Кривизной $k$ кривой в данной точке называют модуль скорости вращения касательной по отношению к длине дуги.

Регулярная дважды дифференцируемая без особых точек кривая $\gamma$, заданная векторной функцией $\vec{r}=\vec{r}(t)$, имеет в каждой точке определенную кривизну, причем $$ |k(t)|=\frac{|\vec{r'}(t)\times \vec{r''}(t)|}{|\vec{r'(t)}|^3}. $$

Для кривой, заданной параметрически $$ x=x(t), \,\, y=y(t), \,\, z=z(t), $$ кривизна в точке $P(t=t_0)$ находится по формуле: $$ k^2(t_0)=\frac{\left| \begin{array}{cc} y' & z' \\ y''& z'' \\ \end{array} \right|^2+\left| \begin{array}{cc} z' & x' \\ z''& x'' \\ \end{array} \right|^2+\left| \begin{array}{cc} x' & y' \\ x'' & y'' \\ \end{array} \right|^2}{\Bigl((x')^2+(y')^2+(z')^2\Bigr)^3}, $$ где все производные вычисляются при $t=t_0$.

Если кривая задана естественной параметризацией $\vec{r}=\vec{r}(s)$, то векторы $\vec{r'}(s)$ и $\vec{r''}(s)$ перпендикулярны, причем $|\vec{r'}(s)|=1$. Тогда выражение для кривизны принимает вид: $$ k(s)= |\vec{r''}(s)|. $$

Что вы скажете о кривой, которая в каждой свой точке имеет нулевую кривизну?

Для плоской кривой, лежащей в плоскости $(xy)$, кривизну можно найти по формулам: $$ \begin{array}{rl} x=x(t), y=y(t):& k = \displaystyle\frac{|x'y''-x''y'|}{\left((x')^2+(y')^2\right)^{3/2}}, \\ y=y(x):& k = \displaystyle\frac{|y''|}{\left(1+(y')^2\right)^{3/2}}, \\ \rho=\rho(\varphi):& k = \displaystyle\frac{|\rho^2+2(\rho')^2-\rho\rho''|}{\left(\rho^2+(\rho')^2\right)^{3/2}}.\\ \end{array} $$

Абсолютным кручением $\varkappa$ кривой называют скорость вращения соприкасающейся плоскости вокруг касательной. $$ |\varkappa (t)|=\frac{|(\vec{r'}(t), \vec{r''}(t), \vec{r'''}(t))|}{|\vec{r'}(t)\times \vec{r''}(t)|^2}. $$

В случае естественной параметризации $$ |\varkappa(s)|=\frac{|(\vec{r'}(s), \vec{r''}(s), \vec{r'''}(s))|}{k^2(s)} $$

Если кривая задана естественной параметризацией $\vec{r}=\vec{r}(s)$, то кривизна и кручение будут являться функциями длины дуги $$ k=k(s), \quad \varkappa=\varkappa(s). $$ Система этих двух соотношений называется натуральными уравнениями кривой.

Натуральные уравнения полностью определяют форму кривой, ибо связывают инварианты, которые не меняются при преобразовании координат (при изменении положения указанной кривой в пространстве относительно системы координат).

Найдите кривизну кривой: $$ x=a\,\mbox{cos}^3t,\,\,y=a\,\mbox{sin}^3t. $$

Найдите параболу $y=ax^2+bx+c$, имеющую с синусоидой $y=\mbox{sin}x$ в точке $A(\pi/2,1)$ общие касательную и кривизну.

Составьте натуральные уравнения кривой: $$ x=a(\mbox{cos}\,t+t\,\mbox{sin}\,t), \,\, y=a(\mbox{sin}\,t-t\,\mbox{cos}\,t). $$

$$ s=\frac{at^2}{2}. $$

$$ k=\frac{1}{at}. $$

$$ t=\frac{1}{ak} \Rightarrow s= \frac{1}{2ak^2}. $$

Натуральные уравнения: $$ k=\frac{1}{at},\,\,s=\frac{at^2}{2} $$ или $$ k^2=\frac{1}{2as}. $$

Феденко записывает ответы через радиус кривизны: $R=\frac{1}{k}$.

