P$. Запишем уравнение касательной плоскости.

Обозначения:
- $\vec{R}=\{X,\, Y,\, Z\}$ — радиус-вектор произвольной точки касательной плоскости.
- $\vec{r}=\{x,\, y,\, z\}$ — радиус вектор точки $P(u_0, v_0)$.
- Частные производные $x_u$, $y_u$, $z_u$, $x_v$, $y_v$, $z_v$ вычисляются в точке $P(u_0, v_0)$.

Уравнение касательной плоскости:

1. Если поверхность задана векторно, то уравнение касательной плоскости можно записать через смешанное произведение трех линейно зависимых векторов: $$ \left(\vec{R}-\vec{r}, \, \vec{r}_u, \, \vec{r}_v \right)=0. $$ 2. Если поверхность задана параметрически, запишем определитель: \begin{equation*} \left| \begin{array}{ccc} X-x & Y-y & Z-z \\ x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v\\ \end{array} \right|=0 \end{equation*} 3. Если поверхность задана неявным уравнением: \begin{equation*} \varPhi_x(X-x)+\varPhi_y(Y-y)+\varPhi_z(Z-z)=0. \end{equation*} 4. В случая явного задания поверхности, уравнение касательной плоскости примет вид: \begin{equation*} (Z-z)=z_x(X-x)+z_y(Y-y). \end{equation*}

Нормалью поверхности в точке $P$ называется прямая, проходящая через $P$ перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.

Уравнение нормали:

1.$$ \vec{R}=\vec{r} + \lambda\vec{n}, \,\, \vec{n}=\vec{r}_u\times\vec{r}_v. $$ 2. \begin{equation*} \displaystyle\frac{X-x}{ \left| \begin{array}{cc} y_u & z_u\\ y_v & z_v\\ \end{array} \right|}= \displaystyle\frac{Y-y}{ \left| \begin{array}{cc} z_u & x_u\\ z_v & x_v\\ \end{array} \right|}= \displaystyle\frac{Z-z}{ \left| \begin{array}{cc} x_u & y_u\\ x_v & y_v\\ \end{array} \right|}. \end{equation*} 3. \begin{equation*} \displaystyle\frac{X-x}{\varPhi_x}=\displaystyle\frac{Y-y}{\varPhi_y}=\displaystyle\frac{Z-z}{\varPhi_z}. \end{equation*} 4. \begin{equation*} \displaystyle\frac{X-x}{z_x}=\displaystyle\frac{Y-y}{z_y}=\displaystyle\frac{Z-z}{-1}. \end{equation*}

Дана поверхность \begin{equation*} x=u\,\mbox{cos}\,v,\,\, y=u\,\mbox{sin}\,v,\,\, z=u. \end{equation*} Написать:
а) уравнение касательной плоскости к поверхности;
б] уравнение нормали к поверхности;
в) касательной к линии $u=2$
в точке $M\left(u=2, v=\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)$ поверхности.

Ответ.
а) $X+Y-\sqrt{2}Z=0$;
б) $\displaystyle\frac{X-\sqrt{2}}{1}=\displaystyle\frac{Y-\sqrt{2}}{1}=\displaystyle\frac{Z-2}{-\sqrt{2}}$;
в) $x+y=2\sqrt{2}$, $z=2$.

Через точки $A(0,1,0)$ и $B(1,0,0)$ провести плоскость, касательную к поверхности $\vec{r}=\{u,v,u^2+v^2\}$.

Ответ. $z=0, -2X-2Y+Z+2=0$.

Построить касательную плоскость к поверхности $y=x^2+z^2$, перпендикулярную вектору $\vec{a}\{2,1,-1\}$.

Ответ. $8X+4Y-4Z+5=0$.

Через точку $M(1,2,1)$ провести плоскость, касательную к поверхности $x^2+y^2-z^2=0$.

Ответ. $X-Z=0$, $3X-4Y+5Z=0$.

Докажите, что поверхности \begin{equation*} z=\mbox{tg}(xy), \,\, x^2-y^2=a \end{equation*} ортогональны в точках их пересечения.

Запишем направляющие векторы нормалей к поверхностям, проведенным в точках их пересечения: \begin{equation*} \begin{aligned} \vec{n}_1&=\left\{\frac{y_0}{\mbox{cos}^2(x_0y_0)},\frac{x_0}{\mbox{cos}^2(x_0y_0)},-1\right\},\\ \vec{n}_2&=\left\{2x_0,-2y_0,0\right\}. \end{aligned} \end{equation*} Скалярные произведения векторов $n_1$ и $n_2$ равны нулю, следовательно векторы ортогональны. \begin{equation*} n_1\cdot n_2=0. \end{equation*}