Основное
Теорема. Полиномы $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ имеют общий корень тогда и только тогда, когда найдутся два полинома $ \{u(x),v(x)\} \subset \mathbb C[x] $ хотя бы один из которых не тождественный нуль и $ \deg u< \deg f, \deg v < \deg g $ такие, что выполняется тождество
$$ f(x)v(x)+g(x)u(x) \equiv 0 \ . $$
Доказательство методом неопределенных коэффициентов: $$u(x):=U_0x^{n-1}+\dots+U_{n-1}, \ v(x):=V_0x^{m-1}+\dots+V_{m-1} \ . $$ Система линейных уравнений составляется приравниванием $0$ коэффициентов левой части тождества при $x^{n+m-1},\dots, x, 1 $. С квадратной матрицей — транспонированной Сильвестра для полиномов $ f(x) $ и $ g(x) $. Нетривиальное решение у однородной системы. Определитель равен нулю.
Обратное тоже верно.
Здесь существенно именно ограничение на степени полиномов $u$ и $ v $. С другими парами — $ (f,u)$, $ (g,v) $ или $ (u,v) $ — те же рассуждения «не прокатят».