Эллипсом называют геометрическое место точек $M$, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости $F_1$ и $F_2$, называемых фокусами, есть постоянная величина $2a$, причем она больше чем расстояние $2c$ между фокусами. \begin{equation}\label{ellipsdef1} d(F_1M)+d(F_2M)=2a, \end{equation} \begin{equation}\label{ellipsdef2} d(F_1F_2)=2c, \quad 2a>2c. \end{equation}

Задача 1.2.1

Дан эллипс \begin{equation*} 4x^2+36y^2=144. \end{equation*} Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.

Решение

Запишем уравнение в каноническом виде, разделив обе части заданного уравнения на $144$: \begin{equation*} \frac{x^2}{36}+ \frac{y^2}{4}=1. \end{equation*} Из канонического уравнения получим большую и малую полуоси: \begin{equation*} a^2=36, \, b^2=4 \,\, \Rightarrow \,\, a=6, \, b=2. \end{equation*} Найдем расстояние $c$ от центра эллипса до фокусов \begin{equation*} c^2=a^2-b^2=36-4=32 \, \Rightarrow \, c=4\sqrt{2} \end{equation*} и запишем координаты фокусов эллипса $$ F_1(-4\sqrt{2},0), \quad F_2(4\sqrt{2},0).$$ Эксцентриситет эллипса равен \begin{equation*} \varepsilon= \frac{c}{a}= \frac{4\sqrt{2}}{6}= \frac{2\sqrt{2}}{3}. \end{equation*} Уравнения директрис эллипса принимают вид: \begin{equation*} \begin{split} &d_{1}:\,\, x=- \frac{6\cdot3}{2\sqrt{2}} \, \Rightarrow x=-\frac{9{\sqrt{2}}}{2},\\ &d_{2}:\,\, x=+ \frac{6\cdot3}{2\sqrt{2}} \, \Rightarrow x=+\frac{9{\sqrt{2}}}{2}. \end{split} \end{equation*}

Ответ $a=6$, $b=2$, $c=4\sqrt{2}$, $F_{1}(-4\sqrt{2},0)$, $F_{2}(4\sqrt{2},0)$, $\varepsilon = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $ d_{1}: x=- \frac{9{\sqrt{2}}}{2}$, $ d_{2}: x= \frac{9{\sqrt{2}}}{2}$.

Задача 1.2.2

Написать уравнение эллипса, пересекающего ось $Ox$ в точках $(8,0)$ и $(18,0)$ и касающегося оси $Oy$ в точке $(0,-12)$, зная, что его оси параллельны осям координат.

Решение

Центр эллипса находится в точке $O'=\left(\frac{8+18}{2}, -12\right) = (13,-12)$. Тогда уравнение эллипса имеет вид: \begin{equation*} \frac{(x-13)^2}{a^2}+ \frac{(y+12)^2}{b^2}=1, \end{equation*} причем $a=13$.

Точка $(8,0)$ лежит на эллипсе, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению: \begin{equation*} \frac{25}{169}+ \frac{144}{b^2}=1. \end{equation*} Отсюда получаем $$b^2=169$$ и уравнение эллипса: \begin{equation*} \frac{(x-13)^2}{169}+ \frac{(y+12)^2}{169}=1. \end{equation*}

Ответ Окружность $(x-13)^2+(y+12)^2=169$.