Найдите кривизну и кручение, составьте натуральные уравнения кривой: $$ x=a\,\mbox{ch}t, \, y=a\,\mbox{sh}t, \, z=a\, t. $$

Задачу можно решать двумя способами:

1 способ. Найти $k(t), \varkappa(t), s(t)$.

2 способ. Сначала найти выразить $t$ через $s$ и записать естественную параметризацию кривой $\vec{r}=\vec{r}(s)$. А далее найти $k(s)$ и $\varkappa(s)$.

Воспользуемся первым способом. \begin{gather*} \vec{r}(t_0)=\{a\,\mbox{ch}t, \, a\,\mbox{sh}t, \, at\},\\ \vec{r'}(t_0)=\{a\,\mbox{sh}t, \, a\,\mbox{ch}t, \, a\},\\ \vec{r''}(t_0)=\{a\,\mbox{ch}t, \, a\,\mbox{sh}t, \, 0\}\\ \vec{r'''}(t_0)=\{a\,\mbox{sh}t, \, a\,\mbox{ch}t, \, 0\}. \end{gather*}

$$ \Rightarrow \quad k^2(t) = \frac{1}{4a^2\mbox{ch}^4t}. $$ $$ \Rightarrow \quad k(t) = \frac{1}{2a\,\mbox{ch}^2t}. $$

\begin{equation*} \varkappa(t) = \frac{ \left| \begin{array}{ccc} a\,\mbox{sh}t & a\,\mbox{ch}t & a \\ a\,\mbox{ch}t & a\,\mbox{sh}t & 0 \\ a\,\mbox{sh}t & a\,\mbox{ch}t & 0 \\ \end{array} \right|}{a^4\cdot 2\mbox{ch}^2t} = \frac{1}{2a\,\mbox{ch}^2t}. \end{equation*}

В задаче №473 была та же кривая и мы получили, что $$s=a\sqrt{2}\,\mbox{sh}\,t.$$ Используя тождества для гиперболических функций, выразим $t$ через $s$ и подставим их в выражения для кривизны и кручения: \begin{equation*} s=a\sqrt{2}\,\mbox{sh}t=a\sqrt{2}\,\sqrt{\mbox{ch}^2t-1} \,\, \Rightarrow \,\, \mbox{ch}^2t=\frac{s^2}{2a^2}+1 \,\, \Rightarrow \end{equation*} \begin{equation*} k(s)=\varkappa(s)=\frac{1}{2a\,\mbox{ch}^2t} = \frac{a}{s^2+2a^2}. \end{equation*}

Вычисления сделаны для $a>0$.

Найдите функцию $f(t)$, для которой данная кривая — плоская: $$ \vec{r}(t)=\{a\,\mbox{cos}t, \, a\,\mbox{sin}t, \, f(t)\} $$

$$ \begin{array}{lll} x=a\,\mbox{cos}t,\, &y=a\,\mbox{sin}t, \, &z=f(t),\\ x'=-a\,\mbox{sin}t, \, &y'=a\,\mbox{cos}t, \, &z'=f'(t),\\ x''=-a\,\mbox{cos}t, \, &y''=-a\,\mbox{sin}t, \, &z''=f''(t),\\ x'''=a\,\mbox{sin}t, \, &y'''=-a\,\mbox{cos}t, \, &z'''=f'''(t). \end{array} $$

Для плоской кривой кручение равно нулю: \begin{equation*} \varkappa(t) = \left| \begin{array}{rrr} -a\,\mbox{sin}t & a\,\mbox{cos}t & f'(t) \\ -a\,\mbox{cos}t & -a\,\mbox{sin}t & f''(t) \\ a\,\mbox{sin}t & -a\,\mbox{cos}t & f'''(t) \\ \end{array} \right| = \left( f'(t) + f'''(t) \right)\cdot2a^2=0. \end{equation*} \begin{equation*} f'(t)=-f'''(t) \quad \Rightarrow \quad f(t)=c_1+c_2\,\mbox{sin}t+c_3\,\mbox{cos}t. \end{equation*}

Как найти уравнение плоскости, в которой лежит кривая?

Известно, что плоская кривая лежит в своей соприкасающейся плоскости! Второй способ — составить уравнение плоскости по трем точкам.