Поверхность, допускающая параметризацию вида: \begin{equation*} \vec{R}=\vec{\rho}(u)+v\vec{\mu}(u), \end{equation*} где $\vec{\rho}$, $\vec{\mu}$ — гладкие вектор-функции, называется линейчатой. $u=\mbox{const}$ называется образующей (образующая имеет направляющий вектор $\vec{\mu}(u)$), $\vec{\rho}=\vec{\rho}(u)$ называется направляющей.

Линейчатая поверхность — поверхность, описанная движением прямой, называемой образующей, пересекающей при движении некоторую кривую, называемую направляющей поверхности.

Рассмотрим два вида линейчатой поверхности — цилиндрическая и коническая.

Цилиндрическая поверхность:
Направляющая: $\vec{\rho}=\vec{\rho}(u)$,
Образующая: постоянный единичный вектор $\vec{\mu}=\vec{e}$. \begin{equation*} \vec{R}=\vec{\rho}(u)+v\vec{e}. \end{equation*}

Коническая поверхность:
Вершина в точке $M(\vec{\rho}_0)$,
Направляющая: $\vec{\rho}=\vec{\rho}(u)$,
Образующая: $\vec{\mu}=\vec{\rho}(u)-\vec{\rho}_0$. \begin{equation*} \vec{R}=\vec{\rho}_0+v(\vec{\rho}(u)-\vec{\rho}_0). \end{equation*}

Описанные линейчатые поверхности являются развертывающимися, то есть их касательные плоскости остаются неизменными вдоль прямолинейной образующей.

Еще один пример развертывающейся поверхности — поверхность, образованная касательными к некоторой кривой.

Из сказанного выше следует, что совокупность всех касательных плоскостей развертывающейся линейчатой поверхности представляет собой однопараметрическое семейство, то есть развертывающаяся линейчатая поверхность является огибающей однопараметрического семейства плоскостей.

Поверхность вращения — поверхность, образованная при вращении некоторой кривой около оси. Линии пересечения поверхности с плоскостями, проходящими через ось вращения, называются \emph{меридианами}, а линии пересечения с плоскостями, перпендикулярными оси, называются \emph{параллелями}.

Уравнение поверхности вращения, которая образуется при вращении кривой \begin{equation*} x=x(u), \,\, z=z(u), \,\, x\geqslant0 \end{equation*} расположенной в плоскости $(xz)$, вокруг оси $Oz$: \begin{equation*} x=x(u)\,\mbox{cos}\,v, \,\, y= x(u)\,\mbox{sin}\,v, \,\, z=z(u). \end{equation*}

Написать уравнение цилиндрической поверхности, для которой линия $\vec{\rho}=\vec{\rho}(u)$ является направляющей, а образующие параллельны вектору $\vec{e}$. \begin{equation*} \vec{R}=\vec{\rho}(u)+v\vec{e}. \end{equation*}

Напишите параметрические уравнения цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны вектору $\vec{a}=\{1,2,3\}$, а направляющая задана уравнениями: $x=u$, $y=u^2$, $z=u^3$.

Направляющая: $\vec{\rho}=\{u, u^2, u^3\}$,
Образующая: $\vec{\mu}=\{1,2,3\}$,
Уравнение: \begin{equation*} \vec{R}=\vec{\rho}(u)+v\vec{e}. \end{equation*} \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &x=u+v, \\ &y=u^2+2v,\\ &z=u^3+3v. \end{aligned} \right. \end{equation*}

Напишите параметрические уравнения гиперболического и параболического цилиндров.

Для гиперболического цилиндра:
Направляющая: $\vec{\rho}=\left\{\frac{a}{2}\left(u+\frac{1}{u}\right), \frac{b}{2}\left(u-\frac{1}{u}\right),0\right\}$,
Образующая: $\vec{\mu}=\{0,0,1\}$, Уравнение: \begin{equation*} \vec{R}=\vec{\rho}(u)+v\vec{e}. \end{equation*} \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &x=a\,\mbox{ch}\,u, \\ &y=b\,\mbox{sh}\,u,\\ &z=v. \end{aligned} \right. \end{equation*}

Для параболического цилиндра — самостоятельно.

Задана точка $M(a,b,c)$ и линия $L$: \begin{equation*} x=f(u), \,\, y=\varphi(u), \,\, z=\psi(u). \end{equation*} Напишите в параметрическом и неявном виде уравнения конуса с вершиной в точке $M$ и с направляющей линией $L$.

Коническая поверхность:
Вершина в точке $M(a,b,c)$,
Направляющая: $\vec{\rho}=\{f(u), \varphi(u), \psi(u)\}$,
Образующая: $\vec{\mu}=\vec{\rho}(u)-\vec{\rho}_0=\{f(u)-a, \varphi(u)-b, \psi(u)-c\}$. \begin{equation*} \vec{R}=\vec{\rho}_0+v(\vec{\rho}(u)-\vec{\rho}_0). \end{equation*} \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &x=a+v\left(f(u)-a\right), \\ &y=b+v\left(\varphi(u)-b\right),\\ &z=c+v\left(\psi(u)-c\right). \end{aligned} \right. \end{equation*}

Составьте параметрическое и неявное уравнения конуса, образуемого прямыми, проходящими через точку $M(1,1,1)$ и пересекающими эллипс: \begin{equation*} x=a\,\mbox{cos}\,u, \,\, y=b\,\mbox{sin}\,u, \,\, z=0. \end{equation*}

Коническая поверхность:
Вершина в точке $M(1,1,1)$,
Направляющая: $\vec{\rho}=\{a\,\mbox{cos}\,u, b\,\mbox{sin}\,u, 0\}$,
Образующая: $\vec{\mu}=\vec{\rho}(u)-\vec{\rho}_0=\{a\,\mbox{cos}\,u-1, b\,\mbox{sin}\,u-1, -1\}$. \begin{equation*} \vec{R}=\vec{\rho}_0+v(\vec{\rho}(u)-\vec{\rho}_0). \end{equation*} \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &x=1+v\left(a\,\mbox{cos}\,u-1\right), \\ &y=1+v\left(b\,\mbox{sin}\,u-1\right),\\ &z=1-v. \end{aligned} \right. \end{equation*}

Неявное уравнение: \begin{equation*} \left(\frac{x-z}{a}\right)^2+\left(\frac{y-z}{b}\right)^2=(1-z)^2. \end{equation*}

Напишите уравнение тора, который получается при вращении окружности \begin{equation*} x=a+b\,\mbox{cos}\,u, \,\, y=0 , \,\, z=b\,\mbox{sin}\,u \,\, (b<a) \end{equation*} вокруг оси $Oz$.

\begin{equation*} x=(a+b\,\mbox{cos}\,u)\,\mbox{cos}\,v, \,\, y= (a+b\,\mbox{cos}\,u)\,\mbox{sin}\,v, b\, \,\, z=\mbox{sin}\,u. \end{equation*}