Инструменты сайта


Инварианты

Для однородного полинома (формы) $$ F_m(x,y)=A_0x^m+A_1x^{m-1}y+\dots+A_my^m $$ полином ее коэффициентов $ I_{k}(A_0,\dots,A_m) $ степени $ k_{} $ называется инвариантом веса $ p_{} $, если при линейной замене переменных (подстановке) $$ x=\alpha_{11}x_1+\alpha_{12}y_1,\ y=\alpha_{21}x_1+\alpha_{22}y_1 $$ преобразующей форму к виду $$ \tilde F_m(x,y)= \tilde A_0x_1^m+ \tilde A_1x_1^{m-1}y_1+\dots+\tilde A_my_1^m \ , $$ значение $ I_{k} $ изменяется по правилу: $$ I_k(\tilde A_0,\dots,\tilde A_m)\equiv \Delta^p I_k(A_0,\dots,A_m) ; $$ здесь $ \Delta_{}=\alpha_{11}\alpha_{22}-\alpha_{12}\alpha_{21} $ — определитель подстановки.

П

Пример. Для квадратичной формы $ F_{2}(x,y)=A_0x^2+A_1xy+A_2y^2 $ ее инвариантом степени 2 является дискриминант $ \frac{1}{4} A_{1}^2 - A_0A_2 $.

П

Пример. Для биквадратной формы

$$ F_4(x,y) = A_0x^{4}+ A_1x^3y+ A_2^2y^2+A_3xy^3+A_4y^4 $$ выражения $$ I_2=4A_0A_4-A_1A_3 +\frac{1}{3}A_2^2 \ , $$ $$ I_3=16\left|\begin{array}{rrr} A_0 & A_1/4 & A_2/6 \\ A_1/4 & A_2/6 & A_3/4 \\ A_2/6 & A_3/4 & A_4 \end{array} \right| = -A_0A_3^2-A_1^2A_4+\frac{8}{3}A_0A_2A_4+ \frac{1}{3}A_1A_2A_3-\frac{2}{27}A_2^3 $$ образуют ее базисную систему инвариантов: любой другой инвариант этой формы (в частности, ее дискриминант ) полиномиально выражается через них.

Источник

Schur I. Vorlesungen über Invariantentheorie. 1968. Berlin, Springer

algebra2/optimiz/invariant.txt · Последние изменения: 2020/06/03 11:58 — au