2. Найти кривизну и кручение кривой, заданной в неявном виде: $-x^2+y^2+z^2=1$, $-x^2+2y-z=0$ в точке $M(1,\,1,\,1)$.

Ответ: $k=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{6}$, $\varkappa=1$.

3. Доказать, что кривая $x=1+2t+t^2, y=2-5t+t^2, z=1+t^2$~ — плоская. Найти уравнение плоскости, в которой лежит эта кривая.

Ответ: $\varkappa=0$, $5x+2y-7z-2=0$.

Две кривые $$ \gamma_1: \vec{r}_1=\vec{r}_1(t)\,\, \mbox{и} \,\, \gamma_2: \vec{r}_2=\vec{r}_2(t) $$ имеют в общей точке $M_0$ соприкосновение (касание) $k$-того порядка, если в этой точке: \begin{equation*} \frac{d\vec{r}_1}{dt}=\frac{d\vec{r}_2}{dt}, \ldots, \frac{d^k\vec{r}_1}{dt^k}=\frac{d^k\vec{r}_2}{dt^k},\, \frac{d^{k+1}\vec{r}_1}{dt^k}\neq\frac{d^{k+1}\vec{r}_2}{dt^k}. \end{equation*}

Для неявно заданных кривых — см. формулы в Феденко.

Касательная кривой имеет в точке касания имеет соприкосновение первого порядка.

Пусть $\gamma$ — плоская кривая, $M_0 (t=t_0)$ — точка на ней.

Окружность, проходящая через точку $M_0$, называется соприкасающейся окружностью кривой $\gamma$ в точке $M_0$, если кривая в этой точке с окружностью имеет соприкосновение второго порядка (не ниже второго порядка).

Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны кривой в заданной точке.

Центр окружности лежит на нормали к кривой. Радиус окружности (радиус кривизны) есть величина, обратная кривизне этой кривой в заданной точке $M_0$: $$ R=1/k(t_0).$$

Эволютой плоской кривой называется огибающая ее нормалей.

Эволюта это геометрическое место центров кривизны плоской кривой.

Уравнение эволюты: \begin{equation*} X = x-y'\frac{(x')^2+(y')^2}{x'y''-x''y'}, \,\, Y= y+x'\frac{(x')^2+(y')^2}{x'y''-x''y'}. \end{equation*}

Эвольвентой плоской кривой $\gamma$ называется такая кривая $\Gamma$ по отношению к которой $\gamma$ является эволютой.

Уравнение эвольвенты: \begin{gather*} R = \vec{r(}t)-\frac{\vec{r'}(t)}{\sqrt{(\vec{r'})^2}}\int\sqrt{(\vec{r'}(t))^2}\,dt. \end{gather*}

Докажите, что линии \begin{equation*} y_1=\mbox{sin}\,x, \,\, y_2=x^4-\frac16x^3+x. \end{equation*} имеют в начале координат касание третьего порядка

\begin{equation*} \begin{split} &y_1(0)=y_2(0)=0, \\ &y'_1(0)=y'_2(0)=1, \\ &y''_1(0)= y''_2(0)=0, \\ &y'''_1(0)=y'''_2(0)=-1, \\ &y_1^{(4)}(0)=0\neq y_2^{(4)}(0)=24. \\ &\end{split} \end{equation*}

Напишите уравнение соприкасающейся окружности линии $y=\mbox{sin}\,x$ в точке $A\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$.

Радиус соприкасающейся плоскости $R=\displaystyle\frac{1}{k}$. Найдем кривизну для заданной кривой: \begin{equation*} k = \displaystyle\frac{|y''|}{\left(1+(y')^2\right)^{3/2}}=\frac{\mbox{sin}\,x}{(1+\mbox{cos}^2\,x)^{3/2}}. \end{equation*} \begin{equation*} k\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \,\, \Rightarrow \,\, R=1. \end{equation*} Учитывая, что окружность касается синусоиды в точке $A\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}; 1\right)$, радиус окружности равен $1$ и центр окружности лежит на нормали, проведенной в точке касания, получаем следующее уравнение: \begin{equation*} \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)^2+y^2=1. \end{equation*}

Составьте уравнения и начертите эволюту кривой \begin{equation*} x=a\left(\mbox{ln}\,\mbox{tg}\,\left(\displaystyle\frac{t}{2}\right)+\mbox{cos}\,t\right), \,\, y = a\,\mbox{sin}\,t. \end{equation*}

Находим производные. \begin{equation*} \begin{split} x'&=a\left(\frac{1}{\mbox{sin}\,t}-\mbox{sin}\,t\right)=a\frac{\mbox{cos}^2t}{\mbox{sin}\,t},\\ x''&=-a\,\mbox{cos}\,t\left(1+\frac{1}{\mbox{sin}^2\,t}\right),\\ y'&=a\,\mbox{cos}\,t, \quad y''=-a\,\mbox{sin}\,t. \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} &(x')^2+(y')^2=a^2\mbox{ctg}^2\,t,\\ &x'y''-x''y'=a^2\mbox{ctg}^2\,t. \end{split} \end{equation*}

Получаем уравнения эволюты: \begin{equation*} \begin{split} &X= x(t)-a\,\mbox{cos}\,t\cdot1,\,\, Y= y(t)+a\,\displaystyle\frac{\mbox{cos}^2t}{\mbox{sin}\,t}\cdot1.\\ &X = a\,\mbox{ln}\,\mbox{tg}\,\left(\displaystyle\frac{t}{2}\right), \,\, Y= \displaystyle\frac{a}{\mbox{sin}\,t}. \end{split} \end{equation*}

Составьте уравнения эвольвент окружности $x^2+y^2=a^2$ и сделайте рисунок.

Запишем параметрическое уравнение окружности: \begin{equation*} x=a\,\mbox{cos}\,t, \,\, y=a\,\mbox{sin}\,t. \end{equation*}

\begin{gather*} \vec{r}(t)=\{a\,\mbox{cos}\,t,\,\,a\,\mbox{sin}\,t\},\\ \vec{r'}(t)=\{-a\,\mbox{sin}\,t,\,\,a\,\mbox{cos}\,t\},\\ (\vec{r'}(t))^2=a^2,\\ \int\sqrt{(\vec{r'}(t))^2}\,dt = \int a\,dt = at+C. \end{gather*}

Уравнения эвольвент: \begin{equation*} \begin{array}{ccc} X&=&a\,\mbox{cos}\,t + (at+C)\,\mbox{sin}\,t,\\ Y&=&a\,\mbox{sin}\,t - (at+C)\,\mbox{cos}\,t.\\ \end{array} \end{equation*}