1. При каком значении параметра $ {\color{Red} \alpha } \in [-5,5] $ $$ \max_{x\in]-\infty,+\infty[} (-x^6+{\color{Red} \alpha } \,x^5+3\,x^3+5\,x^2-2\,x-1) $$ будет минимальным? Установить этот минимум.

2. Верно ли, что $ \mathcal D_x(\mathcal D_y (f(x,y))=\mathcal D_y(\mathcal D_x (f(x,y)) $? Здесь $ \mathcal D_x $ и $ \mathcal D_y $ означают дискриминанты полиномов, рассматриваемых относительно указанных переменных. Вычислить $$ \operatorname{HOD}(\mathcal D_x(\mathcal D_y (f(x,y)),\mathcal D_y(\mathcal D_x (f(x,y))) \quad npu \quad f(x,y)= -x^4-2\,y^4+4\,x^2-\alpha\,y^2+3\,xy+4\,y \ . $$

3. Доказать, что дискриминант полинома $ f(x)=x^4+p\,x^2+q\,x+r $ совпадает с дискриминантом его резольвенты Феррари $$ \mathcal D_x(f(x))= \mathcal D_t( t^3-p\,t^2-4\,r\,t+(4\,pr-q^2)) \ . $$

4. Доказать, что если полином $ 4 $-й степени имеет положительный дискриминант и $ 2 $ вещественных корня, то все его корни вещественны.

5. Доказать, что $ \mathcal D (f(x)f^{\prime \prime}(x)- [f^{\prime}(x)]^2) $, рассматриваемый как полином от коэффициентов $ f(x) $, делится на $ \mathcal D (f(x)) $.

6. Доказать, что если полином $ f(x) $ с вещественными коэффициентами имеет кратный мнимый корень, то необходимо $$ \mathcal D(f)=0, \mathcal D_1 = 0 \, . $$