Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $\gamma$.

• Векторное уравнение $\gamma:\, \vec{r}=\vec{r}(t)$.
• Параметрическое уравнение $\gamma:\,\, x=x(t),\, y=y(t),\, z=z(t)$.

Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:

\begin{equation*} \vec{r_0}=\vec{r}(t_0), \quad x_0=x(t_0),\, y_0=y(t_0), \, z_0=z(t_0). \end{equation*}

Пусть в точке $M$ $ \vec{r'}(t_0)\neq\vec{0}$, то есть $M$ не является особой точкой.

Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $\vec{r'}(t_0)$.

Пусть $\vec{R}$ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид

\begin{equation*} \vec{R}=\vec{r}(t_0)+\lambda\vec{r'}(t_0). \end{equation*}

Здесь $\lambda\in(-\infty,+\infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $\lambda$ будут соответствовать разные значения $\vec{R}$).

Если $\vec{R}=\{X,Y,Z\}$, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:

\begin{equation*} \frac{X-x(t_0)}{x'(t_0)}=\frac{Y-y(t_0)}{y'(t_0)}=\frac{Z-z(t_0)}{z'(t_0)}. \end{equation*}

Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.

Пусть $\vec{R}$ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $\vec{R}-\vec{r}(t_0)$ и $\vec{r'}(t_0)$:

\begin{equation*} (\vec{R}-\vec{r}(t_0))\cdot\vec{r'}(t_0)=0. \end{equation*}

Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:

\begin{equation*} x'(t_0)\cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)\cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)\cdot(Z-z(t_0))=0. \end{equation*}

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ параллельно векторам $\vec{r'}(t_0)$, $\vec{r''}(t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.

Если $\vec{R}$ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $\vec{R}-\vec{r}(t_0)$, $\vec{r'}(t_0)$, $\vec{r''}(t_0)$:

\begin{equation*} (\vec{R}-\vec{r}(t_0), \vec{r'}(t_0), \vec{r''}(t_0))=0. \end{equation*}

Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:

\begin{equation*} \left| \begin{array}{ccc} X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \\ x'(t_0) & y'(t_0) & z'(t_0)\\ x''(t_0) & y''(t_0) & z''(t_0) \\ \end{array} \right|=0 \end{equation*}

Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.

Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.

Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.

Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ \vec{r'}(t_0)\times\vec{r''}(t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:

\begin{equation*} \vec{R}=\vec{r}(t_0)+\lambda\,\vec{r'}(t_0)\times\vec{r''}(t_0). \end{equation*}

Как и раньше, $\vec{R}$ — радиус-вектор произвольной точки бинормали. Каноническое уравнение прямой:

\begin{equation*} \frac{X-x(t_0)}{\left| \begin{array}{cc} y'(t_0) & z'(t_0) \\ y''(t_0) & z''(t_0) \\ \end{array} \right| }=\frac{Y-y(t_0)}{\left| \begin{array}{cc} z'(t_0) & x'(t_0) \\ z''(t_0) & x''(t_0) \\ \end{array} \right| }=\frac{Z-z(t_0)}{\left| \begin{array}{cc} x'(t_0) & y'(t_0) \\ x''(t_0) & y''(t_0) \\ \end{array} \right| }. \end{equation*}

Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $\vec{r'}(t_0) \times\left[\vec{r'}(t_0),\vec{r''}(t_0)\right]$:

\begin{equation*} \vec{R}=\vec{r}(t_0)+\lambda\,\vec{r'}(t_0) \times\left[\vec{r'}(t_0),\vec{r''}(t_0)\right]. \end{equation*}

Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.

Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.

Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $\vec{R}-\vec{r}(t_0)$, $\vec{r'}(t_0)$, $\vec{r'}(t_0)\times\vec{r''}(t_0)$: \begin{equation*} \left(\vec{R}-\vec{r}(t_0),\, \vec{r'}(t_0),\, \vec{r'}(t_0)\times\vec{r''}(t_0)\right)=0. \end{equation*} Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.

Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ \vec{\tau}=\frac{\vec{r'}(t_0)}{|\vec{r'}(t_0)|}. $$ Орт бинормали: $$ \vec{\beta}=\frac{\vec{r'}(t_0)\times\vec{r''}(t_0)}{|\vec{r'}(t_0)\times\vec{r''}(t_0)|}. $$ Орт главной нормали: $$ \vec{\nu}=\frac{\vec{r'}(t_0) \times[\vec{r'}(t_0),\,\vec{r''}(t_0)]}{|\vec{r'}(t_0) \times [\vec{r'}(t_0),\,\vec{r''}(t_0)]|}. $$

Правая тройка векторов $\vec{\tau}$, $\vec{\nu}$, $\vec{\beta}$ называется репером Френе.

Кривая $\gamma$ задана параметрически:

$$ x=t,\,\, y=t^2,\,\, z=e^t. $$

Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.

Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.

Начнем с производных.

\begin{gather*} \gamma: \vec{r}(t)=\left\{ t,\, t^2,\, e^t\right\} \,\, \Rightarrow \\ \vec{r'}(t)=\left\{ 1,\, 2t,\, e^t\right\},\\ \vec{r''}(t)=\left\{ 0,\, 2,\, e^t\right\}. \end{gather*} В точке $M(t_0=0)$: \begin{gather*} \vec{r}(t_0)=\{ 0,\, 0,\, 1\},\\ \vec{r'}(t_0)=\{ 1,\, 0,\, 1\},\\ \vec{r''}(t_0)=\{ 0,\, 2,\, 1\}. \end{gather*}

• Зная координаты точки $M(0,0,1)$ и направляющего вектора $ \vec{r'}(t_0)=\{ 1,0,1 \}$, можем записать уравнение касательной:

\begin{equation*} \frac{X}{1}=\frac{Y}{0}=\frac{Z-1}{1}. \end{equation*}

• Нормальная плоскость проходит через точку $M(0,0,1)$ перпендикулярно вектору $\vec{r'}(t_0)=\{ 1,0,1 \}$, поэтому ее общее уравнение имеет вид:

\begin{equation*} 1\cdot X+0\cdot Y+1\cdot (Z-1)=0\,\,\ \Rightarrow \,\, X+Z=1. \end{equation*}

• Запишем теперь уравнение соприкасающейся плоскости, определяемой точкой $M(0,0,1)$ и векторами: $\vec{r'}(t_0)=\{ 1,\, 0,\, 1\}$, $\vec{r''}(t_0)=\{ 0,\, 2,\, 1\}$:

\begin{equation*} \left| \begin{array}{ccc} X-0 & Y-0 & Z-1 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1 \\ \end{array} \right|=0 \end{equation*} Раскрываем определитель, получаем уравнение: \begin{equation*} -2X-Y+2Z-2=0 \end{equation*}

• Направление бинормали задается вектором $\vec{r'}(t_0) \times \vec{r''}(t_0)$. Координаты этого вектора мы уже нашли, когда вычисляли миноры в определителе, задающем уравнение соприкасающейся плоскости.

$$ \{ 1,\, 0,\, 1\} \times \{ 0,\, 2,\, 1\}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1 \\ \end{array} \right|= \{-2,\, -1,\, 2\}. $$

Уравнение бинормали:

\begin{equation*} \frac{X}{-2}=\frac{Y}{-1}=\frac{Z-1}{2}. \end{equation*}

• Направление главной нормали задается вектором $\vec{r'}(t_0) \times (\vec{r'}(t_0)\times\vec{r''}(t_0))$.

$$ \{ 1,\, 0,\, 1\} \times \{-2,\, -1,\, 2\}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1\\ -2 & -1 & 2 \\ \end{array} \right|= \{1,\, -4,\, -1\} \,\, \Rightarrow \,\, \frac{X}{1}=\frac{Y}{-4}=\frac{Z-1}{-1}. $$

• Спрямляющая плоскость перпендикулярна главной нормали, а значит, вектору $\{1,\, -4,\, -1\}$, поэтому можем сразу записать ее общее уравнение:

\begin{equation*} 1\cdot X-4\cdot Y-1\cdot (Z-1)=0\,\,\ \Rightarrow \,\, X-4Y-Z+1=0. \end{equation*}

Орт касательной: $\vec{\tau} =\frac{1}{\sqrt{2}}\{1,\,0,\,1\}$, Орт главной нормали: $\vec{\nu} =\frac{1}{\sqrt{18}}\{1,\,-4,\,-1\}$, Орт бинормали: $\vec{\beta }=\frac{1}{3}\{-2,\,-1,\,2\}$.

Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $\vec{\tau}$, $\vec{\nu}$, $\vec{\beta}$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $\vec{\tau}\times\vec{\beta}$ направлен так, что тройка векторов $\vec{\tau}$, $\vec{\beta}$, $\vec{\nu}=\vec{\tau}\times\vec{\beta}$ — правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть

$$ \vec{\nu} =\frac{1}{\sqrt{18}}\{-1,\,4,\,1\}.$$

Теперь тройка $\vec{\tau}$, $\vec{\nu}$, $\vec{\beta}$ образует репер Френе для кривой $\gamma$ в точке $M$.

Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,\,\, y=\frac{t^2}{2},\,\, z=\frac{t^3}{3}, $$ проходящей через точку $N(0,0,9)$.

Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $\gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)\in\gamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.

Найдем значение параметра $t_0$.

Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.

\begin{align*} \gamma: \vec{r}(t)&=\left\{ t,\, \frac{t^2}{2},\, \frac{t^3}{3}\right\} \,\, \Rightarrow \\ \vec{r'}(t)&=\left\{ 1,\, t,\, 3t^2\right\},\\ \vec{r''}(t)&=\left\{ 0,\, 1,\, 6t\right\}. \end{align*} В точке $M(t=t_0)$: \begin{align*} \vec{r}(t_0)&=\left\{t_0,\, \frac{t_0^2}{2},\, \frac{t_0^3}{3}\right\} \\ \vec{r'}(t_0)&=\left\{1,\, t_0,\, 3t_0^2\right\},\\ \vec{r''}(t_0)&=\left\{0,\, 1,\, 6t_0\right\}. \end{align*}

Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $\vec{r'}(t_0)$, $\vec{r''}(t_0)$, поэтому записываем определитель \begin{equation*} \left| \begin{array}{ccc} X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \\ &&\\ 1 & t_0 & t^2_0 \\ &&\\ 0 & 1 & 2t_0 \end{array} \right|=0 \quad \Rightarrow \end{equation*}

\begin{equation*} (X-t_0)\cdot t_0^2 - (Y-t_0^2/2)\cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0. \end{equation*} Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$: \begin{equation*} 9-t_0^3/3=0 \quad \Rightarrow \quad t_0=3. \end{equation*} Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости: $$ 9X-6Y+Z-9=0. $$

Через точку $P\left(-\frac45,1,2\right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,\,\, y=1+t,\,\, z=2t. $$

Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.

Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $\vec{r'}(t_0)$ и $\vec{r'}(t_0)\times\vec{r''}(t_0)$.

В произвольной точке $M(t=t_0)$: \begin{align*} \vec{r}(t_0)&=\left\{t^2_0,\, 1+t_0,\, 2t_0\right\} \\ \vec{r'}(t_0)&=\left\{2t_0,\, 1,\, 2\right\},\\ \vec{r''}(t_0)&=\left\{2,\, 0,\, 0\right\}. \end{align*} \begin{equation*} \vec{r'}(t_0)\times\vec{r''}(t_0)= \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2t_0 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 0 \end{array} \right|= \{0,\, 4,\, -2\} \end{equation*}

Записываем уравнение спрямляющей плоскости: \begin{equation*} \left| \begin{array}{ccc} X-t_0^2 & Y-1-t_0 & Z-2t_0 \\ 2t_0 & 1 & 2\\ 0 & 4 & -2 \end{array} \right|= 0 \end{equation*}

Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: \begin{equation*} 5t_0^2-8t_0-4=0 \,\, \Rightarrow \,\, t_{01}=2,\, t_{02}=-\frac25. \end{equation*}

Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: \begin{align*} & 5X-4Y-8Z+24=0,\\ & 25X+4Y+8Z=0. \end{align*}